MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acufl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acufl 23056
Description: The axiom of choice implies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acufl (CHOICE → UFL = V)

Proof of Theorem acufl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3434 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
21pwex 5302 . . . . . 6 𝒫 𝑥 ∈ V
32pwex 5302 . . . . 5 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
4 dfac10 9881 . . . . . 6 (CHOICE ↔ dom card = V)
54biimpi 215 . . . . 5 (CHOICE → dom card = V)
63, 5eleqtrrid 2846 . . . 4 (CHOICE → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
7 numufl 23054 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ UFL)
86, 7syl 17 . . 3 (CHOICE𝑥 ∈ UFL)
91a1i 11 . . 3 (CHOICE𝑥 ∈ V)
108, 92thd 264 . 2 (CHOICE → (𝑥 ∈ UFL ↔ 𝑥 ∈ V))
1110eqrdv 2736 1 (CHOICE → UFL = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4534  dom cdm 5585  cardccrd 9681  CHOICEwac 9859  UFLcufl 23039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-rpss 7567  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-oadd 8289  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-fin 8725  df-fi 9158  df-dju 9647  df-card 9685  df-ac 9860  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-fil 22985  df-ufil 23040  df-ufl 23041
This theorem is referenced by:  ptcmp  23197  dfac21  40877
  Copyright terms: Public domain W3C validator