Theorem subdid 11658

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   · cmul 11093   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  muls1d  11662  addmulsub  11664  recextlem1  11832  cru  12201  cju  12205  zneo  12670  qbtwnre  13216  lincmb01cmp  13513  iccf1o  13514  intfracq  13883  modlt  13904  moddi  13966  modsubdir  13967  subsq  14237  expmulnbnd  14262  crre  15155  remullem  15169  mulcn2  15637  iseraltlem3  15725  fsumparts  15848  geoserg  15910  mertens  15930  bpolydiflem  16098  bpoly4  16103  fsumcube  16104  tanval3  16180  tanadd  16213  eirrlem  16250  bezoutlem3  16589  cncongr1  16715  eulerthlem2  16831  prmdiv  16834  prmdiveq  16835  4sqlem10  16997  mul4sqlem  17003  4sqlem17  17011  blcvx  24916  icopnfhmeo  25063  pcoass  25144  cphipval  25363  pjthlem1  25557  itgmulc2lem2  25953  dvmulbr  26059  cmvth  26111  dvcvx  26140  dvfsumle  26141  dvfsumabs  26143  dvfsumlem2  26147  aaliou3lem8  26467  abelthlem2  26553  tangtx  26628  tanregt0  26662  efif1olem2  26666  efif1olem4  26668  ang180lem5  26936  isosctrlem2  26942  isosctrlem3  26943  affineequiv  26946  heron  26961  dcubic1  26968  dquart  26976  quartlem1  26980  asinsin  27015  efiatan  27035  atanlogsublem  27038  efiatan2  27040  2efiatan  27041  tanatan  27042  atantayl2  27061  lgamgulmlem2  27152  lgamgulmlem3  27153  ftalem5  27199  basellem3  27205  basellem5  27207  logfaclbnd  27344  lgseisenlem2  27498  lgsquadlem1  27502  2sqlem4  27543  2sqmod  27558  vmadivsum  27604  rplogsumlem1  27606  dchrmusum2  27616  dchrvmasumiflem2  27624  rpvmasum2  27634  dchrisum0lem2a  27639  dchrisum0lem2  27640  rplogsum  27649  mulogsumlem  27653  mulogsum  27654  mulog2sumlem1  27656  mulog2sumlem2  27657  mulog2sumlem3  27658  vmalogdivsum2  27660  vmalogdivsum  27661  2vmadivsumlem  27662  logsqvma  27664  selberglem1  27667  selberglem2  27668  selberg2lem  27672  chpdifbndlem1  27675  selberg3lem1  27679  selberg4lem1  27682  selberg4  27683  pntrsumo1  27687  selbergr  27690  selberg3r  27691  selberg4r  27692  selberg34r  27693  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem5  27703  pntrlog2bndlem6  27705  pntlemo  27729  ttgcontlem1  29143  brbtwn2  29164  colinearalglem1  29165  axcontlem8  29230  pjhthlem1  31652  constrrtll  34038  constrrtlc1  34039  constrrtcclem  34041  constrremulcl  34074  constrrecl  34076  constrreinvcl  34079  cos9thpiminplylem1  34089  cos9thpiminplylem2  34090  knoppndvlem11  36973  knoppndvlem14  36976  knoppndvlem15  36977  knoppndvlem16  36978  bj-bary1lem  37814  bj-bary1lem1  37815  qdiff  37831  itgmulc2nclem2  38198  areacirclem1  38219  areacirclem4  38222  areacirc  38224  cntotbnd  38307  posbezout  42729  hashscontpow1  42750  nicomachus  42933  irrapxlem2  43412  irrapxlem3  43413  irrapxlem5  43415  pellexlem6  43423  pell1qrgaplem  43462  qirropth  43497  jm2.17a  43549  congmul  43556  jm2.18  43577  areaquad  43805  itgsinexp  46527  stoweidlem26  46598  stirlinglem7  46652  fourierdlem83  46761  etransclem46  46852  smfmullem1  47363  sin3t  47463  cos3t  47464  sin5tlem4  47468  cos5t  47471  fmtnorec3  48155  fmtnorec4  48156  fppr2odd  48351  itcovalt2lem2lem2  49305  submuladdmuld  49332  affinecomb2  49334  itsclc0yqsollem1  49393  itsclc0yqsol  49395  itscnhlc0xyqsol  49396  itsclc0xyqsolr  49400  2itscplem3  49411  itscnhlinecirc02plem1  49413