Theorem subdid 11775

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11752	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   · cmul 11208   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  muls1d  11779  addmulsub  11781  recextlem1  11949  cru  12315  cju  12319  zneo  12785  qbtwnre  13332  lincmb01cmp  13629  iccf1o  13630  intfracq  14002  modlt  14023  moddi  14085  modsubdir  14086  subsq  14357  expmulnbnd  14382  crre  15286  remullem  15300  mulcn2  15768  iseraltlem3  15856  fsumparts  15978  geoserg  16040  mertens  16060  bpolydiflem  16225  bpoly4  16230  fsumcube  16231  tanval3  16307  tanadd  16340  eirrlem  16377  bezoutlem3  16719  cncongr1  16847  eulerthlem2  16964  prmdiv  16967  prmdiveq  16968  4sqlem10  17130  mul4sqlem  17136  4sqlem17  17144  blcvx  25122  icopnfhmeo  25269  pcoass  25350  cphipval  25569  pjthlem1  25763  itgmulc2lem2  26158  dvmulbr  26264  cmvth  26316  dvcvx  26345  dvfsumle  26346  dvfsumabs  26348  dvfsumlem2  26352  aaliou3lem8  26677  abelthlem2  26764  tangtx  26839  tanregt0  26872  efif1olem2  26876  efif1olem4  26878  ang180lem5  27146  isosctrlem2  27152  isosctrlem3  27153  affineequiv  27156  heron  27171  dcubic1  27178  dquart  27186  quartlem1  27190  asinsin  27225  efiatan  27245  atanlogsublem  27248  efiatan2  27250  2efiatan  27251  tanatan  27252  atantayl2  27271  lgamgulmlem2  27362  lgamgulmlem3  27363  ftalem5  27409  basellem3  27415  basellem5  27417  logfaclbnd  27554  lgseisenlem2  27708  lgsquadlem1  27712  2sqlem4  27753  2sqmod  27768  vmadivsum  27814  rplogsumlem1  27816  dchrmusum2  27826  dchrvmasumiflem2  27834  rpvmasum2  27844  dchrisum0lem2a  27849  dchrisum0lem2  27850  rplogsum  27859  mulogsumlem  27863  mulogsum  27864  mulog2sumlem1  27866  mulog2sumlem2  27867  mulog2sumlem3  27868  vmalogdivsum2  27870  vmalogdivsum  27871  2vmadivsumlem  27872  logsqvma  27874  selberglem1  27877  selberglem2  27878  selberg2lem  27882  chpdifbndlem1  27885  selberg3lem1  27889  selberg4lem1  27892  selberg4  27893  pntrsumo1  27897  selbergr  27900  selberg3r  27901  selberg4r  27902  selberg34r  27903  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem5  27913  pntrlog2bndlem6  27915  pntlemo  27939  ttgcontlem1  29467  brbtwn2  29488  colinearalglem1  29489  axcontlem8  29554  pjhthlem1  31998  constrrtll  34409  constrrtlc1  34410  constrrtcclem  34412  constrremulcl  34445  constrrecl  34447  constrreinvcl  34450  cos9thpiminplylem1  34460  cos9thpiminplylem2  34461  knoppndvlem11  37480  knoppndvlem14  37483  knoppndvlem15  37484  knoppndvlem16  37485  bj-bary1lem  38324  bj-bary1lem1  38325  qdiff  38341  itgmulc2nclem2  38698  areacirclem1  38719  areacirclem4  38722  areacirc  38724  cntotbnd  38823  posbezout  43243  hashscontpow1  43264  nicomachus  43462  irrapxlem2  43923  irrapxlem3  43924  irrapxlem5  43926  pellexlem6  43934  pell1qrgaplem  43973  qirropth  44008  jm2.17a  44060  congmul  44067  jm2.18  44088  areaquad  44311  itgsinexp  47058  stoweidlem26  47129  stirlinglem7  47183  fourierdlem83  47292  etransclem46  47383  smfmullem1  47894  sin3t  48010  cos3t  48011  sin5tlem4  48015  cos5t  48018  fmtnorec3  48726  fmtnorec4  48727  fppr2odd  48922  itcovalt2lem2lem2  49879  submuladdmuld  49906  affinecomb2  49908  itsclc0yqsollem1  49967  itsclc0yqsol  49969  itscnhlc0xyqsol  49970  itsclc0xyqsolr  49974  2itscplem3  49985  itscnhlinecirc02plem1  49987  crosspdotd  51133  crossp3d  51135