Theorem submuladdmuld 49199

Description: Transformation of a sum of a product of a difference and a product with the subtrahend of the difference. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Proof of Theorem submuladdmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		submuladdmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdird 11605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	4	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 3	mulcld 11163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	2, 3	mulcld 11163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		submuladdmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9	2, 8	mulcld 11163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	subadd23d 11525	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))))
11	2, 8, 3	subdid 11604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
12	11	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)))
13	12	oveq2d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))
14	5, 10, 13	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  49239