Theorem 1sno 27890

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27888	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27889	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5463	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27861	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27865	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2840	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448   No csur 27702   <<s csslt 27843   |s cscut 27845   0_s c0s 27885   1_s c1s 27886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1o 8522  df-2o 8523  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-0s 27887  df-1s 27888

This theorem is referenced by:  cuteq1  27896  right1s  27952  peano2no  28035  sltp1d  28066  negs1s  28077  sltm1d  28149  mulsrid  28157  mulslid  28186  divs1  28247  precsexlem8  28256  precsexlem9  28257  precsexlem10  28258  precsexlem11  28259  divsrecd  28276  divsdird  28277  1ons  28298  om2noseqlt  28323  n0scut  28356  n0ons  28357  n0sge0  28359  n0s0suc  28363  nnsge1  28364  n0addscl  28365  n0mulscl  28366  1n0s  28369  n0sbday  28372  nnsrecgt0d  28374  n0s0m1  28377  n0subs  28378  n0p1nns  28379  dfnns2  28380  nnsind  28381  nnzs  28390  0zs  28392  elzn0s  28402  peano5uzs  28408  zscut  28411  1p1e2s  28418  no2times  28419  n0seo  28423  zseo  28424  nohalf  28425  expsval  28426  exps1  28429  expsp1  28430  expscl  28431  cutpw2  28435  pw2bday  28436  addhalfcut  28437  pw2cut  28438  zs12bday  28442  recut  28446  0reno  28447  renegscl  28448  readdscl  28449  remulscllem1  28450  remulscl  28452