Theorem subdid 11693

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11670	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   · cmul 11134   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468

This theorem is referenced by:  muls1d  11697  addmulsub  11699  recextlem1  11867  cru  12232  cju  12236  zneo  12676  qbtwnre  13215  lincmb01cmp  13512  iccf1o  13513  intfracq  13876  modlt  13897  moddi  13957  modsubdir  13958  subsq  14228  expmulnbnd  14253  crre  15133  remullem  15147  mulcn2  15612  iseraltlem3  15700  fsumparts  15822  geoserg  15882  mertens  15902  bpolydiflem  16070  bpoly4  16075  fsumcube  16076  tanval3  16152  tanadd  16185  eirrlem  16222  bezoutlem3  16560  cncongr1  16686  eulerthlem2  16801  prmdiv  16804  prmdiveq  16805  4sqlem10  16967  mul4sqlem  16973  4sqlem17  16981  blcvx  24737  icopnfhmeo  24892  pcoass  24975  cphipval  25195  pjthlem1  25389  itgmulc2lem2  25786  dvmulbr  25893  dvmulbrOLD  25894  cmvth  25947  cmvthOLD  25948  dvcvx  25977  dvfsumle  25978  dvfsumleOLD  25979  dvfsumabs  25981  dvfsumlem2  25985  dvfsumlem2OLD  25986  aaliou3lem8  26305  abelthlem2  26394  tangtx  26466  tanregt0  26500  efif1olem2  26504  efif1olem4  26506  ang180lem5  26775  isosctrlem2  26781  isosctrlem3  26782  affineequiv  26785  heron  26800  dcubic1  26807  dquart  26815  quartlem1  26819  asinsin  26854  efiatan  26874  atanlogsublem  26877  efiatan2  26879  2efiatan  26880  tanatan  26881  atantayl2  26900  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem3  26993  ftalem5  27039  basellem3  27045  basellem5  27047  logfaclbnd  27185  lgseisenlem2  27339  lgsquadlem1  27343  2sqlem4  27384  2sqmod  27399  vmadivsum  27445  rplogsumlem1  27447  dchrmusum2  27457  dchrvmasumiflem2  27465  rpvmasum2  27475  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  rplogsum  27490  mulogsumlem  27494  mulogsum  27495  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  logsqvma  27505  selberglem1  27508  selberglem2  27509  selberg2lem  27513  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumo1  27528  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntlemo  27570  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28884  colinearalglem1  28885  axcontlem8  28950  pjhthlem1  31372  constrrtll  33765  constrrtlc1  33766  constrrtcclem  33768  constrremulcl  33801  constrrecl  33803  constrreinvcl  33806  cos9thpiminplylem1  33816  cos9thpiminplylem2  33817  knoppndvlem11  36540  knoppndvlem14  36543  knoppndvlem15  36544  knoppndvlem16  36545  bj-bary1lem  37328  bj-bary1lem1  37329  itgmulc2nclem2  37711  areacirclem1  37732  areacirclem4  37735  areacirc  37737  cntotbnd  37820  posbezout  42113  hashscontpow1  42134  nicomachus  42361  irrapxlem2  42846  irrapxlem3  42847  irrapxlem5  42849  pellexlem6  42857  pell1qrgaplem  42896  qirropth  42931  jm2.17a  42984  congmul  42991  jm2.18  43012  areaquad  43240  itgsinexp  45984  stoweidlem26  46055  stirlinglem7  46109  fourierdlem83  46218  etransclem46  46309  smfmullem1  46820  fmtnorec3  47562  fmtnorec4  47563  fppr2odd  47745  itcovalt2lem2lem2  48654  submuladdmuld  48681  affinecomb2  48683  itsclc0yqsollem1  48742  itsclc0yqsol  48744  itscnhlc0xyqsol  48745  itsclc0xyqsolr  48749  2itscplem3  48760  itscnhlinecirc02plem1  48762