Theorem acufl 23056

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	⊢ (CHOICE → UFL = V)

Proof of Theorem acufl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	pwex 5302	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
3	2	pwex 5302	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
4		dfac10 9881	. . . . . 6 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	eleqtrrid 2846	. . . 4 ⊢ (CHOICE → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
7		numufl 23054	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ UFL)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ UFL)
9	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ V)
10	8, 9	2thd 264	. 2 ⊢ (CHOICE → (𝑥 ∈ UFL ↔ 𝑥 ∈ V))
11	10	eqrdv 2736	1 ⊢ (CHOICE → UFL = V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4534  dom cdm 5585  cardccrd 9681  CHOICEwac 9859  UFLcufl 23039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-rpss 7567  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-oadd 8289  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-fin 8725  df-fi 9158  df-dju 9647  df-card 9685  df-ac 9860  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-fil 22985  df-ufil 23040  df-ufl 23041

This theorem is referenced by:  ptcmp  23197  dfac21  40877