Theorem subdid 11799

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   · cmul 11232   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570

This theorem is used by:  muls1d  11803  addmulsub  11805  recextlem1  11973  cru  12339  cju  12343  zneo  12809  qbtwnre  13356  lincmb01cmp  13653  iccf1o  13654  intfracq  14026  modlt  14047  moddi  14109  modsubdir  14110  subsq  14381  expmulnbnd  14406  crre  15310  remullem  15324  mulcn2  15792  iseraltlem3  15880  fsumparts  16002  geoserg  16064  mertens  16084  bpolydiflem  16249  bpoly4  16254  fsumcube  16255  tanval3  16331  tanadd  16364  eirrlem  16401  bezoutlem3  16743  cncongr1  16871  eulerthlem2  16988  prmdiv  16991  prmdiveq  16992  4sqlem10  17154  mul4sqlem  17160  4sqlem17  17168  blcvx  25147  icopnfhmeo  25294  pcoass  25375  cphipval  25594  pjthlem1  25788  itgmulc2lem2  26183  dvmulbr  26289  cmvth  26341  dvcvx  26370  dvfsumle  26371  dvfsumabs  26373  dvfsumlem2  26377  aaliou3lem8  26702  abelthlem2  26789  tangtx  26864  tanregt0  26897  efif1olem2  26901  efif1olem4  26903  ang180lem5  27171  isosctrlem2  27177  isosctrlem3  27178  affineequiv  27181  heron  27196  dcubic1  27203  dquart  27211  quartlem1  27215  asinsin  27250  efiatan  27270  atanlogsublem  27273  efiatan2  27275  2efiatan  27276  tanatan  27277  atantayl2  27296  lgamgulmlem2  27387  lgamgulmlem3  27388  ftalem5  27434  basellem3  27440  basellem5  27442  logfaclbnd  27579  lgseisenlem2  27733  lgsquadlem1  27737  2sqlem4  27778  2sqmod  27793  vmadivsum  27839  rplogsumlem1  27841  dchrmusum2  27851  dchrvmasumiflem2  27859  rpvmasum2  27869  dchrisum0lem2a  27874  dchrisum0lem2  27875  rplogsum  27884  mulogsumlem  27888  mulogsum  27889  mulog2sumlem1  27891  mulog2sumlem2  27892  mulog2sumlem3  27893  vmalogdivsum2  27895  vmalogdivsum  27896  2vmadivsumlem  27897  logsqvma  27899  selberglem1  27902  selberglem2  27903  selberg2lem  27907  chpdifbndlem1  27910  selberg3lem1  27914  selberg4lem1  27917  selberg4  27918  pntrsumo1  27922  selbergr  27925  selberg3r  27926  selberg4r  27927  selberg34r  27928  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem5  27938  pntrlog2bndlem6  27940  pntlemo  27964  ttgcontlem1  29492  brbtwn2  29513  colinearalglem1  29514  axcontlem8  29579  pjhthlem1  32023  constrrtll  34433  constrrtlc1  34434  constrrtcclem  34436  constrremulcl  34469  constrrecl  34471  constrreinvcl  34474  cos9thpiminplylem1  34484  cos9thpiminplylem2  34485  knoppndvlem11  37566  knoppndvlem14  37569  knoppndvlem15  37570  knoppndvlem16  37571  bj-bary1lem  38423  bj-bary1lem1  38424  qdiff  38440  itgmulc2nclem2  38797  areacirclem1  38818  areacirclem4  38821  areacirc  38823  cntotbnd  38922  posbezout  43342  hashscontpow1  43363  nicomachus  43562  irrapxlem2  44023  irrapxlem3  44024  irrapxlem5  44026  pellexlem6  44034  pell1qrgaplem  44073  qirropth  44108  jm2.17a  44160  congmul  44167  jm2.18  44188  areaquad  44410  itgsinexp  47170  stoweidlem26  47241  stirlinglem7  47295  fourierdlem83  47404  etransclem46  47495  smfmullem1  48006  sin3t  48122  cos3t  48123  sin5tlem4  48127  cos5t  48130  fmtnorec3  48838  fmtnorec4  48839  fppr2odd  49034  itcovalt2lem2lem2  49991  submuladdmuld  50018  affinecomb2  50020  itsclc0yqsollem1  50079  itsclc0yqsol  50081  itscnhlc0xyqsol  50082  itsclc0xyqsolr  50086  2itscplem3  50097  itscnhlinecirc02plem1  50099  crosspdotd  51245  crossp3d  51247