Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub2 10907
 Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subsub2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem subsub2
StepHypRef Expression
1 subcl 10878 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
213adant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
3 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 subcl 10878 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
74, 5, 6syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
82, 3, 7add12d 10859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = (𝐴 + ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵))))
9 npncan2 10906 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵)) = 0)
1093adant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵)) = 0)
1110oveq2d 7155 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵))) = (𝐴 + 0))
123addid1d 10833 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
138, 11, 123eqtrd 2840 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴)
143, 7addcld 10653 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
15 subadd 10882 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (𝐶𝐵)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)) ↔ ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴))
163, 2, 14, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)) ↔ ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴))
1713, 16mpbird 260 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530   + caddc 10533   − cmin 10863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865 This theorem is referenced by:  nncan  10908  subsub  10909  subsub3  10911  ppncan  10921  subadd4  10923  subsub2d  11019  divalglem9  15746  ax5seglem7  26733  areaquad  40163  sub31  41919
 Copyright terms: Public domain W3C validator