Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-mullid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-mullid 42442
Description: mullid 11258 without ax-mulcom 11217. (Contributed by SN, 27-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-mullid (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem sn-mullid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11256 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 1cnd 11254 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
3 recn 11243 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 ax-icn 11212 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
7 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
96, 8mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
102, 4, 9adddid 11283 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))))
11 remullid 42440 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
132, 6, 8mulassd 11282 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (1 · (i · 𝑦)))
14 sn-1ticom 42441 . . . . . . . . . 10 (1 · i) = (i · 1)
1514oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦))
176, 2, 8mulassd 11282 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 1) · 𝑦) = (i · (1 · 𝑦)))
18 remullid 42440 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
2019oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (1 · 𝑦)) = (i · 𝑦))
2116, 17, 203eqtrd 2779 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (i · 𝑦))
2213, 21eqtr3d 2777 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
2312, 22oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2410, 23eqtrd 2775 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
25 oveq2 7439 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
26 id 22 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2725, 26eqeq12d 2751 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((1 · 𝐴) = 𝐴 ↔ (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
2824, 27syl5ibrcom 247 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴))
2928rexlimivv 3199 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
301, 29syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  sn-it1ei  42443
  Copyright terms: Public domain W3C validator