Theorem subcl 11479

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11471	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11470	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7377	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3357  ℩crio 7359  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11466

This theorem is referenced by:  negcl  11480  subf  11482  pncan3  11488  npcan  11489  addsubass  11490  addsub  11491  addsub12  11493  addsubeq4  11495  npncan  11502  nppcan  11503  nnpcan  11504  nppcan3  11505  subcan2  11506  subsub2  11509  subsub4  11514  nnncan  11516  nnncan1  11517  nnncan2  11518  npncan3  11519  addsub4  11524  subadd4  11525  peano2cnm  11547  subcli  11557  subcld  11592  subeqrev  11657  subdi  11668  subdir  11669  mulsub2  11679  recextlem1  11865  recex  11867  mulcan1g  11888  div2sub  12064  cju  12234  halfaddsubcl  12471  halfaddsub  12472  iccf1o  13511  modsumfzodifsn  13960  sersub  14061  sqsubswap  14133  subsq  14226  subsq2  14227  bcn2  14335  pfxccatin12lem1  14744  pfxccatin12lem2  14747  shftval2  15092  2shfti  15097  sqabssub  15300  abssub  15343  abs3dif  15348  abs2dif  15349  abs2difabs  15351  climuni  15566  cjcn2  15614  recn2  15615  imcn2  15616  o1sub  15630  climsub  15648  caucvgr  15690  iseralt  15699  fsum0diag2  15797  arisum2  15875  geoserg  15880  geolim  15884  geolim2  15885  georeclim  15886  geo2sum  15887  geoisum1c  15894  fallfacval2  16025  fallfacval3  16026  fallfaccl  16030  risefallfac  16038  fallfacp1  16044  0fallfac  16051  binomfallfaclem2  16054  bpoly2  16071  bpoly3  16072  fsumcube  16074  tanadd  16183  addsin  16186  fzocongeq  16341  odd2np1  16358  divalglem9  16418  phiprm  16794  pythagtriplem4  16837  pythagtriplem12  16844  pythagtriplem14  16846  pythagtriplem16  16848  fldivp1  16915  4sqlem19  16981  vdwapun  16992  vdwlem6  17004  xrsdsreclb  21379  cnmet  24708  icccvx  24897  reparphti  24945  reparphtiOLD  24946  pcorevlem  24975  cncmet  25272  dveflem  25933  dvef  25934  dv11cn  25956  coeeulem  26179  geolim3  26297  abelthlem2  26392  abelthlem7  26398  efimpi  26450  ptolemy  26455  tangtx  26464  abssinper  26480  cosne0  26488  tanregt0  26498  eflogeq  26561  logneg2  26574  advlogexp  26614  logtayl  26619  logtayl2  26621  ang180lem1  26769  ang180lem2  26770  ang180lem3  26771  lawcos  26776  pythag  26777  isosctrlem1  26778  isosctrlem2  26779  asinlem  26828  asinlem2  26829  asinlem3a  26830  asinlem3  26831  asinf  26832  acosf  26834  atanf  26840  asinneg  26846  efiasin  26848  sinasin  26849  asinsin  26852  acoscos  26853  asinbnd  26859  cosasin  26864  atanneg  26867  atancj  26870  efiatan  26872  atanlogaddlem  26873  atanlogadd  26874  atanlogsublem  26875  atanlogsub  26876  efiatan2  26877  2efiatan  26878  cosatan  26881  atantan  26883  atanbndlem  26885  atans2  26891  dvatan  26895  atantayl  26897  atantayl2  26898  birthdaylem2  26912  scvxcvx  26946  basellem8  27048  1sgm2ppw  27161  logfacbnd3  27184  logfacrlim  27185  perfect1  27189  dchrsum2  27229  sumdchr2  27231  bposlem9  27253  lgsquad2  27347  addsq2reu  27401  rplogsumlem1  27445  dchrmusum2  27455  log2sumbnd  27505  pntrsumo1  27526  brbtwn2  28830  colinearalg  28835  axcgrid  28841  axsegconlem1  28842  ax5seglem1  28853  ax5seglem2  28854  ax5seglem3  28856  ax5seglem5  28858  ax5seglem9  28862  axbtwnid  28864  axeuclidlem  28887  axcontlem2  28890  axcontlem4  28892  axcontlem7  28895  axcontlem8  28896  crctcshwlkn0lem6  29743  eucrctshift  30170  hvmulcan2  31000  subfacp1lem6  35153  cvxsconn  35211  resconn  35214  sinccvglem  35640  sin2h  37580  tan2h  37582  itg2addnclem3  37643  ftc1anclem4  37666  ftc1anclem5  37667  ftc1anclem6  37668  ftc1anclem7  37669  ftc1anc  37671  dvasin  37674  dvacos  37675  lcmineqlem4  41991  lcmineqlem8  41995  rmspecsqrtnq  42876  jm2.17a  42931  acongeq  42954  jm2.27c  42978  lhe4.4ex1a  44301  dvconstbi  44306  abssubrp  45252  cnambpcma  47271