Theorem 1sno 27739

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27737	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27738	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5403	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27710	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27714	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2824	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   No csur 27551   <<s csslt 27692   |s cscut 27694   0_s c0s 27734   1_s c1s 27735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-0s 27736  df-1s 27737

This theorem is referenced by:  cuteq1  27746  right1s  27807  peano2no  27891  sltp1d  27922  negs1s  27933  sltm1d  28005  mulsrid  28016  mulslid  28045  divs1  28107  precsexlem8  28116  precsexlem9  28117  precsexlem10  28118  precsexlem11  28119  divsrecd  28136  divsdird  28137  1ons  28158  n0scut  28226  n0scut2  28227  n0ons  28228  n0sge0  28230  n0s0suc  28234  nnsge1  28235  n0addscl  28236  n0mulscl  28237  1n0s  28240  nnsrecgt0d  28243  n0sfincut  28246  n0s0m1  28252  n0subs  28253  n0sltp1le  28255  n0sleltp1  28256  n0slem1lt  28257  n0p1nns  28260  dfnns2  28261  nnsind  28262  nn1m1nns  28263  nnm1n0s  28264  eucliddivs  28265  nnzs  28274  0zs  28276  elzn0s  28286  peano5uzs  28292  zscut  28295  1p1e2s  28302  no2times  28303  n0seo  28307  zseo  28308  twocut  28309  nohalf  28310  expsval  28311  exps1  28314  expsp1  28315  expscl  28317  expadds  28320  pw2recs  28323  pw2divsrecd  28330  pw2divsdird  28331  halfcut  28333  addhalfcut  28334  pw2cut  28335  pw2cutp1  28336  zs12bday  28343  recut  28347  0reno  28348  renegscl  28349  readdscl  28350  remulscllem1  28351  remulscl  28353