Theorem subdid 11361

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11338	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   · cmul 10807   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  muls1d  11365  addmulsub  11367  recextlem1  11535  cru  11895  cju  11899  zneo  12333  qbtwnre  12862  lincmb01cmp  13156  iccf1o  13157  intfracq  13507  modlt  13528  moddi  13587  modsubdir  13588  subsq  13854  expmulnbnd  13878  crre  14753  remullem  14767  mulcn2  15233  iseraltlem3  15323  fsumparts  15446  geoserg  15506  mertens  15526  bpolydiflem  15692  bpoly4  15697  fsumcube  15698  tanval3  15771  tanadd  15804  eirrlem  15841  bezoutlem3  16177  cncongr1  16300  eulerthlem2  16411  prmdiv  16414  prmdiveq  16415  4sqlem10  16576  mul4sqlem  16582  4sqlem17  16590  blcvx  23867  icopnfhmeo  24012  pcoass  24093  cphipval  24312  pjthlem1  24506  itgmulc2lem2  24902  dvmulbr  25008  cmvth  25060  dvcvx  25089  dvfsumle  25090  dvfsumabs  25092  dvfsumlem2  25096  aaliou3lem8  25410  abelthlem2  25496  tangtx  25567  tanregt0  25600  efif1olem2  25604  efif1olem4  25606  ang180lem5  25868  isosctrlem2  25874  isosctrlem3  25875  affineequiv  25878  heron  25893  dcubic1  25900  dquart  25908  quartlem1  25912  asinsin  25947  efiatan  25967  atanlogsublem  25970  efiatan2  25972  2efiatan  25973  tanatan  25974  atantayl2  25993  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  ftalem5  26131  basellem3  26137  basellem5  26139  logfaclbnd  26275  lgseisenlem2  26429  lgsquadlem1  26433  2sqlem4  26474  2sqmod  26489  vmadivsum  26535  rplogsumlem1  26537  dchrmusum2  26547  dchrvmasumiflem2  26555  rpvmasum2  26565  dchrisum0lem2a  26570  dchrisum0lem2  26571  rplogsum  26580  mulogsumlem  26584  mulogsum  26585  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  mulog2sumlem3  26589  vmalogdivsum2  26591  vmalogdivsum  26592  2vmadivsumlem  26593  logsqvma  26595  selberglem1  26598  selberglem2  26599  selberg2lem  26603  chpdifbndlem1  26606  selberg3lem1  26610  selberg4lem1  26613  selberg4  26614  pntrsumo1  26618  selbergr  26621  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntlemo  26660  ttgcontlem1  27155  brbtwn2  27176  colinearalglem1  27177  axcontlem8  27242  pjhthlem1  29654  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem15  34633  knoppndvlem16  34634  bj-bary1lem  35408  bj-bary1lem1  35409  itgmulc2nclem2  35771  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  areacirc  35797  cntotbnd  35881  irrapxlem2  40561  irrapxlem3  40562  irrapxlem5  40564  pellexlem6  40572  pell1qrgaplem  40611  qirropth  40646  jm2.17a  40698  congmul  40705  jm2.18  40726  areaquad  40963  itgsinexp  43386  stoweidlem26  43457  stirlinglem7  43511  fourierdlem83  43620  etransclem46  43711  smfmullem1  44212  fmtnorec3  44888  fmtnorec4  44889  fppr2odd  45071  itcovalt2lem2lem2  45908  submuladdmuld  45935  affinecomb2  45937  itsclc0yqsollem1  45996  itsclc0yqsol  45998  itscnhlc0xyqsol  45999  itsclc0xyqsolr  46003  2itscplem3  46014  itscnhlinecirc02plem1  46016