Theorem acufl 23941

Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acufl	⊢ (CHOICE → UFL = V)

Proof of Theorem acufl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	pwex 5386	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
3	2	pwex 5386	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
4		dfac10 10176	. . . . . 6 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	4	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → dom card = V)
6	3, 5	eleqtrrid 2846	. . . 4 ⊢ (CHOICE → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
7		numufl 23939	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ UFL)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ UFL)
9	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ V)
10	8, 9	2thd 265	. 2 ⊢ (CHOICE → (𝑥 ∈ UFL ↔ 𝑥 ∈ V))
11	10	eqrdv 2733	1 ⊢ (CHOICE → UFL = V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605  dom cdm 5689  cardccrd 9973  CHOICEwac 10153  UFLcufl 23924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-dju 9939  df-card 9977  df-ac 10154  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-fil 23870  df-ufil 23925  df-ufl 23926

This theorem is referenced by:  ptcmp  24082  dfac21  43055