Theorem sn-mullid 43045

Description: mullid 11180 without ax-mulcom 11137. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem sn-mullid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11178	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		1cnd 11175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
3		recn 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		ax-icn 11132	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
7		recn 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10	2, 4, 9	adddid 11206	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))))
11		remullid 43043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
13	2, 6, 8	mulassd 11205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (1 · (i · 𝑦)))
14		sn-1ticom 43044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
15	14	oveq1i 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦))
17	6, 2, 8	mulassd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 1) · 𝑦) = (i · (1 · 𝑦)))
18		remullid 43043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	18	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
20	19	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (1 · 𝑦)) = (i · 𝑦))
21	16, 17, 20	3eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (i · 𝑦))
22	13, 21	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
23	12, 22	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
24	10, 23	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
25		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
26		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
27	25, 26	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((1 · 𝐴) = 𝐴 ↔ (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
28	24, 27	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴))
29	28	rexlimivv 3204	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
30	1, 29	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  1c1 11074  ici 11075   + caddc 11076   · cmul 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 42975

This theorem is referenced by:  sn-it1ei  43046