Theorem subcl 11426

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11417	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7366	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃!wreu 3364  ℩crio 7348  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  negcl  11427  subf  11429  pncan3  11435  npcan  11436  addsubass  11437  addsub  11438  addsub12  11440  addsubeq4  11442  npncan  11449  nppcan  11450  nnpcan  11451  nppcan3  11452  subcan2  11453  subsub2  11456  subsub4  11461  nnncan  11463  nnncan1  11464  nnncan2  11465  npncan3  11466  addsub4  11471  subadd4  11472  peano2cnm  11494  subcli  11504  subcld  11539  subeqrev  11606  subdi  11617  subdir  11618  mulsub2  11628  recextlem1  11814  recex  11816  mulcan1g  11837  div2sub  12013  cju  12188  halfaddsubcl  12450  halfaddsub  12451  iccf1o  13497  modsumfzodifsn  13954  sersub  14055  sqsubswap  14127  subsq  14220  subsq2  14221  bcn2  14329  pfxccatin12lem1  14738  pfxccatin12lem2  14741  shftval2  15085  2shfti  15090  sqabssub  15293  abssub  15337  abs3dif  15342  abs2dif  15343  abs2difabs  15345  climuni  15562  cjcn2  15610  recn2  15611  imcn2  15612  o1sub  15626  climsub  15644  caucvgr  15686  iseralt  15695  fsum0diag2  15793  arisum2  15874  geoserg  15879  geolim  15883  geolim2  15884  georeclim  15885  geo2sum  15886  geoisum1c  15893  fallfacval2  16024  fallfacval3  16025  fallfaccl  16029  risefallfac  16037  fallfacp1  16043  0fallfac  16050  binomfallfaclem2  16053  bpoly2  16070  bpoly3  16071  fsumcube  16073  tanadd  16182  addsin  16185  fzocongeq  16341  odd2np1  16358  divalglem9  16418  phiprm  16795  pythagtriplem4  16838  pythagtriplem12  16845  pythagtriplem14  16847  pythagtriplem16  16849  fldivp1  16916  4sqlem19  16982  vdwapun  16993  vdwlem6  17005  xrsdsreclb  21446  cnmet  24811  icccvx  24992  reparphti  25039  pcorevlem  25068  cncmet  25364  dveflem  26021  dvef  26022  dv11cn  26043  coeeulem  26264  geolim3  26380  abelthlem2  26472  abelthlem7  26478  efimpi  26533  ptolemy  26538  tangtx  26547  abssinper  26563  cosne0  26571  tanregt0  26581  eflogeq  26644  logneg2  26657  advlogexp  26697  logtayl  26702  logtayl2  26704  ang180lem1  26851  ang180lem2  26852  ang180lem3  26853  lawcos  26858  pythag  26859  isosctrlem1  26860  isosctrlem2  26861  asinlem  26910  asinlem2  26911  asinlem3a  26912  asinlem3  26913  asinf  26914  acosf  26916  atanf  26922  asinneg  26928  efiasin  26930  sinasin  26931  asinsin  26934  acoscos  26935  asinbnd  26941  cosasin  26946  atanneg  26949  atancj  26952  efiatan  26954  atanlogaddlem  26955  atanlogadd  26956  atanlogsublem  26957  atanlogsub  26958  efiatan2  26959  2efiatan  26960  cosatan  26963  atantan  26965  atanbndlem  26967  atans2  26973  dvatan  26977  atantayl  26979  atantayl2  26980  birthdaylem2  26994  scvxcvx  27027  basellem8  27129  1sgm2ppw  27241  logfacbnd3  27264  logfacrlim  27265  perfect1  27269  dchrsum2  27309  sumdchr2  27311  bposlem9  27333  lgsquad2  27427  addsq2reu  27481  rplogsumlem1  27525  dchrmusum2  27535  log2sumbnd  27585  pntrsumo1  27606  brbtwn2  29052  colinearalg  29057  axcgrid  29063  axsegconlem1  29064  ax5seglem1  29075  ax5seglem2  29076  ax5seglem3  29078  ax5seglem5  29080  ax5seglem9  29084  axbtwnid  29086  axeuclidlem  29109  axcontlem2  29112  axcontlem4  29114  axcontlem7  29117  axcontlem8  29118  crctcshwlkn0lem6  29961  eucrctshift  30391  hvmulcan2  31222  subfacp1lem6  35499  cvxsconn  35557  resconn  35560  sinccvglem  35986  sin2h  38073  tan2h  38075  itg2addnclem3  38136  ftc1anclem4  38159  ftc1anclem5  38160  ftc1anclem6  38161  ftc1anclem7  38162  ftc1anc  38164  dvasin  38167  dvacos  38168  lcmineqlem4  42613  lcmineqlem8  42617  rmspecsqrtnq  43447  jm2.17a  43501  acongeq  43524  jm2.27c  43548  lhe4.4ex1a  44869  dvconstbi  44874  abssubrp  45819  cnambpcma  47852