Theorem subcl 11229

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11220	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7259	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2840	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃!wreu 3067  ℩crio 7240  (class class class)co 7284  ℂcc 10878   + caddc 10883   − cmin 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216

This theorem is referenced by:  negcl  11230  subf  11232  pncan3  11238  npcan  11239  addsubass  11240  addsub  11241  addsub12  11243  addsubeq4  11245  npncan  11251  nppcan  11252  nnpcan  11253  nppcan3  11254  subcan2  11255  subsub2  11258  subsub4  11263  nnncan  11265  nnncan1  11266  nnncan2  11267  npncan3  11268  addsub4  11273  subadd4  11274  peano2cnm  11296  subcli  11306  subcld  11341  subeqrev  11406  subdi  11417  subdir  11418  mulsub2  11428  recextlem1  11614  recex  11616  mulcan1g  11637  div2sub  11809  cju  11978  halfaddsubcl  12214  halfaddsub  12215  iccf1o  13237  modsumfzodifsn  13673  sersub  13775  sqsubswap  13846  subsq  13935  subsq2  13936  bcn2  14042  pfxccatin12lem1  14450  pfxccatin12lem2  14453  shftval2  14795  2shfti  14800  sqabssub  15004  abssub  15047  abs3dif  15052  abs2dif  15053  abs2difabs  15055  climuni  15270  cjcn2  15318  recn2  15319  imcn2  15320  o1sub  15334  climsub  15352  caucvgr  15396  iseralt  15405  fsum0diag2  15504  arisum2  15582  geoserg  15587  geolim  15591  geolim2  15592  georeclim  15593  geo2sum  15594  geoisum1c  15601  fallfacval2  15730  fallfacval3  15731  fallfaccl  15735  risefallfac  15743  fallfacp1  15749  0fallfac  15756  binomfallfaclem2  15759  bpoly2  15776  bpoly3  15777  fsumcube  15779  tanadd  15885  addsin  15888  fzocongeq  16042  odd2np1  16059  divalglem9  16119  phiprm  16487  pythagtriplem4  16529  pythagtriplem12  16536  pythagtriplem14  16538  pythagtriplem16  16540  fldivp1  16607  4sqlem19  16673  vdwapun  16684  vdwlem6  16696  xrsdsreclb  20654  cnmet  23944  icccvx  24122  reparphti  24169  pcorevlem  24198  cncmet  24495  dveflem  25152  dvef  25153  dv11cn  25174  coeeulem  25394  geolim3  25508  abelthlem2  25600  abelthlem7  25606  efimpi  25657  ptolemy  25662  tangtx  25671  abssinper  25686  cosne0  25694  tanregt0  25704  eflogeq  25766  logneg2  25779  advlogexp  25819  logtayl  25824  logtayl2  25826  ang180lem1  25968  ang180lem2  25969  ang180lem3  25970  lawcos  25975  pythag  25976  isosctrlem1  25977  isosctrlem2  25978  asinlem  26027  asinlem2  26028  asinlem3a  26029  asinlem3  26030  asinf  26031  acosf  26033  atanf  26039  asinneg  26045  efiasin  26047  sinasin  26048  asinsin  26051  acoscos  26052  asinbnd  26058  cosasin  26063  atanneg  26066  atancj  26069  efiatan  26071  atanlogaddlem  26072  atanlogadd  26073  atanlogsublem  26074  atanlogsub  26075  efiatan2  26076  2efiatan  26077  cosatan  26080  atantan  26082  atanbndlem  26084  atans2  26090  dvatan  26094  atantayl  26096  atantayl2  26097  birthdaylem2  26111  scvxcvx  26144  basellem8  26246  1sgm2ppw  26357  logfacbnd3  26380  logfacrlim  26381  perfect1  26385  dchrsum2  26425  sumdchr2  26427  bposlem9  26449  lgsquad2  26543  addsq2reu  26597  rplogsumlem1  26641  dchrmusum2  26651  log2sumbnd  26701  pntrsumo1  26722  brbtwn2  27282  colinearalg  27287  axcgrid  27293  axsegconlem1  27294  ax5seglem1  27305  ax5seglem2  27306  ax5seglem3  27308  ax5seglem5  27310  ax5seglem9  27314  axbtwnid  27316  axeuclidlem  27339  axcontlem2  27342  axcontlem4  27344  axcontlem7  27347  axcontlem8  27348  crctcshwlkn0lem6  28189  eucrctshift  28616  hvmulcan2  29444  subfacp1lem6  33156  cvxsconn  33214  resconn  33217  sinccvglem  33639  sin2h  35776  tan2h  35778  itg2addnclem3  35839  ftc1anclem4  35862  ftc1anclem5  35863  ftc1anclem6  35864  ftc1anclem7  35865  ftc1anc  35867  dvasin  35870  dvacos  35871  lcmineqlem4  40047  lcmineqlem8  40051  rmspecsqrtnq  40735  jm2.17a  40789  acongeq  40812  jm2.27c  40836  lhe4.4ex1a  41954  dvconstbi  41959  abssubrp  42821  cnambpcma  44797