Theorem subdid 11677

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   · cmul 11121   − cmin 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453

This theorem is referenced by:  muls1d  11681  addmulsub  11683  recextlem1  11851  cru  12211  cju  12215  zneo  12652  qbtwnre  13185  lincmb01cmp  13479  iccf1o  13480  intfracq  13831  modlt  13852  moddi  13911  modsubdir  13912  subsq  14181  expmulnbnd  14205  crre  15068  remullem  15082  mulcn2  15547  iseraltlem3  15637  fsumparts  15759  geoserg  15819  mertens  15839  bpolydiflem  16005  bpoly4  16010  fsumcube  16011  tanval3  16084  tanadd  16117  eirrlem  16154  bezoutlem3  16490  cncongr1  16611  eulerthlem2  16722  prmdiv  16725  prmdiveq  16726  4sqlem10  16887  mul4sqlem  16893  4sqlem17  16901  blcvx  24634  icopnfhmeo  24788  pcoass  24871  cphipval  25091  pjthlem1  25285  itgmulc2lem2  25682  dvmulbr  25789  dvmulbrOLD  25790  cmvth  25843  cmvthOLD  25844  dvcvx  25873  dvfsumle  25874  dvfsumleOLD  25875  dvfsumabs  25877  dvfsumlem2  25881  dvfsumlem2OLD  25882  aaliou3lem8  26197  abelthlem2  26284  tangtx  26355  tanregt0  26388  efif1olem2  26392  efif1olem4  26394  ang180lem5  26659  isosctrlem2  26665  isosctrlem3  26666  affineequiv  26669  heron  26684  dcubic1  26691  dquart  26699  quartlem1  26703  asinsin  26738  efiatan  26758  atanlogsublem  26761  efiatan2  26763  2efiatan  26764  tanatan  26765  atantayl2  26784  lgamgulmlem2  26875  lgamgulmlem3  26876  ftalem5  26922  basellem3  26928  basellem5  26930  logfaclbnd  27068  lgseisenlem2  27222  lgsquadlem1  27226  2sqlem4  27267  2sqmod  27282  vmadivsum  27328  rplogsumlem1  27330  dchrmusum2  27340  dchrvmasumiflem2  27348  rpvmasum2  27358  dchrisum0lem2a  27363  dchrisum0lem2  27364  rplogsum  27373  mulogsumlem  27377  mulogsum  27378  mulog2sumlem1  27380  mulog2sumlem2  27381  mulog2sumlem3  27382  vmalogdivsum2  27384  vmalogdivsum  27385  2vmadivsumlem  27386  logsqvma  27388  selberglem1  27391  selberglem2  27392  selberg2lem  27396  chpdifbndlem1  27399  selberg3lem1  27403  selberg4lem1  27406  selberg4  27407  pntrsumo1  27411  selbergr  27414  selberg3r  27415  selberg4r  27416  selberg34r  27417  pntrlog2bndlem4  27426  pntrlog2bndlem5  27427  pntrlog2bndlem6  27429  pntlemo  27453  ttgcontlem1  28575  brbtwn2  28596  colinearalglem1  28597  axcontlem8  28662  pjhthlem1  31077  knoppndvlem11  35862  knoppndvlem14  35865  knoppndvlem15  35866  knoppndvlem16  35867  bj-bary1lem  36655  bj-bary1lem1  36656  itgmulc2nclem2  37019  areacirclem1  37040  areacirclem4  37043  areacirc  37045  cntotbnd  37128  nicomachus  41673  irrapxlem2  42024  irrapxlem3  42025  irrapxlem5  42027  pellexlem6  42035  pell1qrgaplem  42074  qirropth  42109  jm2.17a  42162  congmul  42169  jm2.18  42190  areaquad  42428  itgsinexp  45130  stoweidlem26  45201  stirlinglem7  45255  fourierdlem83  45364  etransclem46  45455  smfmullem1  45966  fmtnorec3  46675  fmtnorec4  46676  fppr2odd  46858  itcovalt2lem2lem2  47522  submuladdmuld  47549  affinecomb2  47551  itsclc0yqsollem1  47610  itsclc0yqsol  47612  itscnhlc0xyqsol  47613  itsclc0xyqsolr  47617  2itscplem3  47628  itscnhlinecirc02plem1  47630