Theorem 1sno 27771

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27769	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27770	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5383	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27739	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27743	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2827	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346   No csur 27578   <<s csslt 27720   |s cscut 27722   0_s c0s 27766   1_s c1s 27767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1o 8385  df-2o 8386  df-no 27581  df-slt 27582  df-bday 27583  df-sslt 27721  df-scut 27723  df-0s 27768  df-1s 27769

This theorem is referenced by:  cuteq1  27778  right1s  27841  peano2no  27927  sltp1d  27958  negs1s  27969  sltm1d  28041  mulsrid  28052  mulslid  28081  divs1  28143  precsexlem8  28152  precsexlem9  28153  precsexlem10  28154  precsexlem11  28155  divsrecd  28172  divsdird  28173  1ons  28194  n0scut  28262  n0scut2  28263  n0ons  28264  n0sge0  28266  n0s0suc  28270  nnsge1  28271  n0addscl  28272  n0mulscl  28273  1n0s  28276  nnsrecgt0d  28279  n0sfincut  28282  n0s0m1  28288  n0subs  28289  n0sltp1le  28291  n0sleltp1  28292  n0slem1lt  28293  n0p1nns  28296  dfnns2  28297  nnsind  28298  nn1m1nns  28299  nnm1n0s  28300  eucliddivs  28301  nnzs  28310  0zs  28312  elzn0s  28322  peano5uzs  28328  zscut  28331  1p1e2s  28339  no2times  28340  n0seo  28344  zseo  28345  twocut  28346  nohalf  28347  expsval  28348  exps1  28351  expsp1  28352  expscl  28354  expadds  28358  pw2recs  28361  pw2divsrecd  28370  pw2divsdird  28371  halfcut  28378  addhalfcut  28379  pw2cut  28380  pw2cutp1  28381  pw2cut2  28382  zs12bday  28394  recut  28398  0reno  28399  renegscl  28400  readdscl  28401  remulscllem1  28402  remulscl  28404