Theorem subdid 11570

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11547	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   · cmul 11008   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sub 11343

This theorem is referenced by:  muls1d  11574  addmulsub  11576  recextlem1  11744  cru  12114  cju  12118  zneo  12553  qbtwnre  13095  lincmb01cmp  13392  iccf1o  13393  intfracq  13760  modlt  13781  moddi  13843  modsubdir  13844  subsq  14114  expmulnbnd  14139  crre  15018  remullem  15032  mulcn2  15500  iseraltlem3  15588  fsumparts  15710  geoserg  15770  mertens  15790  bpolydiflem  15958  bpoly4  15963  fsumcube  15964  tanval3  16040  tanadd  16073  eirrlem  16110  bezoutlem3  16449  cncongr1  16575  eulerthlem2  16690  prmdiv  16693  prmdiveq  16694  4sqlem10  16856  mul4sqlem  16862  4sqlem17  16870  blcvx  24711  icopnfhmeo  24866  pcoass  24949  cphipval  25168  pjthlem1  25362  itgmulc2lem2  25759  dvmulbr  25866  dvmulbrOLD  25867  cmvth  25920  cmvthOLD  25921  dvcvx  25950  dvfsumle  25951  dvfsumleOLD  25952  dvfsumabs  25954  dvfsumlem2  25958  dvfsumlem2OLD  25959  aaliou3lem8  26278  abelthlem2  26367  tangtx  26439  tanregt0  26473  efif1olem2  26477  efif1olem4  26479  ang180lem5  26748  isosctrlem2  26754  isosctrlem3  26755  affineequiv  26758  heron  26773  dcubic1  26780  dquart  26788  quartlem1  26792  asinsin  26827  efiatan  26847  atanlogsublem  26850  efiatan2  26852  2efiatan  26853  tanatan  26854  atantayl2  26873  lgamgulmlem2  26965  lgamgulmlem3  26966  ftalem5  27012  basellem3  27018  basellem5  27020  logfaclbnd  27158  lgseisenlem2  27312  lgsquadlem1  27316  2sqlem4  27357  2sqmod  27372  vmadivsum  27418  rplogsumlem1  27420  dchrmusum2  27430  dchrvmasumiflem2  27438  rpvmasum2  27448  dchrisum0lem2a  27453  dchrisum0lem2  27454  rplogsum  27463  mulogsumlem  27467  mulogsum  27468  mulog2sumlem1  27470  mulog2sumlem2  27471  mulog2sumlem3  27472  vmalogdivsum2  27474  vmalogdivsum  27475  2vmadivsumlem  27476  logsqvma  27478  selberglem1  27481  selberglem2  27482  selberg2lem  27486  chpdifbndlem1  27489  selberg3lem1  27493  selberg4lem1  27496  selberg4  27497  pntrsumo1  27501  selbergr  27504  selberg3r  27505  selberg4r  27506  selberg34r  27507  pntrlog2bndlem4  27516  pntrlog2bndlem5  27517  pntrlog2bndlem6  27519  pntlemo  27543  ttgcontlem1  28861  brbtwn2  28881  colinearalglem1  28882  axcontlem8  28947  pjhthlem1  31366  constrrtll  33739  constrrtlc1  33740  constrrtcclem  33742  constrremulcl  33775  constrrecl  33777  constrreinvcl  33780  cos9thpiminplylem1  33790  cos9thpiminplylem2  33791  knoppndvlem11  36555  knoppndvlem14  36558  knoppndvlem15  36559  knoppndvlem16  36560  bj-bary1lem  37343  bj-bary1lem1  37344  itgmulc2nclem2  37726  areacirclem1  37747  areacirclem4  37750  areacirc  37752  cntotbnd  37835  posbezout  42132  hashscontpow1  42153  nicomachus  42344  irrapxlem2  42855  irrapxlem3  42856  irrapxlem5  42858  pellexlem6  42866  pell1qrgaplem  42905  qirropth  42940  jm2.17a  42992  congmul  42999  jm2.18  43020  areaquad  43248  itgsinexp  45992  stoweidlem26  46063  stirlinglem7  46117  fourierdlem83  46226  etransclem46  46317  smfmullem1  46828  fmtnorec3  47578  fmtnorec4  47579  fppr2odd  47761  itcovalt2lem2lem2  48705  submuladdmuld  48732  affinecomb2  48734  itsclc0yqsollem1  48793  itsclc0yqsol  48795  itscnhlc0xyqsol  48796  itsclc0xyqsolr  48800  2itscplem3  48811  itscnhlinecirc02plem1  48813