MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftval3 14525
Description: Value of a sequence shifted by 𝐴𝐵. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftval3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐵))

Proof of Theorem shftval3
StepHypRef Expression
1 0cn 10711 . . 3 0 ∈ ℂ
2 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
32shftval2 14524 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
41, 3mp3an3 1451 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
5 addid1 10898 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
65adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
76fveq2d 6678 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘(𝐴 + 0)) = ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘𝐴))
8 addid1 10898 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
98adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
109fveq2d 6678 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐵 + 0)) = (𝐹𝐵))
114, 7, 103eqtr3d 2781 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  0cc0 10615   + caddc 10618  cmin 10948   shift cshi 14515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-sub 10950  df-shft 14516
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator