Theorem subcl 11150

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11141	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7230	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3065  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  negcl  11151  subf  11153  pncan3  11159  npcan  11160  addsubass  11161  addsub  11162  addsub12  11164  addsubeq4  11166  npncan  11172  nppcan  11173  nnpcan  11174  nppcan3  11175  subcan2  11176  subsub2  11179  subsub4  11184  nnncan  11186  nnncan1  11187  nnncan2  11188  npncan3  11189  addsub4  11194  subadd4  11195  peano2cnm  11217  subcli  11227  subcld  11262  subeqrev  11327  subdi  11338  subdir  11339  mulsub2  11349  recextlem1  11535  recex  11537  mulcan1g  11558  div2sub  11730  cju  11899  halfaddsubcl  12135  halfaddsub  12136  iccf1o  13157  modsumfzodifsn  13592  sersub  13694  sqsubswap  13765  subsq  13854  subsq2  13855  bcn2  13961  pfxccatin12lem1  14369  pfxccatin12lem2  14372  shftval2  14714  2shfti  14719  sqabssub  14923  abssub  14966  abs3dif  14971  abs2dif  14972  abs2difabs  14974  climuni  15189  cjcn2  15237  recn2  15238  imcn2  15239  o1sub  15253  climsub  15271  caucvgr  15315  iseralt  15324  fsum0diag2  15423  arisum2  15501  geoserg  15506  geolim  15510  geolim2  15511  georeclim  15512  geo2sum  15513  geoisum1c  15520  fallfacval2  15649  fallfacval3  15650  fallfaccl  15654  risefallfac  15662  fallfacp1  15668  0fallfac  15675  binomfallfaclem2  15678  bpoly2  15695  bpoly3  15696  fsumcube  15698  tanadd  15804  addsin  15807  fzocongeq  15961  odd2np1  15978  divalglem9  16038  phiprm  16406  pythagtriplem4  16448  pythagtriplem12  16455  pythagtriplem14  16457  pythagtriplem16  16459  fldivp1  16526  4sqlem19  16592  vdwapun  16603  vdwlem6  16615  xrsdsreclb  20557  cnmet  23841  icccvx  24019  reparphti  24066  pcorevlem  24095  cncmet  24391  dveflem  25048  dvef  25049  dv11cn  25070  coeeulem  25290  geolim3  25404  abelthlem2  25496  abelthlem7  25502  efimpi  25553  ptolemy  25558  tangtx  25567  abssinper  25582  cosne0  25590  tanregt0  25600  eflogeq  25662  logneg2  25675  advlogexp  25715  logtayl  25720  logtayl2  25722  ang180lem1  25864  ang180lem2  25865  ang180lem3  25866  lawcos  25871  pythag  25872  isosctrlem1  25873  isosctrlem2  25874  asinlem  25923  asinlem2  25924  asinlem3a  25925  asinlem3  25926  asinf  25927  acosf  25929  atanf  25935  asinneg  25941  efiasin  25943  sinasin  25944  asinsin  25947  acoscos  25948  asinbnd  25954  cosasin  25959  atanneg  25962  atancj  25965  efiatan  25967  atanlogaddlem  25968  atanlogadd  25969  atanlogsublem  25970  atanlogsub  25971  efiatan2  25972  2efiatan  25973  cosatan  25976  atantan  25978  atanbndlem  25980  atans2  25986  dvatan  25990  atantayl  25992  atantayl2  25993  birthdaylem2  26007  scvxcvx  26040  basellem8  26142  1sgm2ppw  26253  logfacbnd3  26276  logfacrlim  26277  perfect1  26281  dchrsum2  26321  sumdchr2  26323  bposlem9  26345  lgsquad2  26439  addsq2reu  26493  rplogsumlem1  26537  dchrmusum2  26547  log2sumbnd  26597  pntrsumo1  26618  brbtwn2  27176  colinearalg  27181  axcgrid  27187  axsegconlem1  27188  ax5seglem1  27199  ax5seglem2  27200  ax5seglem3  27202  ax5seglem5  27204  ax5seglem9  27208  axbtwnid  27210  axeuclidlem  27233  axcontlem2  27236  axcontlem4  27238  axcontlem7  27241  axcontlem8  27242  crctcshwlkn0lem6  28081  eucrctshift  28508  hvmulcan2  29336  subfacp1lem6  33047  cvxsconn  33105  resconn  33108  sinccvglem  33530  sin2h  35694  tan2h  35696  itg2addnclem3  35757  ftc1anclem4  35780  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem6  35782  ftc1anclem7  35783  ftc1anc  35785  dvasin  35788  dvacos  35789  lcmineqlem4  39968  lcmineqlem8  39972  rmspecsqrtnq  40644  jm2.17a  40698  acongeq  40721  jm2.27c  40745  lhe4.4ex1a  41836  dvconstbi  41841  abssubrp  42703  cnambpcma  44674