Theorem subdid 11719

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  muls1d  11723  addmulsub  11725  recextlem1  11893  cru  12258  cju  12262  zneo  12701  qbtwnre  13241  lincmb01cmp  13535  iccf1o  13536  intfracq  13899  modlt  13920  moddi  13980  modsubdir  13981  subsq  14249  expmulnbnd  14274  crre  15153  remullem  15167  mulcn2  15632  iseraltlem3  15720  fsumparts  15842  geoserg  15902  mertens  15922  bpolydiflem  16090  bpoly4  16095  fsumcube  16096  tanval3  16170  tanadd  16203  eirrlem  16240  bezoutlem3  16578  cncongr1  16704  eulerthlem2  16819  prmdiv  16822  prmdiveq  16823  4sqlem10  16985  mul4sqlem  16991  4sqlem17  16999  blcvx  24819  icopnfhmeo  24974  pcoass  25057  cphipval  25277  pjthlem1  25471  itgmulc2lem2  25868  dvmulbr  25975  dvmulbrOLD  25976  cmvth  26029  cmvthOLD  26030  dvcvx  26059  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumabs  26063  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  aaliou3lem8  26387  abelthlem2  26476  tangtx  26547  tanregt0  26581  efif1olem2  26585  efif1olem4  26587  ang180lem5  26856  isosctrlem2  26862  isosctrlem3  26863  affineequiv  26866  heron  26881  dcubic1  26888  dquart  26896  quartlem1  26900  asinsin  26935  efiatan  26955  atanlogsublem  26958  efiatan2  26960  2efiatan  26961  tanatan  26962  atantayl2  26981  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  ftalem5  27120  basellem3  27126  basellem5  27128  logfaclbnd  27266  lgseisenlem2  27420  lgsquadlem1  27424  2sqlem4  27465  2sqmod  27480  vmadivsum  27526  rplogsumlem1  27528  dchrmusum2  27538  dchrvmasumiflem2  27546  rpvmasum2  27556  dchrisum0lem2a  27561  dchrisum0lem2  27562  rplogsum  27571  mulogsumlem  27575  mulogsum  27576  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  mulog2sumlem3  27580  vmalogdivsum2  27582  vmalogdivsum  27583  2vmadivsumlem  27584  logsqvma  27586  selberglem1  27589  selberglem2  27590  selberg2lem  27594  chpdifbndlem1  27597  selberg3lem1  27601  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  pntrsumo1  27609  selbergr  27612  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntlemo  27651  ttgcontlem1  28899  brbtwn2  28920  colinearalglem1  28921  axcontlem8  28986  pjhthlem1  31410  constrrtll  33772  constrrtlc1  33773  constrrtcclem  33775  knoppndvlem11  36523  knoppndvlem14  36526  knoppndvlem15  36527  knoppndvlem16  36528  bj-bary1lem  37311  bj-bary1lem1  37312  itgmulc2nclem2  37694  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  areacirc  37720  cntotbnd  37803  posbezout  42101  hashscontpow1  42122  nicomachus  42346  irrapxlem2  42834  irrapxlem3  42835  irrapxlem5  42837  pellexlem6  42845  pell1qrgaplem  42884  qirropth  42919  jm2.17a  42972  congmul  42979  jm2.18  43000  areaquad  43228  itgsinexp  45970  stoweidlem26  46041  stirlinglem7  46095  fourierdlem83  46204  etransclem46  46295  smfmullem1  46806  fmtnorec3  47535  fmtnorec4  47536  fppr2odd  47718  itcovalt2lem2lem2  48595  submuladdmuld  48622  affinecomb2  48624  itsclc0yqsollem1  48683  itsclc0yqsol  48685  itscnhlc0xyqsol  48686  itsclc0xyqsolr  48690  2itscplem3  48701  itscnhlinecirc02plem1  48703