Theorem subdid 11634

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11611	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   · cmul 11073   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  muls1d  11638  addmulsub  11640  recextlem1  11808  cru  12178  cju  12182  zneo  12617  qbtwnre  13159  lincmb01cmp  13456  iccf1o  13457  intfracq  13821  modlt  13842  moddi  13904  modsubdir  13905  subsq  14175  expmulnbnd  14200  crre  15080  remullem  15094  mulcn2  15562  iseraltlem3  15650  fsumparts  15772  geoserg  15832  mertens  15852  bpolydiflem  16020  bpoly4  16025  fsumcube  16026  tanval3  16102  tanadd  16135  eirrlem  16172  bezoutlem3  16511  cncongr1  16637  eulerthlem2  16752  prmdiv  16755  prmdiveq  16756  4sqlem10  16918  mul4sqlem  16924  4sqlem17  16932  blcvx  24686  icopnfhmeo  24841  pcoass  24924  cphipval  25143  pjthlem1  25337  itgmulc2lem2  25734  dvmulbr  25841  dvmulbrOLD  25842  cmvth  25895  cmvthOLD  25896  dvcvx  25925  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumabs  25929  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  aaliou3lem8  26253  abelthlem2  26342  tangtx  26414  tanregt0  26448  efif1olem2  26452  efif1olem4  26454  ang180lem5  26723  isosctrlem2  26729  isosctrlem3  26730  affineequiv  26733  heron  26748  dcubic1  26755  dquart  26763  quartlem1  26767  asinsin  26802  efiatan  26822  atanlogsublem  26825  efiatan2  26827  2efiatan  26828  tanatan  26829  atantayl2  26848  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  ftalem5  26987  basellem3  26993  basellem5  26995  logfaclbnd  27133  lgseisenlem2  27287  lgsquadlem1  27291  2sqlem4  27332  2sqmod  27347  vmadivsum  27393  rplogsumlem1  27395  dchrmusum2  27405  dchrvmasumiflem2  27413  rpvmasum2  27423  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  rplogsum  27438  mulogsumlem  27442  mulogsum  27443  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  mulog2sumlem3  27447  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  logsqvma  27453  selberglem1  27456  selberglem2  27457  selberg2lem  27461  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrsumo1  27476  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntlemo  27518  ttgcontlem1  28812  brbtwn2  28832  colinearalglem1  28833  axcontlem8  28898  pjhthlem1  31320  constrrtll  33721  constrrtlc1  33722  constrrtcclem  33724  constrremulcl  33757  constrrecl  33759  constrreinvcl  33762  cos9thpiminplylem1  33772  cos9thpiminplylem2  33773  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem15  36514  knoppndvlem16  36515  bj-bary1lem  37298  bj-bary1lem1  37299  itgmulc2nclem2  37681  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  areacirc  37707  cntotbnd  37790  posbezout  42088  hashscontpow1  42109  nicomachus  42300  irrapxlem2  42811  irrapxlem3  42812  irrapxlem5  42814  pellexlem6  42822  pell1qrgaplem  42861  qirropth  42896  jm2.17a  42949  congmul  42956  jm2.18  42977  areaquad  43205  itgsinexp  45953  stoweidlem26  46024  stirlinglem7  46078  fourierdlem83  46187  etransclem46  46278  smfmullem1  46789  fmtnorec3  47549  fmtnorec4  47550  fppr2odd  47732  itcovalt2lem2lem2  48663  submuladdmuld  48690  affinecomb2  48692  itsclc0yqsollem1  48751  itsclc0yqsol  48753  itscnhlc0xyqsol  48754  itsclc0xyqsolr  48758  2itscplem3  48769  itscnhlinecirc02plem1  48771