Theorem sltsbday 28308

Description: Birthday comparison rule for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 23-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsbday.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
sltsbday.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
sltsbday.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {𝐵})
sltsbday.4	⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sltsbday	⊢ (𝜑 → (bday‘𝐴) ⊆ (bday‘𝐵))

Proof of Theorem sltsbday

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsbday.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
2	1	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (bday‘𝐴) = (bday‘(𝐿 |s 𝑅)))
3		sltsbday.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {𝐵})
4		sltsbday.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑅)
5		sltsbday.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
6	5	snn0d 4732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≠ ∅)
7		sltstr 28178	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 <<s {𝐵} ∧ {𝐵} <<s 𝑅 ∧ {𝐵} ≠ ∅) → 𝐿 <<s 𝑅)
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
9		cutbday 28175	. . . 4 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → (bday‘(𝐿 |s 𝑅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (bday‘(𝐿 |s 𝑅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}))
11		bdayfn 28139	. . . . 5 ⊢ bday Fn No
12		ssrab2 4005	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)} ⊆ No
13		sneq 4590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → {𝑥} = {𝐵})
14	13	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐿 <<s {𝑥} ↔ 𝐿 <<s {𝐵}))
15	13	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ({𝑥} <<s 𝑅 ↔ {𝐵} <<s 𝑅))
16	14, 15	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅) ↔ (𝐿 <<s {𝐵} ∧ {𝐵} <<s 𝑅)))
17	3, 4	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 <<s {𝐵} ∧ {𝐵} <<s 𝑅))
18	16, 5, 17	elrabd 3646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)})
19		fnfvima 7239	. . . . 5 ⊢ ((bday Fn No ∧ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)} ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}) → (bday‘𝐵) ∈ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}))
20	11, 12, 18, 19	mp3an12i 1494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (bday‘𝐵) ∈ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}))
21		intss1 4922	. . . 4 ⊢ ((bday‘𝐵) ∈ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}) → ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}) ⊆ (bday‘𝐵))
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (𝐿 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝑅)}) ⊆ (bday‘𝐵))
23	10, 22	eqsstrd 3942	. 2 ⊢ (𝜑 → (bday‘(𝐿 |s 𝑅)) ⊆ (bday‘𝐵))
24	2, 23	eqsstrd 3942	1 ⊢ (𝜑 → (bday‘𝐴) ⊆ (bday‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  {csn 4584  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 28002  bdaycbday 28004   <<s cslts 28148   |s ccuts 28150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151

This theorem is used by:  bdayfinbndlem1  28858