Theorem 1sno 27796

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sno	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27794	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0sno 27795	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5423	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulssgt 27767	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		scutcl 27771	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2831	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410   No csur 27608   <<s csslt 27749   |s cscut 27751   0_s c0s 27791   1_s c1s 27792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1o 8485  df-2o 8486  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613  df-sslt 27750  df-scut 27752  df-0s 27793  df-1s 27794

This theorem is referenced by:  cuteq1  27803  right1s  27864  peano2no  27948  sltp1d  27979  negs1s  27990  sltm1d  28062  mulsrid  28073  mulslid  28102  divs1  28164  precsexlem8  28173  precsexlem9  28174  precsexlem10  28175  precsexlem11  28176  divsrecd  28193  divsdird  28194  1ons  28215  n0scut  28283  n0scut2  28284  n0ons  28285  n0sge0  28287  n0s0suc  28291  nnsge1  28292  n0addscl  28293  n0mulscl  28294  1n0s  28297  nnsrecgt0d  28300  n0sfincut  28303  n0s0m1  28309  n0subs  28310  n0sltp1le  28312  n0sleltp1  28313  n0slem1lt  28314  n0p1nns  28317  dfnns2  28318  nnsind  28319  nn1m1nns  28320  nnm1n0s  28321  eucliddivs  28322  nnzs  28331  0zs  28333  elzn0s  28343  peano5uzs  28349  zscut  28352  1p1e2s  28359  no2times  28360  n0seo  28364  zseo  28365  twocut  28366  nohalf  28367  expsval  28368  exps1  28371  expsp1  28372  expscl  28374  expadds  28377  pw2recs  28380  pw2divsrecd  28387  pw2divsdird  28388  halfcut  28390  addhalfcut  28391  pw2cut  28392  pw2cutp1  28393  zs12bday  28400  recut  28404  0reno  28405  renegscl  28406  readdscl  28407  remulscllem1  28408  remulscl  28410