Theorem subdid 11716

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   · cmul 11157   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  muls1d  11720  addmulsub  11722  recextlem1  11890  cru  12255  cju  12259  zneo  12698  qbtwnre  13237  lincmb01cmp  13531  iccf1o  13532  intfracq  13895  modlt  13916  moddi  13976  modsubdir  13977  subsq  14245  expmulnbnd  14270  crre  15149  remullem  15163  mulcn2  15628  iseraltlem3  15716  fsumparts  15838  geoserg  15898  mertens  15918  bpolydiflem  16086  bpoly4  16091  fsumcube  16092  tanval3  16166  tanadd  16199  eirrlem  16236  bezoutlem3  16574  cncongr1  16700  eulerthlem2  16815  prmdiv  16818  prmdiveq  16819  4sqlem10  16980  mul4sqlem  16986  4sqlem17  16994  blcvx  24833  icopnfhmeo  24987  pcoass  25070  cphipval  25290  pjthlem1  25484  itgmulc2lem2  25882  dvmulbr  25989  dvmulbrOLD  25990  cmvth  26043  cmvthOLD  26044  dvcvx  26073  dvfsumle  26074  dvfsumleOLD  26075  dvfsumabs  26077  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  aaliou3lem8  26401  abelthlem2  26490  tangtx  26561  tanregt0  26595  efif1olem2  26599  efif1olem4  26601  ang180lem5  26870  isosctrlem2  26876  isosctrlem3  26877  affineequiv  26880  heron  26895  dcubic1  26902  dquart  26910  quartlem1  26914  asinsin  26949  efiatan  26969  atanlogsublem  26972  efiatan2  26974  2efiatan  26975  tanatan  26976  atantayl2  26995  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  ftalem5  27134  basellem3  27140  basellem5  27142  logfaclbnd  27280  lgseisenlem2  27434  lgsquadlem1  27438  2sqlem4  27479  2sqmod  27494  vmadivsum  27540  rplogsumlem1  27542  dchrmusum2  27552  dchrvmasumiflem2  27560  rpvmasum2  27570  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  rplogsum  27585  mulogsumlem  27589  mulogsum  27590  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  mulog2sumlem3  27594  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  logsqvma  27600  selberglem1  27603  selberglem2  27604  selberg2lem  27608  chpdifbndlem1  27611  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  pntrsumo1  27623  selbergr  27626  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntlemo  27665  ttgcontlem1  28913  brbtwn2  28934  colinearalglem1  28935  axcontlem8  29000  pjhthlem1  31419  constrrtll  33736  constrrtlc1  33737  constrrtcclem  33739  knoppndvlem11  36504  knoppndvlem14  36507  knoppndvlem15  36508  knoppndvlem16  36509  bj-bary1lem  37292  bj-bary1lem1  37293  itgmulc2nclem2  37673  areacirclem1  37694  areacirclem4  37697  areacirc  37699  cntotbnd  37782  posbezout  42081  hashscontpow1  42102  nicomachus  42324  irrapxlem2  42810  irrapxlem3  42811  irrapxlem5  42813  pellexlem6  42821  pell1qrgaplem  42860  qirropth  42895  jm2.17a  42948  congmul  42955  jm2.18  42976  areaquad  43204  itgsinexp  45910  stoweidlem26  45981  stirlinglem7  46035  fourierdlem83  46144  etransclem46  46235  smfmullem1  46746  fmtnorec3  47472  fmtnorec4  47473  fppr2odd  47655  itcovalt2lem2lem2  48523  submuladdmuld  48550  affinecomb2  48552  itsclc0yqsollem1  48611  itsclc0yqsol  48613  itscnhlc0xyqsol  48614  itsclc0xyqsolr  48618  2itscplem3  48629  itscnhlinecirc02plem1  48631