Theorem subcl 11507

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11499	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11498	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7405	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3378  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  negcl  11508  subf  11510  pncan3  11516  npcan  11517  addsubass  11518  addsub  11519  addsub12  11521  addsubeq4  11523  npncan  11530  nppcan  11531  nnpcan  11532  nppcan3  11533  subcan2  11534  subsub2  11537  subsub4  11542  nnncan  11544  nnncan1  11545  nnncan2  11546  npncan3  11547  addsub4  11552  subadd4  11553  peano2cnm  11575  subcli  11585  subcld  11620  subeqrev  11685  subdi  11696  subdir  11697  mulsub2  11707  recextlem1  11893  recex  11895  mulcan1g  11916  div2sub  12092  cju  12262  halfaddsubcl  12498  halfaddsub  12499  iccf1o  13536  modsumfzodifsn  13985  sersub  14086  sqsubswap  14157  subsq  14249  subsq2  14250  bcn2  14358  pfxccatin12lem1  14766  pfxccatin12lem2  14769  shftval2  15114  2shfti  15119  sqabssub  15322  abssub  15365  abs3dif  15370  abs2dif  15371  abs2difabs  15373  climuni  15588  cjcn2  15636  recn2  15637  imcn2  15638  o1sub  15652  climsub  15670  caucvgr  15712  iseralt  15721  fsum0diag2  15819  arisum2  15897  geoserg  15902  geolim  15906  geolim2  15907  georeclim  15908  geo2sum  15909  geoisum1c  15916  fallfacval2  16047  fallfacval3  16048  fallfaccl  16052  risefallfac  16060  fallfacp1  16066  0fallfac  16073  binomfallfaclem2  16076  bpoly2  16093  bpoly3  16094  fsumcube  16096  tanadd  16203  addsin  16206  fzocongeq  16361  odd2np1  16378  divalglem9  16438  phiprm  16814  pythagtriplem4  16857  pythagtriplem12  16864  pythagtriplem14  16866  pythagtriplem16  16868  fldivp1  16935  4sqlem19  17001  vdwapun  17012  vdwlem6  17024  xrsdsreclb  21431  cnmet  24792  icccvx  24981  reparphti  25029  reparphtiOLD  25030  pcorevlem  25059  cncmet  25356  dveflem  26017  dvef  26018  dv11cn  26040  coeeulem  26263  geolim3  26381  abelthlem2  26476  abelthlem7  26482  efimpi  26533  ptolemy  26538  tangtx  26547  abssinper  26563  cosne0  26571  tanregt0  26581  eflogeq  26644  logneg2  26657  advlogexp  26697  logtayl  26702  logtayl2  26704  ang180lem1  26852  ang180lem2  26853  ang180lem3  26854  lawcos  26859  pythag  26860  isosctrlem1  26861  isosctrlem2  26862  asinlem  26911  asinlem2  26912  asinlem3a  26913  asinlem3  26914  asinf  26915  acosf  26917  atanf  26923  asinneg  26929  efiasin  26931  sinasin  26932  asinsin  26935  acoscos  26936  asinbnd  26942  cosasin  26947  atanneg  26950  atancj  26953  efiatan  26955  atanlogaddlem  26956  atanlogadd  26957  atanlogsublem  26958  atanlogsub  26959  efiatan2  26960  2efiatan  26961  cosatan  26964  atantan  26966  atanbndlem  26968  atans2  26974  dvatan  26978  atantayl  26980  atantayl2  26981  birthdaylem2  26995  scvxcvx  27029  basellem8  27131  1sgm2ppw  27244  logfacbnd3  27267  logfacrlim  27268  perfect1  27272  dchrsum2  27312  sumdchr2  27314  bposlem9  27336  lgsquad2  27430  addsq2reu  27484  rplogsumlem1  27528  dchrmusum2  27538  log2sumbnd  27588  pntrsumo1  27609  brbtwn2  28920  colinearalg  28925  axcgrid  28931  axsegconlem1  28932  ax5seglem1  28943  ax5seglem2  28944  ax5seglem3  28946  ax5seglem5  28948  ax5seglem9  28952  axbtwnid  28954  axeuclidlem  28977  axcontlem2  28980  axcontlem4  28982  axcontlem7  28985  axcontlem8  28986  crctcshwlkn0lem6  29835  eucrctshift  30262  hvmulcan2  31092  subfacp1lem6  35190  cvxsconn  35248  resconn  35251  sinccvglem  35677  sin2h  37617  tan2h  37619  itg2addnclem3  37680  ftc1anclem4  37703  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem7  37706  ftc1anc  37708  dvasin  37711  dvacos  37712  lcmineqlem4  42033  lcmineqlem8  42037  rmspecsqrtnq  42917  jm2.17a  42972  acongeq  42995  jm2.27c  43019  lhe4.4ex1a  44348  dvconstbi  44353  abssubrp  45287  cnambpcma  47306