Theorem subdid 11096

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11073	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   · cmul 10542   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  muls1d  11100  addmulsub  11102  recextlem1  11270  cru  11630  cju  11634  zneo  12066  qbtwnre  12593  lincmb01cmp  12882  iccf1o  12883  intfracq  13228  modlt  13249  moddi  13308  modsubdir  13309  subsq  13573  expmulnbnd  13597  crre  14473  remullem  14487  mulcn2  14952  iseraltlem3  15040  fsumparts  15161  geoserg  15221  mertens  15242  bpolydiflem  15408  bpoly4  15413  fsumcube  15414  tanval3  15487  tanadd  15520  eirrlem  15557  bezoutlem3  15889  cncongr1  16011  eulerthlem2  16119  prmdiv  16122  prmdiveq  16123  4sqlem10  16283  mul4sqlem  16289  4sqlem17  16297  blcvx  23406  icopnfhmeo  23547  pcoass  23628  cphipval  23846  pjthlem1  24040  itgmulc2lem2  24433  dvmulbr  24536  cmvth  24588  dvcvx  24617  dvfsumle  24618  dvfsumabs  24620  dvfsumlem2  24624  aaliou3lem8  24934  abelthlem2  25020  tangtx  25091  tanregt0  25123  efif1olem2  25127  efif1olem4  25129  ang180lem5  25391  isosctrlem2  25397  isosctrlem3  25398  affineequiv  25401  heron  25416  dcubic1  25423  dquart  25431  quartlem1  25435  asinsin  25470  efiatan  25490  atanlogsublem  25493  efiatan2  25495  2efiatan  25496  tanatan  25497  atantayl2  25516  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  ftalem5  25654  basellem3  25660  basellem5  25662  logfaclbnd  25798  lgseisenlem2  25952  lgsquadlem1  25956  2sqlem4  25997  2sqmod  26012  vmadivsum  26058  rplogsumlem1  26060  dchrmusum2  26070  dchrvmasumiflem2  26078  rpvmasum2  26088  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  rplogsum  26103  mulogsumlem  26107  mulogsum  26108  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  mulog2sumlem3  26112  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  logsqvma  26118  selberglem1  26121  selberglem2  26122  selberg2lem  26126  chpdifbndlem1  26129  selberg3lem1  26133  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  pntrsumo1  26141  selbergr  26144  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntlemo  26183  ttgcontlem1  26671  brbtwn2  26691  colinearalglem1  26692  axcontlem8  26757  pjhthlem1  29168  knoppndvlem11  33861  knoppndvlem14  33864  knoppndvlem15  33865  knoppndvlem16  33866  bj-bary1lem  34594  bj-bary1lem1  34595  itgmulc2nclem2  34974  areacirclem1  34997  areacirclem4  35000  areacirc  35002  cntotbnd  35089  irrapxlem2  39469  irrapxlem3  39470  irrapxlem5  39472  pellexlem6  39480  pell1qrgaplem  39519  qirropth  39554  jm2.17a  39606  congmul  39613  jm2.18  39634  areaquad  39872  itgsinexp  42289  stoweidlem26  42360  stirlinglem7  42414  fourierdlem83  42523  etransclem46  42614  smfmullem1  43115  fmtnorec3  43759  fmtnorec4  43760  fppr2odd  43945  submuladdmuld  44737  affinecomb2  44739  itsclc0yqsollem1  44798  itsclc0yqsol  44800  itscnhlc0xyqsol  44801  itsclc0xyqsolr  44805  2itscplem3  44816  itscnhlinecirc02plem1  44818