Theorem 1sno 27798

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27796	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27797	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5390	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27766	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27770	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2830	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356   No csur 27605   <<s csslt 27747   |s cscut 27749   0_s c0s 27793   1_s c1s 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sslt 27748  df-scut 27750  df-0s 27795  df-1s 27796

This theorem is referenced by:  cuteq1  27805  right1s  27868  peano2no  27954  sltp1d  27985  negs1s  27996  sltm1d  28071  mulsrid  28082  mulslid  28111  divs1  28173  precsexlem8  28182  precsexlem9  28183  precsexlem10  28184  precsexlem11  28185  divsrecd  28202  divsdird  28203  1ons  28225  n0scut  28294  n0scut2  28295  n0ons  28296  n0sge0  28298  n0s0suc  28302  nnsge1  28303  n0addscl  28304  n0mulscl  28305  1n0s  28308  nnsrecgt0d  28311  n0sfincut  28315  n0s0m1  28321  n0subs  28322  n0sltp1le  28324  n0sleltp1  28325  n0slem1lt  28326  n0p1nns  28329  dfnns2  28330  nnsind  28331  nn1m1nns  28332  nnm1n0s  28333  eucliddivs  28334  nnzs  28344  0zs  28346  elzn0s  28356  peano5uzs  28362  zscut  28365  1p1e2s  28374  no2times  28375  n0seo  28379  zseo  28380  twocut  28381  nohalf  28382  expsval  28383  exps1  28386  expsp1  28387  expscl  28389  expadds  28393  pw2recs  28396  pw2divsrecd  28405  pw2divsdird  28406  pw2divsidd  28414  halfcut  28415  addhalfcut  28416  pw2cut  28417  pw2cutp1  28418  pw2cut2  28419  bdaypw2n0s  28420  zs12bday  28433  recut  28439  elreno2  28440  0reno  28441  1reno  28442  renegscl  28443  readdscl  28444  remulscllem1  28445  remulscl  28447