Theorem sn-mullid 43487

Description: mullid 11307 without ax-mulcom 11264. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem sn-mullid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		1cnd 11302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
3		recn 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		ax-icn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
7		recn 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10	2, 4, 9	adddid 11333	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))))
11		remullid 43485	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
13	2, 6, 8	mulassd 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (1 · (i · 𝑦)))
14		sn-1ticom 43486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
15	14	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦))
17	6, 2, 8	mulassd 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 1) · 𝑦) = (i · (1 · 𝑦)))
18		remullid 43485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	18	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
20	19	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (1 · 𝑦)) = (i · 𝑦))
21	16, 17, 20	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (i · 𝑦))
22	13, 21	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
23	12, 22	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
24	10, 23	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
25		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
26		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
27	25, 26	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((1 · 𝐴) = 𝐴 ↔ (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
28	24, 27	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴))
29	28	rexlimivv 3205	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
30	1, 29	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-2 12405  df-3 12406  df-resub 43417

This theorem is used by:  sn-it1ei  43488