Theorem 1sno 27872

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27870	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27871	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5448	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27843	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27847	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2837	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   No csur 27684   <<s csslt 27825   |s cscut 27827   0_s c0s 27867   1_s c1s 27868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870

This theorem is referenced by:  cuteq1  27878  right1s  27934  peano2no  28017  sltp1d  28048  negs1s  28059  sltm1d  28131  mulsrid  28139  mulslid  28168  divs1  28229  precsexlem8  28238  precsexlem9  28239  precsexlem10  28240  precsexlem11  28241  divsrecd  28258  divsdird  28259  1ons  28280  om2noseqlt  28305  n0scut  28338  n0ons  28339  n0sge0  28341  n0s0suc  28345  nnsge1  28346  n0addscl  28347  n0mulscl  28348  1n0s  28351  n0sbday  28354  nnsrecgt0d  28356  n0s0m1  28359  n0subs  28360  n0p1nns  28361  dfnns2  28362  nnsind  28363  nnzs  28372  0zs  28374  elzn0s  28384  peano5uzs  28390  zscut  28393  1p1e2s  28400  no2times  28401  n0seo  28405  zseo  28406  nohalf  28407  expsval  28408  exps1  28411  expsp1  28412  expscl  28413  cutpw2  28417  pw2bday  28418  addhalfcut  28419  pw2cut  28420  zs12bday  28424  recut  28428  0reno  28429  renegscl  28430  readdscl  28431  remulscllem1  28432  remulscl  28434