MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdid 10692
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subdid (𝜑 → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subdid.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subdi 10669 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1476 1 (𝜑 → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6796  cc 10140   · cmul 10147  cmin 10472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474
This theorem is referenced by:  muls1d  10697  recextlem1  10863  cru  11218  cju  11222  zneo  11667  qbtwnre  12235  lincmb01cmp  12522  iccf1o  12523  intfracq  12866  modlt  12887  moddi  12946  modsubdir  12947  subsq  13179  expmulnbnd  13203  crre  14062  remullem  14076  mulcn2  14534  iseraltlem3  14622  fsumparts  14745  geoserg  14805  mertens  14825  bpolydiflem  14991  bpoly4  14996  fsumcube  14997  tanval3  15070  tanadd  15103  eirrlem  15138  3dvdsOLD  15262  bezoutlem3  15466  cncongr1  15588  eulerthlem2  15694  prmdiv  15697  prmdiveq  15698  4sqlem10  15858  mul4sqlem  15864  4sqlem17  15872  blcvx  22821  icopnfhmeo  22962  pcoass  23043  pjthlem1  23427  itgmulc2lem2  23819  dvmulbr  23922  cmvth  23974  dvcvx  24003  dvfsumle  24004  dvfsumabs  24006  dvfsumlem2  24010  aaliou3lem8  24320  abelthlem2  24406  tangtx  24478  tanregt0  24506  efif1olem2  24510  efif1olem4  24512  ang180lem5  24764  isosctrlem2  24770  isosctrlem3  24771  affineequiv  24774  heron  24786  dcubic1  24793  dquart  24801  quartlem1  24805  asinsin  24840  efiatan  24860  atanlogsublem  24863  efiatan2  24865  2efiatan  24866  tanatan  24867  atantayl2  24886  lgamgulmlem2  24977  lgamgulmlem3  24978  wilthlem2  25016  ftalem5  25024  basellem3  25030  basellem5  25032  logfaclbnd  25168  bposlem1  25230  lgseisenlem2  25322  lgsquadlem1  25326  2sqlem4  25367  vmadivsum  25392  rplogsumlem1  25394  dchrmusum2  25404  dchrvmasumiflem2  25412  rpvmasum2  25422  dchrisum0lem2a  25427  dchrisum0lem2  25428  rplogsum  25437  mulogsumlem  25441  mulogsum  25442  mulog2sumlem1  25444  mulog2sumlem2  25445  mulog2sumlem3  25446  vmalogdivsum2  25448  vmalogdivsum  25449  2vmadivsumlem  25450  logsqvma  25452  selberglem1  25455  selberglem2  25456  selberg2lem  25460  chpdifbndlem1  25463  selberg3lem1  25467  selberg4lem1  25470  selberg4  25471  pntrsumo1  25475  selbergr  25478  selberg3r  25479  selberg4r  25480  selberg34r  25481  pntrlog2bndlem4  25490  pntrlog2bndlem5  25491  pntrlog2bndlem6  25493  pntlemo  25517  ttgcontlem1  25986  brbtwn2  26006  colinearalglem1  26007  axcontlem8  26072  pjhthlem1  28590  2sqmod  29988  knoppndvlem11  32850  knoppndvlem14  32853  knoppndvlem15  32854  knoppndvlem16  32855  bj-bary1lem  33496  bj-bary1lem1  33497  itgmulc2nclem2  33808  areacirclem1  33831  areacirclem4  33834  areacirc  33836  cntotbnd  33925  irrapxlem2  37911  irrapxlem3  37912  irrapxlem5  37914  pellexlem6  37922  pell1qrgaplem  37961  qirropth  37997  jm2.17a  38051  congmul  38058  jm2.18  38079  areaquad  38326  itgsinexp  40683  stoweidlem26  40755  stirlinglem7  40809  fourierdlem83  40918  etransclem46  41009  smfmullem1  41513  fmtnorec3  41983  fmtnorec4  41984
  Copyright terms: Public domain W3C validator