Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-1ticom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-1ticom 41089
Description: Lemma for sn-mullid 41090 and it1ei 41091. (Contributed by SN, 27-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-1ticom (1 · i) = (i · 1)

Proof of Theorem sn-1ticom
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11151 . . . . 5 i ∈ ℂ
21, 1mulcli 11203 . . . 4 (i · i) ∈ ℂ
32, 2, 1mulassi 11207 . . 3 (((i · i) · (i · i)) · i) = ((i · i) · ((i · i) · i))
41, 2mulcli 11203 . . . . 5 (i · (i · i)) ∈ ℂ
51, 1, 4mulassi 11207 . . . 4 ((i · i) · (i · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
61, 1, 1mulassi 11207 . . . . 5 ((i · i) · i) = (i · (i · i))
76oveq2i 7404 . . . 4 ((i · i) · ((i · i) · i)) = ((i · i) · (i · (i · i)))
81, 1, 2mulassi 11207 . . . . 5 ((i · i) · (i · i)) = (i · (i · (i · i)))
98oveq2i 7404 . . . 4 (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
105, 7, 93eqtr4i 2769 . . 3 ((i · i) · ((i · i) · i)) = (i · ((i · i) · (i · i)))
113, 10eqtri 2759 . 2 (((i · i) · (i · i)) · i) = (i · ((i · i) · (i · i)))
12 rei4 41078 . . 3 ((i · i) · (i · i)) = 1
1312oveq1i 7403 . 2 (((i · i) · (i · i)) · i) = (1 · i)
1412oveq2i 7404 . 2 (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · 1)
1511, 13, 143eqtr3i 2767 1 (1 · i) = (i · 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7393  1c1 11093  ici 11094   · cmul 11097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-2 12257  df-3 12258  df-resub 41021
This theorem is referenced by:  sn-mullid  41090  it1ei  41091  retire  41122
  Copyright terms: Public domain W3C validator