Theorem subdid 11594

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11571	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   · cmul 11033   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  muls1d  11598  addmulsub  11600  recextlem1  11768  cru  12138  cju  12142  zneo  12577  qbtwnre  13119  lincmb01cmp  13416  iccf1o  13417  intfracq  13781  modlt  13802  moddi  13864  modsubdir  13865  subsq  14135  expmulnbnd  14160  crre  15039  remullem  15053  mulcn2  15521  iseraltlem3  15609  fsumparts  15731  geoserg  15791  mertens  15811  bpolydiflem  15979  bpoly4  15984  fsumcube  15985  tanval3  16061  tanadd  16094  eirrlem  16131  bezoutlem3  16470  cncongr1  16596  eulerthlem2  16711  prmdiv  16714  prmdiveq  16715  4sqlem10  16877  mul4sqlem  16883  4sqlem17  16891  blcvx  24702  icopnfhmeo  24857  pcoass  24940  cphipval  25159  pjthlem1  25353  itgmulc2lem2  25750  dvmulbr  25857  dvmulbrOLD  25858  cmvth  25911  cmvthOLD  25912  dvcvx  25941  dvfsumle  25942  dvfsumleOLD  25943  dvfsumabs  25945  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  aaliou3lem8  26269  abelthlem2  26358  tangtx  26430  tanregt0  26464  efif1olem2  26468  efif1olem4  26470  ang180lem5  26739  isosctrlem2  26745  isosctrlem3  26746  affineequiv  26749  heron  26764  dcubic1  26771  dquart  26779  quartlem1  26783  asinsin  26818  efiatan  26838  atanlogsublem  26841  efiatan2  26843  2efiatan  26844  tanatan  26845  atantayl2  26864  lgamgulmlem2  26956  lgamgulmlem3  26957  ftalem5  27003  basellem3  27009  basellem5  27011  logfaclbnd  27149  lgseisenlem2  27303  lgsquadlem1  27307  2sqlem4  27348  2sqmod  27363  vmadivsum  27409  rplogsumlem1  27411  dchrmusum2  27421  dchrvmasumiflem2  27429  rpvmasum2  27439  dchrisum0lem2a  27444  dchrisum0lem2  27445  rplogsum  27454  mulogsumlem  27458  mulogsum  27459  mulog2sumlem1  27461  mulog2sumlem2  27462  mulog2sumlem3  27463  vmalogdivsum2  27465  vmalogdivsum  27466  2vmadivsumlem  27467  logsqvma  27469  selberglem1  27472  selberglem2  27473  selberg2lem  27477  chpdifbndlem1  27480  selberg3lem1  27484  selberg4lem1  27487  selberg4  27488  pntrsumo1  27492  selbergr  27495  selberg3r  27496  selberg4r  27497  selberg34r  27498  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem5  27508  pntrlog2bndlem6  27510  pntlemo  27534  ttgcontlem1  28848  brbtwn2  28868  colinearalglem1  28869  axcontlem8  28934  pjhthlem1  31353  constrrtll  33697  constrrtlc1  33698  constrrtcclem  33700  constrremulcl  33733  constrrecl  33735  constrreinvcl  33738  cos9thpiminplylem1  33748  cos9thpiminplylem2  33749  knoppndvlem11  36495  knoppndvlem14  36498  knoppndvlem15  36499  knoppndvlem16  36500  bj-bary1lem  37283  bj-bary1lem1  37284  itgmulc2nclem2  37666  areacirclem1  37687  areacirclem4  37690  areacirc  37692  cntotbnd  37775  posbezout  42073  hashscontpow1  42094  nicomachus  42285  irrapxlem2  42796  irrapxlem3  42797  irrapxlem5  42799  pellexlem6  42807  pell1qrgaplem  42846  qirropth  42881  jm2.17a  42933  congmul  42940  jm2.18  42961  areaquad  43189  itgsinexp  45937  stoweidlem26  46008  stirlinglem7  46062  fourierdlem83  46171  etransclem46  46262  smfmullem1  46773  fmtnorec3  47533  fmtnorec4  47534  fppr2odd  47716  itcovalt2lem2lem2  48660  submuladdmuld  48687  affinecomb2  48689  itsclc0yqsollem1  48748  itsclc0yqsol  48750  itscnhlc0xyqsol  48751  itsclc0xyqsolr  48755  2itscplem3  48766  itscnhlinecirc02plem1  48768