Theorem subdid 11597

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   · cmul 11034   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  muls1d  11601  addmulsub  11603  recextlem1  11771  cru  12142  cju  12146  zneo  12603  qbtwnre  13142  lincmb01cmp  13439  iccf1o  13440  intfracq  13809  modlt  13830  moddi  13892  modsubdir  13893  subsq  14163  expmulnbnd  14188  crre  15067  remullem  15081  mulcn2  15549  iseraltlem3  15637  fsumparts  15760  geoserg  15822  mertens  15842  bpolydiflem  16010  bpoly4  16015  fsumcube  16016  tanval3  16092  tanadd  16125  eirrlem  16162  bezoutlem3  16501  cncongr1  16627  eulerthlem2  16743  prmdiv  16746  prmdiveq  16747  4sqlem10  16909  mul4sqlem  16915  4sqlem17  16923  blcvx  24773  icopnfhmeo  24920  pcoass  25001  cphipval  25220  pjthlem1  25414  itgmulc2lem2  25810  dvmulbr  25916  cmvth  25968  dvcvx  25997  dvfsumle  25998  dvfsumabs  26000  dvfsumlem2  26004  aaliou3lem8  26322  abelthlem2  26410  tangtx  26482  tanregt0  26516  efif1olem2  26520  efif1olem4  26522  ang180lem5  26790  isosctrlem2  26796  isosctrlem3  26797  affineequiv  26800  heron  26815  dcubic1  26822  dquart  26830  quartlem1  26834  asinsin  26869  efiatan  26889  atanlogsublem  26892  efiatan2  26894  2efiatan  26895  tanatan  26896  atantayl2  26915  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  ftalem5  27054  basellem3  27060  basellem5  27062  logfaclbnd  27199  lgseisenlem2  27353  lgsquadlem1  27357  2sqlem4  27398  2sqmod  27413  vmadivsum  27459  rplogsumlem1  27461  dchrmusum2  27471  dchrvmasumiflem2  27479  rpvmasum2  27489  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem2  27495  rplogsum  27504  mulogsumlem  27508  mulogsum  27509  mulog2sumlem1  27511  mulog2sumlem2  27512  mulog2sumlem3  27513  vmalogdivsum2  27515  vmalogdivsum  27516  2vmadivsumlem  27517  logsqvma  27519  selberglem1  27522  selberglem2  27523  selberg2lem  27527  chpdifbndlem1  27530  selberg3lem1  27534  selberg4lem1  27537  selberg4  27538  pntrsumo1  27542  selbergr  27545  selberg3r  27546  selberg4r  27547  selberg34r  27548  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  pntrlog2bndlem6  27560  pntlemo  27584  ttgcontlem1  28967  brbtwn2  28988  colinearalglem1  28989  axcontlem8  29054  pjhthlem1  31477  constrrtll  33891  constrrtlc1  33892  constrrtcclem  33894  constrremulcl  33927  constrrecl  33929  constrreinvcl  33932  cos9thpiminplylem1  33942  cos9thpiminplylem2  33943  knoppndvlem11  36798  knoppndvlem14  36801  knoppndvlem15  36802  knoppndvlem16  36803  bj-bary1lem  37640  bj-bary1lem1  37641  itgmulc2nclem2  38022  areacirclem1  38043  areacirclem4  38046  areacirc  38048  cntotbnd  38131  posbezout  42553  hashscontpow1  42574  nicomachus  42758  irrapxlem2  43269  irrapxlem3  43270  irrapxlem5  43272  pellexlem6  43280  pell1qrgaplem  43319  qirropth  43354  jm2.17a  43406  congmul  43413  jm2.18  43434  areaquad  43662  itgsinexp  46401  stoweidlem26  46472  stirlinglem7  46526  fourierdlem83  46635  etransclem46  46726  smfmullem1  47237  sin3t  47335  cos3t  47336  sin5tlem4  47340  fmtnorec3  48023  fmtnorec4  48024  fppr2odd  48219  itcovalt2lem2lem2  49162  submuladdmuld  49189  affinecomb2  49191  itsclc0yqsollem1  49250  itsclc0yqsol  49252  itscnhlc0xyqsol  49253  itsclc0xyqsolr  49257  2itscplem3  49268  itscnhlinecirc02plem1  49270