MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slemul1ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slemul1ad 28033
Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a non-negative number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
slemul1ad.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
slemul1ad.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
slemul1ad.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
slemul1ad.4 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ถ)
slemul1ad.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
Assertion
Ref Expression
slemul1ad (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))

Proof of Theorem slemul1ad
StepHypRef Expression
1 slemul1ad.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
21adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
3 slemul1ad.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
43adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
5 slemul1ad.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
65adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
7 slemul1ad.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
87adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
9 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ 0s <s ๐ถ)
104, 6, 8, 9slemul1d 28026 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))
112, 10mpbid 231 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))
12 0sno 27710 . . . . . 6 0s โˆˆ No
13 slerflex 27647 . . . . . 6 ( 0s โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs 0s )
1412, 13mp1i 13 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs 0s )
15 muls01 27963 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
163, 15syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
17 muls01 27963 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ No โ†’ (๐ต ยทs 0s ) = 0s )
185, 17syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs 0s ) = 0s )
1914, 16, 183brtr4d 5173 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) โ‰คs (๐ต ยทs 0s ))
20 oveq2 7412 . . . . 5 ( 0s = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = (๐ด ยทs ๐ถ))
21 oveq2 7412 . . . . 5 ( 0s = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทs 0s ) = (๐ต ยทs ๐ถ))
2220, 21breq12d 5154 . . . 4 ( 0s = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทs 0s ) โ‰คs (๐ต ยทs 0s ) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))
2319, 22syl5ibcom 244 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( 0s = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ)))
2423imp 406 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s = ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))
25 slemul1ad.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs ๐ถ)
26 sleloe 27638 . . . 4 (( 0s โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ถ โ†” ( 0s <s ๐ถ โˆจ 0s = ๐ถ)))
2712, 7, 26sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( 0s โ‰คs ๐ถ โ†” ( 0s <s ๐ถ โˆจ 0s = ๐ถ)))
2825, 27mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( 0s <s ๐ถ โˆจ 0s = ๐ถ))
2911, 24, 28mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โ‰คs (๐ต ยทs ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404   No csur 27524   <s cslt 27525   โ‰คs csle 27628   0s c0s 27706   ยทs cmuls 27957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-nadd 8664  df-no 27527  df-slt 27528  df-bday 27529  df-sle 27629  df-sslt 27665  df-scut 27667  df-0s 27708  df-made 27725  df-old 27726  df-left 27728  df-right 27729  df-norec 27806  df-norec2 27817  df-adds 27828  df-negs 27885  df-subs 27886  df-muls 27958
This theorem is referenced by:  sltmul12ad  28034
  Copyright terms: Public domain W3C validator