Theorem submuladdmuld 48125

Description: Transformation of a sum of a product of a difference and a product with the subtrahend of the difference. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Proof of Theorem submuladdmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		submuladdmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdird 11712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	4	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 3	mulcld 11275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	2, 3	mulcld 11275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		submuladdmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9	2, 8	mulcld 11275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	subadd23d 11634	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))))
11	2, 8, 3	subdid 11711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
12	11	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)))
13	12	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))
14	5, 10, 13	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7416  ℂcc 11147   + caddc 11152   · cmul 11154   − cmin 11485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-ltxr 11294  df-sub 11487

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  48165