Theorem subdid 11580

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11557	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   · cmul 11018   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353

This theorem is referenced by:  muls1d  11584  addmulsub  11586  recextlem1  11754  cru  12124  cju  12128  zneo  12562  qbtwnre  13100  lincmb01cmp  13397  iccf1o  13398  intfracq  13765  modlt  13786  moddi  13848  modsubdir  13849  subsq  14119  expmulnbnd  14144  crre  15023  remullem  15037  mulcn2  15505  iseraltlem3  15593  fsumparts  15715  geoserg  15775  mertens  15795  bpolydiflem  15963  bpoly4  15968  fsumcube  15969  tanval3  16045  tanadd  16078  eirrlem  16115  bezoutlem3  16454  cncongr1  16580  eulerthlem2  16695  prmdiv  16698  prmdiveq  16699  4sqlem10  16861  mul4sqlem  16867  4sqlem17  16875  blcvx  24714  icopnfhmeo  24869  pcoass  24952  cphipval  25171  pjthlem1  25365  itgmulc2lem2  25762  dvmulbr  25869  dvmulbrOLD  25870  cmvth  25923  cmvthOLD  25924  dvcvx  25953  dvfsumle  25954  dvfsumleOLD  25955  dvfsumabs  25957  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  aaliou3lem8  26281  abelthlem2  26370  tangtx  26442  tanregt0  26476  efif1olem2  26480  efif1olem4  26482  ang180lem5  26751  isosctrlem2  26757  isosctrlem3  26758  affineequiv  26761  heron  26776  dcubic1  26783  dquart  26791  quartlem1  26795  asinsin  26830  efiatan  26850  atanlogsublem  26853  efiatan2  26855  2efiatan  26856  tanatan  26857  atantayl2  26876  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  ftalem5  27015  basellem3  27021  basellem5  27023  logfaclbnd  27161  lgseisenlem2  27315  lgsquadlem1  27319  2sqlem4  27360  2sqmod  27375  vmadivsum  27421  rplogsumlem1  27423  dchrmusum2  27433  dchrvmasumiflem2  27441  rpvmasum2  27451  dchrisum0lem2a  27456  dchrisum0lem2  27457  rplogsum  27466  mulogsumlem  27470  mulogsum  27471  mulog2sumlem1  27473  mulog2sumlem2  27474  mulog2sumlem3  27475  vmalogdivsum2  27477  vmalogdivsum  27478  2vmadivsumlem  27479  logsqvma  27481  selberglem1  27484  selberglem2  27485  selberg2lem  27489  chpdifbndlem1  27492  selberg3lem1  27496  selberg4lem1  27499  selberg4  27500  pntrsumo1  27504  selbergr  27507  selberg3r  27508  selberg4r  27509  selberg34r  27510  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem5  27520  pntrlog2bndlem6  27522  pntlemo  27546  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28885  colinearalglem1  28886  axcontlem8  28951  pjhthlem1  31373  constrrtll  33765  constrrtlc1  33766  constrrtcclem  33768  constrremulcl  33801  constrrecl  33803  constrreinvcl  33806  cos9thpiminplylem1  33816  cos9thpiminplylem2  33817  knoppndvlem11  36587  knoppndvlem14  36590  knoppndvlem15  36591  knoppndvlem16  36592  bj-bary1lem  37375  bj-bary1lem1  37376  itgmulc2nclem2  37747  areacirclem1  37768  areacirclem4  37771  areacirc  37773  cntotbnd  37856  posbezout  42213  hashscontpow1  42234  nicomachus  42430  irrapxlem2  42940  irrapxlem3  42941  irrapxlem5  42943  pellexlem6  42951  pell1qrgaplem  42990  qirropth  43025  jm2.17a  43077  congmul  43084  jm2.18  43105  areaquad  43333  itgsinexp  46077  stoweidlem26  46148  stirlinglem7  46202  fourierdlem83  46311  etransclem46  46402  smfmullem1  46913  fmtnorec3  47672  fmtnorec4  47673  fppr2odd  47855  itcovalt2lem2lem2  48799  submuladdmuld  48826  affinecomb2  48828  itsclc0yqsollem1  48887  itsclc0yqsol  48889  itscnhlc0xyqsol  48890  itsclc0xyqsolr  48894  2itscplem3  48905  itscnhlinecirc02plem1  48907