Theorem 1sno 27754

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27752	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27753	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5440	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27725	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27729	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2825	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  ∅c0 4319  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415   No csur 27567   <<s csslt 27707   |s cscut 27709   0_s c0s 27749   1_s c1s 27750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1o 8481  df-2o 8482  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27708  df-scut 27710  df-0s 27751  df-1s 27752

This theorem is referenced by:  cuteq1  27760  right1s  27816  peano2no  27895  mulsrid  28007  mulslid  28036  divs1  28097  precsexlem8  28106  precsexlem9  28107  precsexlem10  28108  precsexlem11  28109  1ons  28144  om2noseqlt  28166  n0scut  28197  n0ons  28198  n0sge0  28200  n0addscl  28204  n0mulscl  28205  1n0s  28208  n0sbday  28211  nnsrecgt0d  28213  recut  28218  0reno  28219  renegscl  28220  readdscl  28221  remulscllem1  28222  remulscl  28224