Theorem subdid 11688

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11665	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   · cmul 11123   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  muls1d  11692  addmulsub  11694  recextlem1  11862  cru  12228  cju  12232  zneo  12697  qbtwnre  13243  lincmb01cmp  13540  iccf1o  13541  intfracq  13912  modlt  13933  moddi  13995  modsubdir  13996  subsq  14266  expmulnbnd  14291  crre  15191  remullem  15205  mulcn2  15673  iseraltlem3  15761  fsumparts  15884  geoserg  15946  mertens  15966  bpolydiflem  16133  bpoly4  16138  fsumcube  16139  tanval3  16215  tanadd  16248  eirrlem  16285  bezoutlem3  16624  cncongr1  16750  eulerthlem2  16866  prmdiv  16869  prmdiveq  16870  4sqlem10  17032  mul4sqlem  17038  4sqlem17  17046  blcvx  24992  icopnfhmeo  25139  pcoass  25220  cphipval  25439  pjthlem1  25633  itgmulc2lem2  26029  dvmulbr  26135  cmvth  26187  dvcvx  26216  dvfsumle  26217  dvfsumabs  26219  dvfsumlem2  26223  aaliou3lem8  26545  abelthlem2  26632  tangtx  26707  tanregt0  26741  efif1olem2  26745  efif1olem4  26747  ang180lem5  27015  isosctrlem2  27021  isosctrlem3  27022  affineequiv  27025  heron  27040  dcubic1  27047  dquart  27055  quartlem1  27059  asinsin  27094  efiatan  27114  atanlogsublem  27117  efiatan2  27119  2efiatan  27120  tanatan  27121  atantayl2  27140  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem3  27232  ftalem5  27278  basellem3  27284  basellem5  27286  logfaclbnd  27423  lgseisenlem2  27577  lgsquadlem1  27581  2sqlem4  27622  2sqmod  27637  vmadivsum  27683  rplogsumlem1  27685  dchrmusum2  27695  dchrvmasumiflem2  27703  rpvmasum2  27713  dchrisum0lem2a  27718  dchrisum0lem2  27719  rplogsum  27728  mulogsumlem  27732  mulogsum  27733  mulog2sumlem1  27735  mulog2sumlem2  27736  mulog2sumlem3  27737  vmalogdivsum2  27739  vmalogdivsum  27740  2vmadivsumlem  27741  logsqvma  27743  selberglem1  27746  selberglem2  27747  selberg2lem  27751  chpdifbndlem1  27754  selberg3lem1  27758  selberg4lem1  27761  selberg4  27762  pntrsumo1  27766  selbergr  27769  selberg3r  27770  selberg4r  27771  selberg34r  27772  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem5  27782  pntrlog2bndlem6  27784  pntlemo  27808  ttgcontlem1  29271  brbtwn2  29292  colinearalglem1  29293  axcontlem8  29358  pjhthlem1  31780  constrrtll  34152  constrrtlc1  34153  constrrtcclem  34155  constrremulcl  34188  constrrecl  34190  constrreinvcl  34193  cos9thpiminplylem1  34203  cos9thpiminplylem2  34204  knoppndvlem11  37151  knoppndvlem14  37154  knoppndvlem15  37155  knoppndvlem16  37156  bj-bary1lem  37994  bj-bary1lem1  37995  qdiff  38011  itgmulc2nclem2  38378  areacirclem1  38399  areacirclem4  38402  areacirc  38404  cntotbnd  38487  posbezout  42907  hashscontpow1  42928  nicomachus  43113  irrapxlem2  43590  irrapxlem3  43591  irrapxlem5  43593  pellexlem6  43601  pell1qrgaplem  43640  qirropth  43675  jm2.17a  43727  congmul  43734  jm2.18  43755  areaquad  43983  itgsinexp  46709  stoweidlem26  46780  stirlinglem7  46834  fourierdlem83  46943  etransclem46  47034  smfmullem1  47545  sin3t  47648  cos3t  47649  sin5tlem4  47653  cos5t  47656  fmtnorec3  48340  fmtnorec4  48341  fppr2odd  48536  itcovalt2lem2lem2  49494  submuladdmuld  49521  affinecomb2  49523  itsclc0yqsollem1  49582  itsclc0yqsol  49584  itscnhlc0xyqsol  49585  itsclc0xyqsolr  49589  2itscplem3  49600  itscnhlinecirc02plem1  49602  crossp3i  50689