MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slemul1ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slemul1ad 28095
Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a non-negative number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
slemul1ad.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
slemul1ad.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
slemul1ad.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
slemul1ad.4 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ถ)
slemul1ad.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
Assertion
Ref Expression
slemul1ad (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))

Proof of Theorem slemul1ad
StepHypRef Expression
1 slemul1ad.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
21adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
3 slemul1ad.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
43adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
5 slemul1ad.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
65adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
7 slemul1ad.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
87adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
9 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ 0s <s ๐ถ)
104, 6, 8, 9slemul1d 28088 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))
112, 10mpbid 231 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))
12 0sno 27772 . . . . . 6 0s โˆˆ No
13 slerflex 27709 . . . . . 6 ( 0s โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs 0s )
1412, 13mp1i 13 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs 0s )
15 muls01 28025 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
163, 15syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
17 muls01 28025 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ No โ†’ (๐ต ยทs 0s ) = 0s )
185, 17syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs 0s ) = 0s )
1914, 16, 183brtr4d 5180 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) โ‰คs (๐ต ยทs 0s ))
20 oveq2 7428 . . . . 5 ( 0s = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ถ))
21 oveq2 7428 . . . . 5 ( 0s = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทs 0s ) = (๐ต ยทs ๐ถ))
2220, 21breq12d 5161 . . . 4 ( 0s = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทs 0s ) โ‰คs (๐ต ยทs 0s ) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))
2319, 22syl5ibcom 244 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( 0s = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))
2423imp 406 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))
25 slemul1ad.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ถ)
26 sleloe 27700 . . . 4 (( 0s โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ถ โ†” ( 0s <s ๐ถ โˆจ 0s = ๐ถ)))
2712, 7, 26sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ถ โ†” ( 0s <s ๐ถ โˆจ 0s = ๐ถ)))
2825, 27mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( 0s <s ๐ถ โˆจ 0s = ๐ถ))
2911, 24, 28mpjaodan 957 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420   No csur 27586   <s cslt 27587   โ‰คs csle 27690   0s c0s 27768   ยทs cmuls 28019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8687  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sle 27691  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27770  df-made 27787  df-old 27788  df-left 27790  df-right 27791  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27947  df-subs 27948  df-muls 28020
This theorem is referenced by:  sltmul12ad  28096
  Copyright terms: Public domain W3C validator