Theorem subdid 11604

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   · cmul 11041   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  muls1d  11608  addmulsub  11610  recextlem1  11778  cru  12149  cju  12153  zneo  12610  qbtwnre  13149  lincmb01cmp  13446  iccf1o  13447  intfracq  13816  modlt  13837  moddi  13899  modsubdir  13900  subsq  14170  expmulnbnd  14195  crre  15074  remullem  15088  mulcn2  15556  iseraltlem3  15644  fsumparts  15767  geoserg  15829  mertens  15849  bpolydiflem  16017  bpoly4  16022  fsumcube  16023  tanval3  16099  tanadd  16132  eirrlem  16169  bezoutlem3  16508  cncongr1  16634  eulerthlem2  16750  prmdiv  16753  prmdiveq  16754  4sqlem10  16916  mul4sqlem  16922  4sqlem17  16930  blcvx  24788  icopnfhmeo  24935  pcoass  25016  cphipval  25235  pjthlem1  25429  itgmulc2lem2  25825  dvmulbr  25931  cmvth  25983  dvcvx  26012  dvfsumle  26013  dvfsumabs  26015  dvfsumlem2  26019  aaliou3lem8  26336  abelthlem2  26422  tangtx  26494  tanregt0  26528  efif1olem2  26532  efif1olem4  26534  ang180lem5  26802  isosctrlem2  26808  isosctrlem3  26809  affineequiv  26812  heron  26827  dcubic1  26834  dquart  26842  quartlem1  26846  asinsin  26881  efiatan  26901  atanlogsublem  26904  efiatan2  26906  2efiatan  26907  tanatan  26908  atantayl2  26927  lgamgulmlem2  27018  lgamgulmlem3  27019  ftalem5  27065  basellem3  27071  basellem5  27073  logfaclbnd  27210  lgseisenlem2  27364  lgsquadlem1  27368  2sqlem4  27409  2sqmod  27424  vmadivsum  27470  rplogsumlem1  27472  dchrmusum2  27482  dchrvmasumiflem2  27490  rpvmasum2  27500  dchrisum0lem2a  27505  dchrisum0lem2  27506  rplogsum  27515  mulogsumlem  27519  mulogsum  27520  mulog2sumlem1  27522  mulog2sumlem2  27523  mulog2sumlem3  27524  vmalogdivsum2  27526  vmalogdivsum  27527  2vmadivsumlem  27528  logsqvma  27530  selberglem1  27533  selberglem2  27534  selberg2lem  27538  chpdifbndlem1  27541  selberg3lem1  27545  selberg4lem1  27548  selberg4  27549  pntrsumo1  27553  selbergr  27556  selberg3r  27557  selberg4r  27558  selberg34r  27559  pntrlog2bndlem4  27568  pntrlog2bndlem5  27569  pntrlog2bndlem6  27571  pntlemo  27595  ttgcontlem1  28978  brbtwn2  28999  colinearalglem1  29000  axcontlem8  29065  pjhthlem1  31487  constrrtll  33922  constrrtlc1  33923  constrrtcclem  33925  constrremulcl  33958  constrrecl  33960  constrreinvcl  33963  cos9thpiminplylem1  33973  cos9thpiminplylem2  33974  knoppndvlem11  36835  knoppndvlem14  36838  knoppndvlem15  36839  knoppndvlem16  36840  bj-bary1lem  37677  bj-bary1lem1  37678  qdiff  37694  itgmulc2nclem2  38061  areacirclem1  38082  areacirclem4  38085  areacirc  38087  cntotbnd  38170  posbezout  42592  hashscontpow1  42613  nicomachus  42796  irrapxlem2  43275  irrapxlem3  43276  irrapxlem5  43278  pellexlem6  43286  pell1qrgaplem  43325  qirropth  43360  jm2.17a  43412  congmul  43419  jm2.18  43440  areaquad  43668  itgsinexp  46405  stoweidlem26  46476  stirlinglem7  46530  fourierdlem83  46639  etransclem46  46730  smfmullem1  47241  sin3t  47341  cos3t  47342  sin5tlem4  47346  cos5t  47349  fmtnorec3  48033  fmtnorec4  48034  fppr2odd  48229  itcovalt2lem2lem2  49172  submuladdmuld  49199  affinecomb2  49201  itsclc0yqsollem1  49260  itsclc0yqsol  49262  itscnhlc0xyqsol  49263  itsclc0xyqsolr  49267  2itscplem3  49278  itscnhlinecirc02plem1  49280