Theorem acufl 23641

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	⊢ (CHOICE → UFL = V)

Proof of Theorem acufl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3476	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	pwex 5377	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
3	2	pwex 5377	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
4		dfac10 10134	. . . . . 6 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	eleqtrrid 2838	. . . 4 ⊢ (CHOICE → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
7		numufl 23639	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ UFL)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ UFL)
9	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ V)
10	8, 9	2thd 264	. 2 ⊢ (CHOICE → (𝑥 ∈ UFL ↔ 𝑥 ∈ V))
11	10	eqrdv 2728	1 ⊢ (CHOICE → UFL = V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  𝒫 cpw 4601  dom cdm 5675  cardccrd 9932  CHOICEwac 10112  UFLcufl 23624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-rpss 7715  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-fil 23570  df-ufil 23625  df-ufl 23626

This theorem is referenced by:  ptcmp  23782  dfac21  42110