Theorem subcl 11380

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11371	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7327	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃!wreu 3343  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   + caddc 11031   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  negcl  11381  subf  11383  pncan3  11389  npcan  11390  addsubass  11391  addsub  11392  addsub12  11394  addsubeq4  11396  npncan  11403  nppcan  11404  nnpcan  11405  nppcan3  11406  subcan2  11407  subsub2  11410  subsub4  11415  nnncan  11417  nnncan1  11418  nnncan2  11419  npncan3  11420  addsub4  11425  subadd4  11426  peano2cnm  11448  subcli  11458  subcld  11493  subeqrev  11560  subdi  11571  subdir  11572  mulsub2  11582  recextlem1  11768  recex  11770  mulcan1g  11791  div2sub  11967  cju  12142  halfaddsubcl  12374  halfaddsub  12375  iccf1o  13417  modsumfzodifsn  13869  sersub  13970  sqsubswap  14042  subsq  14135  subsq2  14136  bcn2  14244  pfxccatin12lem1  14652  pfxccatin12lem2  14655  shftval2  15000  2shfti  15005  sqabssub  15208  abssub  15252  abs3dif  15257  abs2dif  15258  abs2difabs  15260  climuni  15477  cjcn2  15525  recn2  15526  imcn2  15527  o1sub  15541  climsub  15559  caucvgr  15601  iseralt  15610  fsum0diag2  15708  arisum2  15786  geoserg  15791  geolim  15795  geolim2  15796  georeclim  15797  geo2sum  15798  geoisum1c  15805  fallfacval2  15936  fallfacval3  15937  fallfaccl  15941  risefallfac  15949  fallfacp1  15955  0fallfac  15962  binomfallfaclem2  15965  bpoly2  15982  bpoly3  15983  fsumcube  15985  tanadd  16094  addsin  16097  fzocongeq  16253  odd2np1  16270  divalglem9  16330  phiprm  16706  pythagtriplem4  16749  pythagtriplem12  16756  pythagtriplem14  16758  pythagtriplem16  16760  fldivp1  16827  4sqlem19  16893  vdwapun  16904  vdwlem6  16916  xrsdsreclb  21338  cnmet  24675  icccvx  24864  reparphti  24912  reparphtiOLD  24913  pcorevlem  24942  cncmet  25238  dveflem  25899  dvef  25900  dv11cn  25922  coeeulem  26145  geolim3  26263  abelthlem2  26358  abelthlem7  26364  efimpi  26416  ptolemy  26421  tangtx  26430  abssinper  26446  cosne0  26454  tanregt0  26464  eflogeq  26527  logneg2  26540  advlogexp  26580  logtayl  26585  logtayl2  26587  ang180lem1  26735  ang180lem2  26736  ang180lem3  26737  lawcos  26742  pythag  26743  isosctrlem1  26744  isosctrlem2  26745  asinlem  26794  asinlem2  26795  asinlem3a  26796  asinlem3  26797  asinf  26798  acosf  26800  atanf  26806  asinneg  26812  efiasin  26814  sinasin  26815  asinsin  26818  acoscos  26819  asinbnd  26825  cosasin  26830  atanneg  26833  atancj  26836  efiatan  26838  atanlogaddlem  26839  atanlogadd  26840  atanlogsublem  26841  atanlogsub  26842  efiatan2  26843  2efiatan  26844  cosatan  26847  atantan  26849  atanbndlem  26851  atans2  26857  dvatan  26861  atantayl  26863  atantayl2  26864  birthdaylem2  26878  scvxcvx  26912  basellem8  27014  1sgm2ppw  27127  logfacbnd3  27150  logfacrlim  27151  perfect1  27155  dchrsum2  27195  sumdchr2  27197  bposlem9  27219  lgsquad2  27313  addsq2reu  27367  rplogsumlem1  27411  dchrmusum2  27421  log2sumbnd  27471  pntrsumo1  27492  brbtwn2  28868  colinearalg  28873  axcgrid  28879  axsegconlem1  28880  ax5seglem1  28891  ax5seglem2  28892  ax5seglem3  28894  ax5seglem5  28896  ax5seglem9  28900  axbtwnid  28902  axeuclidlem  28925  axcontlem2  28928  axcontlem4  28930  axcontlem7  28933  axcontlem8  28934  crctcshwlkn0lem6  29778  eucrctshift  30205  hvmulcan2  31035  subfacp1lem6  35160  cvxsconn  35218  resconn  35221  sinccvglem  35647  sin2h  37592  tan2h  37594  itg2addnclem3  37655  ftc1anclem4  37678  ftc1anclem5  37679  ftc1anclem6  37680  ftc1anclem7  37681  ftc1anc  37683  dvasin  37686  dvacos  37687  lcmineqlem4  42008  lcmineqlem8  42012  rmspecsqrtnq  42882  jm2.17a  42936  acongeq  42959  jm2.27c  42983  lhe4.4ex1a  44305  dvconstbi  44310  abssubrp  45261  cnambpcma  47282