Theorem subdid 11670

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11647	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   · cmul 11115   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  muls1d  11674  addmulsub  11676  recextlem1  11844  cru  12204  cju  12208  zneo  12645  qbtwnre  13178  lincmb01cmp  13472  iccf1o  13473  intfracq  13824  modlt  13845  moddi  13904  modsubdir  13905  subsq  14174  expmulnbnd  14198  crre  15061  remullem  15075  mulcn2  15540  iseraltlem3  15630  fsumparts  15752  geoserg  15812  mertens  15832  bpolydiflem  15998  bpoly4  16003  fsumcube  16004  tanval3  16077  tanadd  16110  eirrlem  16147  bezoutlem3  16483  cncongr1  16604  eulerthlem2  16715  prmdiv  16718  prmdiveq  16719  4sqlem10  16880  mul4sqlem  16886  4sqlem17  16894  blcvx  24314  icopnfhmeo  24459  pcoass  24540  cphipval  24760  pjthlem1  24954  itgmulc2lem2  25350  dvmulbr  25456  cmvth  25508  dvcvx  25537  dvfsumle  25538  dvfsumabs  25540  dvfsumlem2  25544  aaliou3lem8  25858  abelthlem2  25944  tangtx  26015  tanregt0  26048  efif1olem2  26052  efif1olem4  26054  ang180lem5  26318  isosctrlem2  26324  isosctrlem3  26325  affineequiv  26328  heron  26343  dcubic1  26350  dquart  26358  quartlem1  26362  asinsin  26397  efiatan  26417  atanlogsublem  26420  efiatan2  26422  2efiatan  26423  tanatan  26424  atantayl2  26443  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  ftalem5  26581  basellem3  26587  basellem5  26589  logfaclbnd  26725  lgseisenlem2  26879  lgsquadlem1  26883  2sqlem4  26924  2sqmod  26939  vmadivsum  26985  rplogsumlem1  26987  dchrmusum2  26997  dchrvmasumiflem2  27005  rpvmasum2  27015  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  rplogsum  27030  mulogsumlem  27034  mulogsum  27035  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  mulog2sumlem3  27039  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  logsqvma  27045  selberglem1  27048  selberglem2  27049  selberg2lem  27053  chpdifbndlem1  27056  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrsumo1  27068  selbergr  27071  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntlemo  27110  ttgcontlem1  28142  brbtwn2  28163  colinearalglem1  28164  axcontlem8  28229  pjhthlem1  30644  gg-dvmulbr  35175  gg-cmvth  35181  gg-dvfsumle  35182  gg-dvfsumlem2  35183  knoppndvlem11  35398  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem16  35403  bj-bary1lem  36191  bj-bary1lem1  36192  itgmulc2nclem2  36555  areacirclem1  36576  areacirclem4  36579  areacirc  36581  cntotbnd  36664  nicomachus  41210  irrapxlem2  41561  irrapxlem3  41562  irrapxlem5  41564  pellexlem6  41572  pell1qrgaplem  41611  qirropth  41646  jm2.17a  41699  congmul  41706  jm2.18  41727  areaquad  41965  itgsinexp  44671  stoweidlem26  44742  stirlinglem7  44796  fourierdlem83  44905  etransclem46  44996  smfmullem1  45507  fmtnorec3  46216  fmtnorec4  46217  fppr2odd  46399  itcovalt2lem2lem2  47360  submuladdmuld  47387  affinecomb2  47389  itsclc0yqsollem1  47448  itsclc0yqsol  47450  itscnhlc0xyqsol  47451  itsclc0xyqsolr  47455  2itscplem3  47466  itscnhlinecirc02plem1  47468