![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > slemul1ad | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a non-negative number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
slemul1ad.1 | โข (๐ โ ๐ด โ No ) |
slemul1ad.2 | โข (๐ โ ๐ต โ No ) |
slemul1ad.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ No ) |
slemul1ad.4 | โข (๐ โ 0s โคs ๐ถ) |
slemul1ad.5 | โข (๐ โ ๐ด โคs ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
slemul1ad | โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | slemul1ad.5 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โคs ๐ต) | |
2 | 1 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ด โคs ๐ต) |
3 | slemul1ad.1 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ No ) | |
4 | 3 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ด โ No ) |
5 | slemul1ad.2 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ No ) | |
6 | 5 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ต โ No ) |
7 | slemul1ad.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ No ) | |
8 | 7 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ถ โ No ) |
9 | simpr 484 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ 0s <s ๐ถ) | |
10 | 4, 6, 8, 9 | slemul1d 28088 | . . 3 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ (๐ด โคs ๐ต โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ))) |
11 | 2, 10 | mpbid 231 | . 2 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
12 | 0sno 27772 | . . . . . 6 โข 0s โ No | |
13 | slerflex 27709 | . . . . . 6 โข ( 0s โ No โ 0s โคs 0s ) | |
14 | 12, 13 | mp1i 13 | . . . . 5 โข (๐ โ 0s โคs 0s ) |
15 | muls01 28025 | . . . . . 6 โข (๐ด โ No โ (๐ด ยทs 0s ) = 0s ) | |
16 | 3, 15 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยทs 0s ) = 0s ) |
17 | muls01 28025 | . . . . . 6 โข (๐ต โ No โ (๐ต ยทs 0s ) = 0s ) | |
18 | 5, 17 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต ยทs 0s ) = 0s ) |
19 | 14, 16, 18 | 3brtr4d 5180 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยทs 0s ) โคs (๐ต ยทs 0s )) |
20 | oveq2 7428 | . . . . 5 โข ( 0s = ๐ถ โ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ถ)) | |
21 | oveq2 7428 | . . . . 5 โข ( 0s = ๐ถ โ (๐ต ยทs 0s ) = (๐ต ยทs ๐ถ)) | |
22 | 20, 21 | breq12d 5161 | . . . 4 โข ( 0s = ๐ถ โ ((๐ด ยทs 0s ) โคs (๐ต ยทs 0s ) โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ))) |
23 | 19, 22 | syl5ibcom 244 | . . 3 โข (๐ โ ( 0s = ๐ถ โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ))) |
24 | 23 | imp 406 | . 2 โข ((๐ โง 0s = ๐ถ) โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
25 | slemul1ad.4 | . . 3 โข (๐ โ 0s โคs ๐ถ) | |
26 | sleloe 27700 | . . . 4 โข (( 0s โ No โง ๐ถ โ No ) โ ( 0s โคs ๐ถ โ ( 0s <s ๐ถ โจ 0s = ๐ถ))) | |
27 | 12, 7, 26 | sylancr 586 | . . 3 โข (๐ โ ( 0s โคs ๐ถ โ ( 0s <s ๐ถ โจ 0s = ๐ถ))) |
28 | 25, 27 | mpbid 231 | . 2 โข (๐ โ ( 0s <s ๐ถ โจ 0s = ๐ถ)) |
29 | 11, 24, 28 | mpjaodan 957 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โจ wo 846 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5148 (class class class)co 7420 No csur 27586 <s cslt 27587 โคs csle 27690 0s c0s 27768 ยทs cmuls 28019 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-ot 4638 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-1o 8487 df-2o 8488 df-nadd 8687 df-no 27589 df-slt 27590 df-bday 27591 df-sle 27691 df-sslt 27727 df-scut 27729 df-0s 27770 df-made 27787 df-old 27788 df-left 27790 df-right 27791 df-norec 27868 df-norec2 27879 df-adds 27890 df-negs 27947 df-subs 27948 df-muls 28020 |
This theorem is referenced by: sltmul12ad 28096 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |