Theorem subdid 11605

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   · cmul 11043   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  muls1d  11609  addmulsub  11611  recextlem1  11779  cru  12149  cju  12153  zneo  12587  qbtwnre  13126  lincmb01cmp  13423  iccf1o  13424  intfracq  13791  modlt  13812  moddi  13874  modsubdir  13875  subsq  14145  expmulnbnd  14170  crre  15049  remullem  15063  mulcn2  15531  iseraltlem3  15619  fsumparts  15741  geoserg  15801  mertens  15821  bpolydiflem  15989  bpoly4  15994  fsumcube  15995  tanval3  16071  tanadd  16104  eirrlem  16141  bezoutlem3  16480  cncongr1  16606  eulerthlem2  16721  prmdiv  16724  prmdiveq  16725  4sqlem10  16887  mul4sqlem  16893  4sqlem17  16901  blcvx  24754  icopnfhmeo  24909  pcoass  24992  cphipval  25211  pjthlem1  25405  itgmulc2lem2  25802  dvmulbr  25909  dvmulbrOLD  25910  cmvth  25963  cmvthOLD  25964  dvcvx  25993  dvfsumle  25994  dvfsumleOLD  25995  dvfsumabs  25997  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  aaliou3lem8  26321  abelthlem2  26410  tangtx  26482  tanregt0  26516  efif1olem2  26520  efif1olem4  26522  ang180lem5  26791  isosctrlem2  26797  isosctrlem3  26798  affineequiv  26801  heron  26816  dcubic1  26823  dquart  26831  quartlem1  26835  asinsin  26870  efiatan  26890  atanlogsublem  26893  efiatan2  26895  2efiatan  26896  tanatan  26897  atantayl2  26916  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  ftalem5  27055  basellem3  27061  basellem5  27063  logfaclbnd  27201  lgseisenlem2  27355  lgsquadlem1  27359  2sqlem4  27400  2sqmod  27415  vmadivsum  27461  rplogsumlem1  27463  dchrmusum2  27473  dchrvmasumiflem2  27481  rpvmasum2  27491  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem2  27497  rplogsum  27506  mulogsumlem  27510  mulogsum  27511  mulog2sumlem1  27513  mulog2sumlem2  27514  mulog2sumlem3  27515  vmalogdivsum2  27517  vmalogdivsum  27518  2vmadivsumlem  27519  logsqvma  27521  selberglem1  27524  selberglem2  27525  selberg2lem  27529  chpdifbndlem1  27532  selberg3lem1  27536  selberg4lem1  27539  selberg4  27540  pntrsumo1  27544  selbergr  27547  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6  27562  pntlemo  27586  ttgcontlem1  28969  brbtwn2  28990  colinearalglem1  28991  axcontlem8  29056  pjhthlem1  31478  constrrtll  33908  constrrtlc1  33909  constrrtcclem  33911  constrremulcl  33944  constrrecl  33946  constrreinvcl  33949  cos9thpiminplylem1  33959  cos9thpiminplylem2  33960  knoppndvlem11  36741  knoppndvlem14  36744  knoppndvlem15  36745  knoppndvlem16  36746  bj-bary1lem  37559  bj-bary1lem1  37560  itgmulc2nclem2  37932  areacirclem1  37953  areacirclem4  37956  areacirc  37958  cntotbnd  38041  posbezout  42464  hashscontpow1  42485  nicomachus  42676  irrapxlem2  43174  irrapxlem3  43175  irrapxlem5  43177  pellexlem6  43185  pell1qrgaplem  43224  qirropth  43259  jm2.17a  43311  congmul  43318  jm2.18  43339  areaquad  43567  itgsinexp  46307  stoweidlem26  46378  stirlinglem7  46432  fourierdlem83  46541  etransclem46  46632  smfmullem1  47143  fmtnorec3  47902  fmtnorec4  47903  fppr2odd  48085  itcovalt2lem2lem2  49028  submuladdmuld  49055  affinecomb2  49057  itsclc0yqsollem1  49116  itsclc0yqsol  49118  itscnhlc0xyqsol  49119  itsclc0xyqsolr  49123  2itscplem3  49134  itscnhlinecirc02plem1  49136