Theorem submuladdmuld 46312

Description: Transformation of a sum of a product of a difference and a product with the subtrahend of the difference. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Proof of Theorem submuladdmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		submuladdmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdird 11512	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	4	oveq1d 7332	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 3	mulcld 11075	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	2, 3	mulcld 11075	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		submuladdmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9	2, 8	mulcld 11075	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	subadd23d 11434	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))))
11	2, 8, 3	subdid 11511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
12	11	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)))
13	12	oveq2d 7333	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))
14	5, 10, 13	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7317  ℂcc 10949   + caddc 10954   · cmul 10956   − cmin 11285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-ltxr 11094  df-sub 11287

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  46352