Theorem subcl 11537

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11529	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11528	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7386	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3364  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  negcl  11538  subf  11540  pncan3  11546  npcan  11547  addsubass  11548  addsub  11549  addsub12  11551  addsubeq4  11553  npncan  11560  nppcan  11561  nnpcan  11562  nppcan3  11563  subcan2  11564  subsub2  11567  subsub4  11572  nnncan  11574  nnncan1  11575  nnncan2  11576  npncan3  11577  addsub4  11582  subadd4  11583  peano2cnm  11605  subcli  11615  subcld  11650  subeqrev  11719  subdi  11730  subdir  11731  mulsub2  11741  recextlem1  11927  recex  11929  mulcan1g  11950  div2sub  12123  cju  12297  halfaddsubcl  12559  halfaddsub  12560  iccf1o  13608  modsumfzodifsn  14067  sersub  14168  sqsubswap  14240  subsq  14334  subsq2  14335  bcn2  14443  pfxccatin12lem1  14857  pfxccatin12lem2  14860  shftval2  15208  2shfti  15213  sqabssub  15430  abssub  15474  abs3dif  15479  abs2dif  15480  abs2difabs  15482  climuni  15699  cjcn2  15747  recn2  15748  imcn2  15749  o1sub  15763  climsub  15781  caucvgr  15823  iseralt  15832  fsum0diag2  15929  arisum2  16010  geoserg  16015  geolim  16019  geolim2  16020  georeclim  16021  geo2sum  16022  geoisum1c  16029  fallfacval2  16158  fallfacval3  16159  fallfaccl  16163  risefallfac  16171  fallfacp1  16176  0fallfac  16183  binomfallfaclem2  16186  bpoly2  16203  bpoly3  16204  fsumcube  16206  tanadd  16315  addsin  16318  fzocongeq  16474  odd2np1  16491  divalglem9  16551  phiprm  16934  pythagtriplem4  16977  pythagtriplem12  16984  pythagtriplem14  16986  pythagtriplem16  16988  fldivp1  17055  4sqlem19  17121  vdwapun  17132  vdwlem6  17144  xrsdsreclb  21700  cnmet  25070  icccvx  25251  reparphti  25298  pcorevlem  25327  cncmet  25623  dveflem  26279  dvef  26280  dv11cn  26301  coeeulem  26523  geolim3  26648  abelthlem2  26741  abelthlem7  26747  efimpi  26802  ptolemy  26807  tangtx  26816  abssinper  26831  cosne0  26839  tanregt0  26849  eflogeq  26912  logneg2  26925  advlogexp  26965  logtayl  26970  logtayl2  26972  ang180lem1  27119  ang180lem2  27120  ang180lem3  27121  lawcos  27126  pythag  27127  isosctrlem1  27128  isosctrlem2  27129  asinlem  27178  asinlem2  27179  asinlem3a  27180  asinlem3  27181  asinf  27182  acosf  27184  atanf  27190  asinneg  27196  efiasin  27198  sinasin  27199  asinsin  27202  acoscos  27203  asinbnd  27209  cosasin  27214  atanneg  27217  atancj  27220  efiatan  27222  atanlogaddlem  27223  atanlogadd  27224  atanlogsublem  27225  atanlogsub  27226  efiatan2  27227  2efiatan  27228  cosatan  27231  atantan  27233  atanbndlem  27235  atans2  27241  dvatan  27245  atantayl  27247  atantayl2  27248  birthdaylem2  27262  scvxcvx  27295  basellem8  27397  1sgm2ppw  27509  logfacbnd3  27532  logfacrlim  27533  perfect1  27537  dchrsum2  27577  sumdchr2  27579  bposlem9  27601  lgsquad2  27695  addsq2reu  27749  rplogsumlem1  27793  dchrmusum2  27803  log2sumbnd  27853  pntrsumo1  27874  brbtwn2  29465  colinearalg  29470  axcgrid  29476  axsegconlem1  29477  ax5seglem1  29488  ax5seglem2  29489  ax5seglem3  29491  ax5seglem5  29493  ax5seglem9  29497  axbtwnid  29499  axeuclidlem  29522  axcontlem2  29525  axcontlem4  29527  axcontlem7  29530  axcontlem8  29531  crctcshwlkn0lem6  30386  eucrctshift  30826  hvmulcan2  31657  subfacp1lem6  35919  cvxsconn  35977  resconn  35980  sinccvglem  36406  sin2h  38501  tan2h  38503  itg2addnclem3  38559  ftc1anclem4  38582  ftc1anclem5  38583  ftc1anclem6  38584  ftc1anclem7  38585  ftc1anc  38587  dvasin  38590  dvacos  38591  lcmineqlem4  43050  lcmineqlem8  43054  rmspecsqrtnq  43866  jm2.17a  43920  acongeq  43943  jm2.27c  43967  lhe4.4ex1a  45272  dvconstbi  45277  abssubrp  46235  cnambpcma  48308