Theorem sn-1ticom 42444

Description: Lemma for sn-mullid 42445 and sn-it1ei 42446. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ticom	⊢ (1 · i) = (i · 1)

Proof of Theorem sn-1ticom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11193	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulcli 11247	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
3	2, 2, 1	mulassi 11251	. . 3 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = ((i · i) · ((i · i) · i))
4	1, 2	mulcli 11247	. . . . 5 ⊢ (i · (i · i)) ∈ ℂ
5	1, 1, 4	mulassi 11251	. . . 4 ⊢ ((i · i) · (i · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
6	1, 1, 1	mulassi 11251	. . . . 5 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
7	6	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ ((i · i) · ((i · i) · i)) = ((i · i) · (i · (i · i)))
8	1, 1, 2	mulassi 11251	. . . . 5 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = (i · (i · (i · i)))
9	8	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
10	5, 7, 9	3eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ ((i · i) · ((i · i) · i)) = (i · ((i · i) · (i · i)))
11	3, 10	eqtri 2759	. 2 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = (i · ((i · i) · (i · i)))
12		rei4 42433	. . 3 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
13	12	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = (1 · i)
14	12	oveq2i 7421	. 2 ⊢ (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · 1)
15	11, 13, 14	3eqtr3i 2767	1 ⊢ (1 · i) = (i · 1)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7410  1c1 11135  ici 11136   · cmul 11139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-2 12308  df-3 12309  df-resub 42376

This theorem is referenced by:  sn-mullid  42445  sn-it1ei  42446  sn-retire  42479