Theorem sn-1ticom 43313

Description: Lemma for sn-mullid 43314 and sn-it1ei 43315. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ticom	⊢ (1 · i) = (i · 1)

Proof of Theorem sn-1ticom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11186	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulcli 11243	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
3	2, 2, 1	mulassi 11247	. . 3 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = ((i · i) · ((i · i) · i))
4	1, 2	mulcli 11243	. . . . 5 ⊢ (i · (i · i)) ∈ ℂ
5	1, 1, 4	mulassi 11247	. . . 4 ⊢ ((i · i) · (i · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
6	1, 1, 1	mulassi 11247	. . . . 5 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
7	6	oveq2i 7425	. . . 4 ⊢ ((i · i) · ((i · i) · i)) = ((i · i) · (i · (i · i)))
8	1, 1, 2	mulassi 11247	. . . . 5 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = (i · (i · (i · i)))
9	8	oveq2i 7425	. . . 4 ⊢ (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
10	5, 7, 9	3eqtr4i 2793	. . 3 ⊢ ((i · i) · ((i · i) · i)) = (i · ((i · i) · (i · i)))
11	3, 10	eqtri 2783	. 2 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = (i · ((i · i) · (i · i)))
12		rei4 43302	. . 3 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
13	12	oveq1i 7424	. 2 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = (1 · i)
14	12	oveq2i 7425	. 2 ⊢ (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · 1)
15	11, 13, 14	3eqtr3i 2791	1 ⊢ (1 · i) = (i · 1)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7414  1c1 11128  ici 11129   · cmul 11132

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-2 12330  df-3 12331  df-resub 43244

This theorem is used by:  sn-mullid  43314  sn-it1ei  43315  sn-retire  43380