Theorem subcl 10600

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 10592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 10591	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 6880	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2906	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃!wreu 3119  ℩crio 6865  (class class class)co 6905  ℂcc 10250   + caddc 10255   − cmin 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-sub 10587

This theorem is referenced by:  negcl  10601  subf  10603  pncan3  10609  pncan3OLD  10610  npcan  10611  addsubass  10612  addsub  10613  addsub12  10615  addsubeq4  10617  npncan  10623  nppcan  10624  nnpcan  10625  nppcan3  10626  subcan2  10627  subsub2  10630  subsub4  10635  nnncan  10637  nnncan1  10638  nnncan2  10639  npncan3  10640  addsub4  10645  subadd4  10646  peano2cnm  10668  subcli  10678  subcld  10713  subeqrev  10776  subdi  10787  subdir  10788  mulsub2  10798  recextlem1  10982  recex  10984  mulcan1g  11005  div2sub  11176  cju  11346  halfaddsubcl  11590  halfaddsub  11591  iccf1o  12609  modsumfzodifsn  13038  sersub  13138  sqsubswap  13218  subsq  13266  subsq2  13267  bcn2  13399  pfxccatin12lem1  13824  swrdccatin12lem2bOLD  13825  pfxccatin12lem2  13828  swrdccatin12lem2OLD  13829  shftval2  14192  2shfti  14197  sqabssub  14400  abssub  14443  abs3dif  14448  abs2dif  14449  abs2difabs  14451  climuni  14660  cjcn2  14707  recn2  14708  imcn2  14709  o1sub  14723  climsub  14741  caucvgr  14783  iseralt  14792  fsum0diag2  14889  arisum2  14967  geoserg  14972  geolim  14975  geolim2  14976  georeclim  14977  geo2sum  14978  geoisum1c  14985  fallfacval2  15114  fallfacval3  15115  fallfaccl  15119  risefallfac  15127  fallfacp1  15133  0fallfac  15140  binomfallfaclem2  15143  bpoly2  15160  bpoly3  15161  fsumcube  15163  tanadd  15269  addsin  15272  fzocongeq  15423  odd2np1  15439  divalglem9  15498  phiprm  15853  pythagtriplem4  15895  pythagtriplem12  15902  pythagtriplem14  15904  pythagtriplem16  15906  fldivp1  15972  4sqlem19  16038  vdwapun  16049  vdwlem6  16061  xrsdsreclb  20153  cnmet  22945  icccvx  23119  reparphti  23166  pcorevlem  23195  cncmet  23490  dveflem  24141  dvef  24142  dv11cn  24163  coeeulem  24379  geolim3  24493  abelthlem2  24585  abelthlem7  24591  efimpi  24643  ptolemy  24648  tangtx  24657  abssinper  24670  cosne0  24676  tanregt0  24685  eflogeq  24747  logneg2  24760  advlogexp  24800  logtayl  24805  logtayl2  24807  ang180lem1  24949  ang180lem2  24950  ang180lem3  24951  lawcos  24956  pythag  24957  isosctrlem1  24958  isosctrlem2  24959  asinlem  25008  asinlem2  25009  asinlem3a  25010  asinlem3  25011  asinf  25012  acosf  25014  atanf  25020  asinneg  25026  efiasin  25028  sinasin  25029  asinsin  25032  acoscos  25033  asinbnd  25039  cosasin  25044  atanneg  25047  atancj  25050  efiatan  25052  atanlogaddlem  25053  atanlogadd  25054  atanlogsublem  25055  atanlogsub  25056  efiatan2  25057  2efiatan  25058  cosatan  25061  atantan  25063  atanbndlem  25065  atans2  25071  dvatan  25075  atantayl  25077  atantayl2  25078  birthdaylem2  25092  scvxcvx  25125  basellem8  25227  1sgm2ppw  25338  logfacbnd3  25361  logfacrlim  25362  perfect1  25366  dchrsum2  25406  sumdchr2  25408  bposlem9  25430  lgsquad2  25524  rplogsumlem1  25586  dchrmusum2  25596  log2sumbnd  25646  pntrsumo1  25667  brbtwn2  26204  colinearalg  26209  axcgrid  26215  axsegconlem1  26216  ax5seglem1  26227  ax5seglem2  26228  ax5seglem3  26230  ax5seglem5  26232  ax5seglem9  26236  axbtwnid  26238  axeuclidlem  26261  axcontlem2  26264  axcontlem4  26266  axcontlem7  26269  axcontlem8  26270  crctcshwlkn0lem6  27114  eucrctshift  27609  hvmulcan2  28474  subfacp1lem6  31702  cvxsconn  31760  resconn  31763  sinccvglem  32099  sin2h  33935  tan2h  33937  itg2addnclem3  33999  ftc1anclem4  34024  ftc1anclem5  34025  ftc1anclem6  34026  ftc1anclem7  34027  ftc1anc  34029  dvasin  34032  dvacos  34033  rmspecsqrtnq  38307  jm2.17a  38363  acongeq  38386  jm2.27c  38410  lhe4.4ex1a  39361  dvconstbi  39366  abssubrp  40279  cnambpcma  42191