Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submuladdmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submuladdmuld 47667
Description: Transformation of a sum of a product of a difference and a product with the subtrahend of the difference. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
submuladdmuld.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
submuladdmuld.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
submuladdmuld.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
submuladdmuld.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
submuladdmuld (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ))))

Proof of Theorem submuladdmuld
StepHypRef Expression
1 submuladdmuld.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 submuladdmuld.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 submuladdmuld.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3subdird 11675 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
54oveq1d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท ๐ท)))
61, 3mulcld 11238 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
72, 3mulcld 11238 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 submuladdmuld.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
92, 8mulcld 11238 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
106, 7, 9subadd23d 11597 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))))
112, 8, 3subdid 11674 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
1211eqcomd 2732 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
1312oveq2d 7421 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ))))
145, 10, 133eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450
This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  47707
  Copyright terms: Public domain W3C validator