Theorem subdid 11641

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11618	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   · cmul 11080   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  muls1d  11645  addmulsub  11647  recextlem1  11815  cru  12185  cju  12189  zneo  12624  qbtwnre  13166  lincmb01cmp  13463  iccf1o  13464  intfracq  13828  modlt  13849  moddi  13911  modsubdir  13912  subsq  14182  expmulnbnd  14207  crre  15087  remullem  15101  mulcn2  15569  iseraltlem3  15657  fsumparts  15779  geoserg  15839  mertens  15859  bpolydiflem  16027  bpoly4  16032  fsumcube  16033  tanval3  16109  tanadd  16142  eirrlem  16179  bezoutlem3  16518  cncongr1  16644  eulerthlem2  16759  prmdiv  16762  prmdiveq  16763  4sqlem10  16925  mul4sqlem  16931  4sqlem17  16939  blcvx  24693  icopnfhmeo  24848  pcoass  24931  cphipval  25150  pjthlem1  25344  itgmulc2lem2  25741  dvmulbr  25848  dvmulbrOLD  25849  cmvth  25902  cmvthOLD  25903  dvcvx  25932  dvfsumle  25933  dvfsumleOLD  25934  dvfsumabs  25936  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  aaliou3lem8  26260  abelthlem2  26349  tangtx  26421  tanregt0  26455  efif1olem2  26459  efif1olem4  26461  ang180lem5  26730  isosctrlem2  26736  isosctrlem3  26737  affineequiv  26740  heron  26755  dcubic1  26762  dquart  26770  quartlem1  26774  asinsin  26809  efiatan  26829  atanlogsublem  26832  efiatan2  26834  2efiatan  26835  tanatan  26836  atantayl2  26855  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  ftalem5  26994  basellem3  27000  basellem5  27002  logfaclbnd  27140  lgseisenlem2  27294  lgsquadlem1  27298  2sqlem4  27339  2sqmod  27354  vmadivsum  27400  rplogsumlem1  27402  dchrmusum2  27412  dchrvmasumiflem2  27420  rpvmasum2  27430  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  rplogsum  27445  mulogsumlem  27449  mulogsum  27450  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  mulog2sumlem3  27454  vmalogdivsum2  27456  vmalogdivsum  27457  2vmadivsumlem  27458  logsqvma  27460  selberglem1  27463  selberglem2  27464  selberg2lem  27468  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem1  27475  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  pntrsumo1  27483  selbergr  27486  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntlemo  27525  ttgcontlem1  28819  brbtwn2  28839  colinearalglem1  28840  axcontlem8  28905  pjhthlem1  31327  constrrtll  33728  constrrtlc1  33729  constrrtcclem  33731  constrremulcl  33764  constrrecl  33766  constrreinvcl  33769  cos9thpiminplylem1  33779  cos9thpiminplylem2  33780  knoppndvlem11  36517  knoppndvlem14  36520  knoppndvlem15  36521  knoppndvlem16  36522  bj-bary1lem  37305  bj-bary1lem1  37306  itgmulc2nclem2  37688  areacirclem1  37709  areacirclem4  37712  areacirc  37714  cntotbnd  37797  posbezout  42095  hashscontpow1  42116  nicomachus  42307  irrapxlem2  42818  irrapxlem3  42819  irrapxlem5  42821  pellexlem6  42829  pell1qrgaplem  42868  qirropth  42903  jm2.17a  42956  congmul  42963  jm2.18  42984  areaquad  43212  itgsinexp  45960  stoweidlem26  46031  stirlinglem7  46085  fourierdlem83  46194  etransclem46  46285  smfmullem1  46796  fmtnorec3  47553  fmtnorec4  47554  fppr2odd  47736  itcovalt2lem2lem2  48667  submuladdmuld  48694  affinecomb2  48696  itsclc0yqsollem1  48755  itsclc0yqsol  48757  itscnhlc0xyqsol  48758  itsclc0xyqsolr  48762  2itscplem3  48773  itscnhlinecirc02plem1  48775