Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submuladdmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submuladdmuld 46877
Description: Transformation of a sum of a product of a difference and a product with the subtrahend of the difference. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
submuladdmuld.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
submuladdmuld.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
submuladdmuld.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
submuladdmuld.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
submuladdmuld (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ))))

Proof of Theorem submuladdmuld
StepHypRef Expression
1 submuladdmuld.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 submuladdmuld.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 submuladdmuld.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3subdird 11620 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
54oveq1d 7376 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท ๐ท)))
61, 3mulcld 11183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
72, 3mulcld 11183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 submuladdmuld.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
92, 8mulcld 11183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
106, 7, 9subadd23d 11542 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))))
112, 8, 3subdid 11619 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
1211eqcomd 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
1312oveq2d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ))))
145, 10, 133eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395
This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  46917
  Copyright terms: Public domain W3C validator