Theorem 1sno 27887

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27885	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27886	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5454	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27858	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27862	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2835	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   No csur 27699   <<s csslt 27840   |s cscut 27842   0_s c0s 27882   1_s c1s 27883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885

This theorem is referenced by:  cuteq1  27893  right1s  27949  peano2no  28032  sltp1d  28063  negs1s  28074  sltm1d  28146  mulsrid  28154  mulslid  28183  divs1  28244  precsexlem8  28253  precsexlem9  28254  precsexlem10  28255  precsexlem11  28256  divsrecd  28273  divsdird  28274  1ons  28295  om2noseqlt  28320  n0scut  28353  n0ons  28354  n0sge0  28356  n0s0suc  28360  nnsge1  28361  n0addscl  28362  n0mulscl  28363  1n0s  28366  n0sbday  28369  nnsrecgt0d  28371  n0s0m1  28374  n0subs  28375  n0p1nns  28376  dfnns2  28377  nnsind  28378  nnzs  28387  0zs  28389  elzn0s  28399  peano5uzs  28405  zscut  28408  1p1e2s  28415  no2times  28416  n0seo  28420  zseo  28421  nohalf  28422  expsval  28423  exps1  28426  expsp1  28427  expscl  28428  cutpw2  28432  pw2bday  28433  addhalfcut  28434  pw2cut  28435  zs12bday  28439  recut  28443  0reno  28444  renegscl  28445  readdscl  28446  remulscllem1  28447  remulscl  28449