MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdid 11618
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mulnegd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
subdid.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
subdid (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mulnegd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 subdid.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 subdi 11595 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394
This theorem is referenced by:  muls1d  11622  addmulsub  11624  recextlem1  11792  cru  12152  cju  12156  zneo  12593  qbtwnre  13125  lincmb01cmp  13419  iccf1o  13420  intfracq  13771  modlt  13792  moddi  13851  modsubdir  13852  subsq  14121  expmulnbnd  14145  crre  15006  remullem  15020  mulcn2  15485  iseraltlem3  15575  fsumparts  15698  geoserg  15758  mertens  15778  bpolydiflem  15944  bpoly4  15949  fsumcube  15950  tanval3  16023  tanadd  16056  eirrlem  16093  bezoutlem3  16429  cncongr1  16550  eulerthlem2  16661  prmdiv  16664  prmdiveq  16665  4sqlem10  16826  mul4sqlem  16832  4sqlem17  16840  blcvx  24177  icopnfhmeo  24322  pcoass  24403  cphipval  24623  pjthlem1  24817  itgmulc2lem2  25213  dvmulbr  25319  cmvth  25371  dvcvx  25400  dvfsumle  25401  dvfsumabs  25403  dvfsumlem2  25407  aaliou3lem8  25721  abelthlem2  25807  tangtx  25878  tanregt0  25911  efif1olem2  25915  efif1olem4  25917  ang180lem5  26179  isosctrlem2  26185  isosctrlem3  26186  affineequiv  26189  heron  26204  dcubic1  26211  dquart  26219  quartlem1  26223  asinsin  26258  efiatan  26278  atanlogsublem  26281  efiatan2  26283  2efiatan  26284  tanatan  26285  atantayl2  26304  lgamgulmlem2  26395  lgamgulmlem3  26396  ftalem5  26442  basellem3  26448  basellem5  26450  logfaclbnd  26586  lgseisenlem2  26740  lgsquadlem1  26744  2sqlem4  26785  2sqmod  26800  vmadivsum  26846  rplogsumlem1  26848  dchrmusum2  26858  dchrvmasumiflem2  26866  rpvmasum2  26876  dchrisum0lem2a  26881  dchrisum0lem2  26882  rplogsum  26891  mulogsumlem  26895  mulogsum  26896  mulog2sumlem1  26898  mulog2sumlem2  26899  mulog2sumlem3  26900  vmalogdivsum2  26902  vmalogdivsum  26903  2vmadivsumlem  26904  logsqvma  26906  selberglem1  26909  selberglem2  26910  selberg2lem  26914  chpdifbndlem1  26917  selberg3lem1  26921  selberg4lem1  26924  selberg4  26925  pntrsumo1  26929  selbergr  26932  selberg3r  26933  selberg4r  26934  selberg34r  26935  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem5  26945  pntrlog2bndlem6  26947  pntlemo  26971  ttgcontlem1  27875  brbtwn2  27896  colinearalglem1  27897  axcontlem8  27962  pjhthlem1  30375  knoppndvlem11  35014  knoppndvlem14  35017  knoppndvlem15  35018  knoppndvlem16  35019  bj-bary1lem  35810  bj-bary1lem1  35811  itgmulc2nclem2  36174  areacirclem1  36195  areacirclem4  36198  areacirc  36200  cntotbnd  36284  irrapxlem2  41175  irrapxlem3  41176  irrapxlem5  41178  pellexlem6  41186  pell1qrgaplem  41225  qirropth  41260  jm2.17a  41313  congmul  41320  jm2.18  41341  areaquad  41579  itgsinexp  44270  stoweidlem26  44341  stirlinglem7  44395  fourierdlem83  44504  etransclem46  44595  smfmullem1  45106  fmtnorec3  45814  fmtnorec4  45815  fppr2odd  45997  itcovalt2lem2lem2  46834  submuladdmuld  46861  affinecomb2  46863  itsclc0yqsollem1  46922  itsclc0yqsol  46924  itscnhlc0xyqsol  46925  itsclc0xyqsolr  46929  2itscplem3  46940  itscnhlinecirc02plem1  46942
  Copyright terms: Public domain W3C validator