Theorem subdid 11606

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   · cmul 11043   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  muls1d  11610  addmulsub  11612  recextlem1  11780  cru  12151  cju  12155  zneo  12612  qbtwnre  13151  lincmb01cmp  13448  iccf1o  13449  intfracq  13818  modlt  13839  moddi  13901  modsubdir  13902  subsq  14172  expmulnbnd  14197  crre  15076  remullem  15090  mulcn2  15558  iseraltlem3  15646  fsumparts  15769  geoserg  15831  mertens  15851  bpolydiflem  16019  bpoly4  16024  fsumcube  16025  tanval3  16101  tanadd  16134  eirrlem  16171  bezoutlem3  16510  cncongr1  16636  eulerthlem2  16752  prmdiv  16755  prmdiveq  16756  4sqlem10  16918  mul4sqlem  16924  4sqlem17  16932  blcvx  24763  icopnfhmeo  24910  pcoass  24991  cphipval  25210  pjthlem1  25404  itgmulc2lem2  25800  dvmulbr  25906  cmvth  25958  dvcvx  25987  dvfsumle  25988  dvfsumabs  25990  dvfsumlem2  25994  aaliou3lem8  26311  abelthlem2  26397  tangtx  26469  tanregt0  26503  efif1olem2  26507  efif1olem4  26509  ang180lem5  26777  isosctrlem2  26783  isosctrlem3  26784  affineequiv  26787  heron  26802  dcubic1  26809  dquart  26817  quartlem1  26821  asinsin  26856  efiatan  26876  atanlogsublem  26879  efiatan2  26881  2efiatan  26882  tanatan  26883  atantayl2  26902  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  ftalem5  27040  basellem3  27046  basellem5  27048  logfaclbnd  27185  lgseisenlem2  27339  lgsquadlem1  27343  2sqlem4  27384  2sqmod  27399  vmadivsum  27445  rplogsumlem1  27447  dchrmusum2  27457  dchrvmasumiflem2  27465  rpvmasum2  27475  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  rplogsum  27490  mulogsumlem  27494  mulogsum  27495  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  logsqvma  27505  selberglem1  27508  selberglem2  27509  selberg2lem  27513  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumo1  27528  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntlemo  27570  ttgcontlem1  28953  brbtwn2  28974  colinearalglem1  28975  axcontlem8  29040  pjhthlem1  31462  constrrtll  33875  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  constrremulcl  33911  constrrecl  33913  constrreinvcl  33916  cos9thpiminplylem1  33926  cos9thpiminplylem2  33927  knoppndvlem11  36782  knoppndvlem14  36785  knoppndvlem15  36786  knoppndvlem16  36787  bj-bary1lem  37624  bj-bary1lem1  37625  qdiff  37641  itgmulc2nclem2  38008  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  areacirc  38034  cntotbnd  38117  posbezout  42539  hashscontpow1  42560  nicomachus  42744  irrapxlem2  43251  irrapxlem3  43252  irrapxlem5  43254  pellexlem6  43262  pell1qrgaplem  43301  qirropth  43336  jm2.17a  43388  congmul  43395  jm2.18  43416  areaquad  43644  itgsinexp  46383  stoweidlem26  46454  stirlinglem7  46508  fourierdlem83  46617  etransclem46  46708  smfmullem1  47219  sin3t  47319  cos3t  47320  sin5tlem4  47324  cos5t  47327  fmtnorec3  48011  fmtnorec4  48012  fppr2odd  48207  itcovalt2lem2lem2  49150  submuladdmuld  49177  affinecomb2  49179  itsclc0yqsollem1  49238  itsclc0yqsol  49240  itscnhlc0xyqsol  49241  itsclc0xyqsolr  49245  2itscplem3  49256  itscnhlinecirc02plem1  49258