Theorem shftval3 15029

Description: Value of a sequence shifted by 𝐴 − 𝐵. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftval3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem shftval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11127	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	shftval2 15028	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
4	1, 3	mp3an3 1458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
5		addrid 11317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	6	fveq2d 6831	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘(𝐴 + 0)) = ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘𝐴))
8		addrid 11317	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
10	9	fveq2d 6831	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐵 + 0)) = (𝐹‘𝐵))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   + caddc 11032   − cmin 11368   shift cshi 15019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-shft 15020

This theorem is referenced by: (None)