Theorem subdid 11640

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11617	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   · cmul 11075   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  muls1d  11644  addmulsub  11646  recextlem1  11814  cru  12184  cju  12188  zneo  12653  qbtwnre  13199  lincmb01cmp  13496  iccf1o  13497  intfracq  13866  modlt  13887  moddi  13949  modsubdir  13950  subsq  14220  expmulnbnd  14245  crre  15124  remullem  15138  mulcn2  15606  iseraltlem3  15694  fsumparts  15817  geoserg  15879  mertens  15899  bpolydiflem  16067  bpoly4  16072  fsumcube  16073  tanval3  16149  tanadd  16182  eirrlem  16219  bezoutlem3  16558  cncongr1  16684  eulerthlem2  16800  prmdiv  16803  prmdiveq  16804  4sqlem10  16966  mul4sqlem  16972  4sqlem17  16980  blcvx  24838  icopnfhmeo  24985  pcoass  25066  cphipval  25285  pjthlem1  25479  itgmulc2lem2  25875  dvmulbr  25981  cmvth  26033  dvcvx  26062  dvfsumle  26063  dvfsumabs  26065  dvfsumlem2  26069  aaliou3lem8  26386  abelthlem2  26472  tangtx  26547  tanregt0  26581  efif1olem2  26585  efif1olem4  26587  ang180lem5  26855  isosctrlem2  26861  isosctrlem3  26862  affineequiv  26865  heron  26880  dcubic1  26887  dquart  26895  quartlem1  26899  asinsin  26934  efiatan  26954  atanlogsublem  26957  efiatan2  26959  2efiatan  26960  tanatan  26961  atantayl2  26980  lgamgulmlem2  27071  lgamgulmlem3  27072  ftalem5  27118  basellem3  27124  basellem5  27126  logfaclbnd  27263  lgseisenlem2  27417  lgsquadlem1  27421  2sqlem4  27462  2sqmod  27477  vmadivsum  27523  rplogsumlem1  27525  dchrmusum2  27535  dchrvmasumiflem2  27543  rpvmasum2  27553  dchrisum0lem2a  27558  dchrisum0lem2  27559  rplogsum  27568  mulogsumlem  27572  mulogsum  27573  mulog2sumlem1  27575  mulog2sumlem2  27576  mulog2sumlem3  27577  vmalogdivsum2  27579  vmalogdivsum  27580  2vmadivsumlem  27581  logsqvma  27583  selberglem1  27586  selberglem2  27587  selberg2lem  27591  chpdifbndlem1  27594  selberg3lem1  27598  selberg4lem1  27601  selberg4  27602  pntrsumo1  27606  selbergr  27609  selberg3r  27610  selberg4r  27611  selberg34r  27612  pntrlog2bndlem4  27621  pntrlog2bndlem5  27622  pntrlog2bndlem6  27624  pntlemo  27648  ttgcontlem1  29031  brbtwn2  29052  colinearalglem1  29053  axcontlem8  29118  pjhthlem1  31540  constrrtll  33989  constrrtlc1  33990  constrrtcclem  33992  constrremulcl  34025  constrrecl  34027  constrreinvcl  34030  cos9thpiminplylem1  34040  cos9thpiminplylem2  34041  knoppndvlem11  36924  knoppndvlem14  36927  knoppndvlem15  36928  knoppndvlem16  36929  bj-bary1lem  37766  bj-bary1lem1  37767  qdiff  37783  itgmulc2nclem2  38150  areacirclem1  38171  areacirclem4  38174  areacirc  38176  cntotbnd  38259  posbezout  42681  hashscontpow1  42702  nicomachus  42885  irrapxlem2  43364  irrapxlem3  43365  irrapxlem5  43367  pellexlem6  43375  pell1qrgaplem  43414  qirropth  43449  jm2.17a  43501  congmul  43508  jm2.18  43529  areaquad  43757  itgsinexp  46493  stoweidlem26  46564  stirlinglem7  46618  fourierdlem83  46727  etransclem46  46818  smfmullem1  47329  sin3t  47429  cos3t  47430  sin5tlem4  47434  cos5t  47437  fmtnorec3  48121  fmtnorec4  48122  fppr2odd  48317  itcovalt2lem2lem2  49260  submuladdmuld  49287  affinecomb2  49289  itsclc0yqsollem1  49348  itsclc0yqsol  49350  itscnhlc0xyqsol  49351  itsclc0xyqsolr  49355  2itscplem3  49366  itscnhlinecirc02plem1  49368