Theorem sn-1ticom 42410

Description: Lemma for sn-mullid 42411 and sn-it1ei 42412. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ticom	⊢ (1 · i) = (i · 1)

Proof of Theorem sn-1ticom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11243	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulcli 11297	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
3	2, 2, 1	mulassi 11301	. . 3 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = ((i · i) · ((i · i) · i))
4	1, 2	mulcli 11297	. . . . 5 ⊢ (i · (i · i)) ∈ ℂ
5	1, 1, 4	mulassi 11301	. . . 4 ⊢ ((i · i) · (i · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
6	1, 1, 1	mulassi 11301	. . . . 5 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
7	6	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ ((i · i) · ((i · i) · i)) = ((i · i) · (i · (i · i)))
8	1, 1, 2	mulassi 11301	. . . . 5 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = (i · (i · (i · i)))
9	8	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · (i · (i · (i · i))))
10	5, 7, 9	3eqtr4i 2778	. . 3 ⊢ ((i · i) · ((i · i) · i)) = (i · ((i · i) · (i · i)))
11	3, 10	eqtri 2768	. 2 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = (i · ((i · i) · (i · i)))
12		rei4 42399	. . 3 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
13	12	oveq1i 7458	. 2 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · i) = (1 · i)
14	12	oveq2i 7459	. 2 ⊢ (i · ((i · i) · (i · i))) = (i · 1)
15	11, 13, 14	3eqtr3i 2776	1 ⊢ (1 · i) = (i · 1)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7448  1c1 11185  ici 11186   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-2 12356  df-3 12357  df-resub 42342

This theorem is referenced by:  sn-mullid  42411  sn-it1ei  42412  sn-retire  42445