![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > slemul1ad | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a non-negative number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
slemul1ad.1 | โข (๐ โ ๐ด โ No ) |
slemul1ad.2 | โข (๐ โ ๐ต โ No ) |
slemul1ad.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ No ) |
slemul1ad.4 | โข (๐ โ 0s โคs ๐ถ) |
slemul1ad.5 | โข (๐ โ ๐ด โคs ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
slemul1ad | โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | slemul1ad.5 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โคs ๐ต) | |
2 | 1 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ด โคs ๐ต) |
3 | slemul1ad.1 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ No ) | |
4 | 3 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ด โ No ) |
5 | slemul1ad.2 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ No ) | |
6 | 5 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ต โ No ) |
7 | slemul1ad.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ No ) | |
8 | 7 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ ๐ถ โ No ) |
9 | simpr 484 | . . . 4 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ 0s <s ๐ถ) | |
10 | 4, 6, 8, 9 | slemul1d 28026 | . . 3 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ (๐ด โคs ๐ต โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ))) |
11 | 2, 10 | mpbid 231 | . 2 โข ((๐ โง 0s <s ๐ถ) โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
12 | 0sno 27710 | . . . . . 6 โข 0s โ No | |
13 | slerflex 27647 | . . . . . 6 โข ( 0s โ No โ 0s โคs 0s ) | |
14 | 12, 13 | mp1i 13 | . . . . 5 โข (๐ โ 0s โคs 0s ) |
15 | muls01 27963 | . . . . . 6 โข (๐ด โ No โ (๐ด ยทs 0s ) = 0s ) | |
16 | 3, 15 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยทs 0s ) = 0s ) |
17 | muls01 27963 | . . . . . 6 โข (๐ต โ No โ (๐ต ยทs 0s ) = 0s ) | |
18 | 5, 17 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต ยทs 0s ) = 0s ) |
19 | 14, 16, 18 | 3brtr4d 5173 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยทs 0s ) โคs (๐ต ยทs 0s )) |
20 | oveq2 7412 | . . . . 5 โข ( 0s = ๐ถ โ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ถ)) | |
21 | oveq2 7412 | . . . . 5 โข ( 0s = ๐ถ โ (๐ต ยทs 0s ) = (๐ต ยทs ๐ถ)) | |
22 | 20, 21 | breq12d 5154 | . . . 4 โข ( 0s = ๐ถ โ ((๐ด ยทs 0s ) โคs (๐ต ยทs 0s ) โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ))) |
23 | 19, 22 | syl5ibcom 244 | . . 3 โข (๐ โ ( 0s = ๐ถ โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ))) |
24 | 23 | imp 406 | . 2 โข ((๐ โง 0s = ๐ถ) โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
25 | slemul1ad.4 | . . 3 โข (๐ โ 0s โคs ๐ถ) | |
26 | sleloe 27638 | . . . 4 โข (( 0s โ No โง ๐ถ โ No ) โ ( 0s โคs ๐ถ โ ( 0s <s ๐ถ โจ 0s = ๐ถ))) | |
27 | 12, 7, 26 | sylancr 586 | . . 3 โข (๐ โ ( 0s โคs ๐ถ โ ( 0s <s ๐ถ โจ 0s = ๐ถ))) |
28 | 25, 27 | mpbid 231 | . 2 โข (๐ โ ( 0s <s ๐ถ โจ 0s = ๐ถ)) |
29 | 11, 24, 28 | mpjaodan 955 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ถ) โคs (๐ต ยทs ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โจ wo 844 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 No csur 27524 <s cslt 27525 โคs csle 27628 0s c0s 27706 ยทs cmuls 27957 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-1o 8464 df-2o 8465 df-nadd 8664 df-no 27527 df-slt 27528 df-bday 27529 df-sle 27629 df-sslt 27665 df-scut 27667 df-0s 27708 df-made 27725 df-old 27726 df-left 27728 df-right 27729 df-norec 27806 df-norec2 27817 df-adds 27828 df-negs 27885 df-subs 27886 df-muls 27958 |
This theorem is referenced by: sltmul12ad 28034 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |