Theorem sn-mullid 42465

Description: mullid 11260 without ax-mulcom 11219. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem sn-mullid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		1cnd 11256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
3		recn 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		ax-icn 11214	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
7		recn 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10	2, 4, 9	adddid 11285	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))))
11		remullid 42463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
13	2, 6, 8	mulassd 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (1 · (i · 𝑦)))
14		sn-1ticom 42464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
15	14	oveq1i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦))
17	6, 2, 8	mulassd 11284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 1) · 𝑦) = (i · (1 · 𝑦)))
18		remullid 42463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
20	19	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (1 · 𝑦)) = (i · 𝑦))
21	16, 17, 20	3eqtrd 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (i · 𝑦))
22	13, 21	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
23	12, 22	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
24	10, 23	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
25		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
26		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
27	25, 26	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((1 · 𝐴) = 𝐴 ↔ (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
28	24, 27	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴))
29	28	rexlimivv 3201	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
30	1, 29	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396

This theorem is referenced by:  sn-it1ei  42466