Theorem subdid 11753

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11730	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   · cmul 11186   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  muls1d  11757  addmulsub  11759  recextlem1  11927  cru  12293  cju  12297  zneo  12763  qbtwnre  13310  lincmb01cmp  13607  iccf1o  13608  intfracq  13979  modlt  14000  moddi  14062  modsubdir  14063  subsq  14334  expmulnbnd  14359  crre  15261  remullem  15275  mulcn2  15743  iseraltlem3  15831  fsumparts  15953  geoserg  16015  mertens  16035  bpolydiflem  16200  bpoly4  16205  fsumcube  16206  tanval3  16282  tanadd  16315  eirrlem  16352  bezoutlem3  16694  cncongr1  16822  eulerthlem2  16939  prmdiv  16942  prmdiveq  16943  4sqlem10  17105  mul4sqlem  17111  4sqlem17  17119  blcvx  25097  icopnfhmeo  25244  pcoass  25325  cphipval  25544  pjthlem1  25738  itgmulc2lem2  26133  dvmulbr  26239  cmvth  26291  dvcvx  26320  dvfsumle  26321  dvfsumabs  26323  dvfsumlem2  26327  aaliou3lem8  26654  abelthlem2  26741  tangtx  26816  tanregt0  26849  efif1olem2  26853  efif1olem4  26855  ang180lem5  27123  isosctrlem2  27129  isosctrlem3  27130  affineequiv  27133  heron  27148  dcubic1  27155  dquart  27163  quartlem1  27167  asinsin  27202  efiatan  27222  atanlogsublem  27225  efiatan2  27227  2efiatan  27228  tanatan  27229  atantayl2  27248  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem3  27340  ftalem5  27386  basellem3  27392  basellem5  27394  logfaclbnd  27531  lgseisenlem2  27685  lgsquadlem1  27689  2sqlem4  27730  2sqmod  27745  vmadivsum  27791  rplogsumlem1  27793  dchrmusum2  27803  dchrvmasumiflem2  27811  rpvmasum2  27821  dchrisum0lem2a  27826  dchrisum0lem2  27827  rplogsum  27836  mulogsumlem  27840  mulogsum  27841  mulog2sumlem1  27843  mulog2sumlem2  27844  mulog2sumlem3  27845  vmalogdivsum2  27847  vmalogdivsum  27848  2vmadivsumlem  27849  logsqvma  27851  selberglem1  27854  selberglem2  27855  selberg2lem  27859  chpdifbndlem1  27862  selberg3lem1  27866  selberg4lem1  27869  selberg4  27870  pntrsumo1  27874  selbergr  27877  selberg3r  27878  selberg4r  27879  selberg34r  27880  pntrlog2bndlem4  27889  pntrlog2bndlem5  27890  pntrlog2bndlem6  27892  pntlemo  27916  ttgcontlem1  29444  brbtwn2  29465  colinearalglem1  29466  axcontlem8  29531  pjhthlem1  31975  constrrtll  34345  constrrtlc1  34346  constrrtcclem  34348  constrremulcl  34381  constrrecl  34383  constrreinvcl  34386  cos9thpiminplylem1  34396  cos9thpiminplylem2  34397  knoppndvlem11  37358  knoppndvlem14  37361  knoppndvlem15  37362  knoppndvlem16  37363  bj-bary1lem  38199  bj-bary1lem1  38200  qdiff  38216  itgmulc2nclem2  38573  areacirclem1  38594  areacirclem4  38597  areacirc  38599  cntotbnd  38698  posbezout  43118  hashscontpow1  43139  nicomachus  43337  irrapxlem2  43783  irrapxlem3  43784  irrapxlem5  43786  pellexlem6  43794  pell1qrgaplem  43833  qirropth  43868  jm2.17a  43920  congmul  43927  jm2.18  43948  areaquad  44176  itgsinexp  46909  stoweidlem26  46980  stirlinglem7  47034  fourierdlem83  47143  etransclem46  47234  smfmullem1  47745  sin3t  47861  cos3t  47862  sin5tlem4  47866  cos5t  47869  fmtnorec3  48577  fmtnorec4  48578  fppr2odd  48773  itcovalt2lem2lem2  49730  submuladdmuld  49757  affinecomb2  49759  itsclc0yqsollem1  49818  itsclc0yqsol  49820  itscnhlc0xyqsol  49821  itsclc0xyqsolr  49825  2itscplem3  49836  itscnhlinecirc02plem1  49838  crosspdotd  50909  crossp3d  50911