Theorem subcl 11535

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11527	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11526	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7422	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2844	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3386  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  negcl  11536  subf  11538  pncan3  11544  npcan  11545  addsubass  11546  addsub  11547  addsub12  11549  addsubeq4  11551  npncan  11557  nppcan  11558  nnpcan  11559  nppcan3  11560  subcan2  11561  subsub2  11564  subsub4  11569  nnncan  11571  nnncan1  11572  nnncan2  11573  npncan3  11574  addsub4  11579  subadd4  11580  peano2cnm  11602  subcli  11612  subcld  11647  subeqrev  11712  subdi  11723  subdir  11724  mulsub2  11734  recextlem1  11920  recex  11922  mulcan1g  11943  div2sub  12119  cju  12289  halfaddsubcl  12525  halfaddsub  12526  iccf1o  13556  modsumfzodifsn  13995  sersub  14096  sqsubswap  14167  subsq  14259  subsq2  14260  bcn2  14368  pfxccatin12lem1  14776  pfxccatin12lem2  14779  shftval2  15124  2shfti  15129  sqabssub  15332  abssub  15375  abs3dif  15380  abs2dif  15381  abs2difabs  15383  climuni  15598  cjcn2  15646  recn2  15647  imcn2  15648  o1sub  15662  climsub  15680  caucvgr  15724  iseralt  15733  fsum0diag2  15831  arisum2  15909  geoserg  15914  geolim  15918  geolim2  15919  georeclim  15920  geo2sum  15921  geoisum1c  15928  fallfacval2  16059  fallfacval3  16060  fallfaccl  16064  risefallfac  16072  fallfacp1  16078  0fallfac  16085  binomfallfaclem2  16088  bpoly2  16105  bpoly3  16106  fsumcube  16108  tanadd  16215  addsin  16218  fzocongeq  16372  odd2np1  16389  divalglem9  16449  phiprm  16824  pythagtriplem4  16866  pythagtriplem12  16873  pythagtriplem14  16875  pythagtriplem16  16877  fldivp1  16944  4sqlem19  17010  vdwapun  17021  vdwlem6  17033  xrsdsreclb  21454  cnmet  24813  icccvx  25000  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  pcorevlem  25078  cncmet  25375  dveflem  26037  dvef  26038  dv11cn  26060  coeeulem  26283  geolim3  26399  abelthlem2  26494  abelthlem7  26500  efimpi  26551  ptolemy  26556  tangtx  26565  abssinper  26581  cosne0  26589  tanregt0  26599  eflogeq  26662  logneg2  26675  advlogexp  26715  logtayl  26720  logtayl2  26722  ang180lem1  26870  ang180lem2  26871  ang180lem3  26872  lawcos  26877  pythag  26878  isosctrlem1  26879  isosctrlem2  26880  asinlem  26929  asinlem2  26930  asinlem3a  26931  asinlem3  26932  asinf  26933  acosf  26935  atanf  26941  asinneg  26947  efiasin  26949  sinasin  26950  asinsin  26953  acoscos  26954  asinbnd  26960  cosasin  26965  atanneg  26968  atancj  26971  efiatan  26973  atanlogaddlem  26974  atanlogadd  26975  atanlogsublem  26976  atanlogsub  26977  efiatan2  26978  2efiatan  26979  cosatan  26982  atantan  26984  atanbndlem  26986  atans2  26992  dvatan  26996  atantayl  26998  atantayl2  26999  birthdaylem2  27013  scvxcvx  27047  basellem8  27149  1sgm2ppw  27262  logfacbnd3  27285  logfacrlim  27286  perfect1  27290  dchrsum2  27330  sumdchr2  27332  bposlem9  27354  lgsquad2  27448  addsq2reu  27502  rplogsumlem1  27546  dchrmusum2  27556  log2sumbnd  27606  pntrsumo1  27627  brbtwn2  28938  colinearalg  28943  axcgrid  28949  axsegconlem1  28950  ax5seglem1  28961  ax5seglem2  28962  ax5seglem3  28964  ax5seglem5  28966  ax5seglem9  28970  axbtwnid  28972  axeuclidlem  28995  axcontlem2  28998  axcontlem4  29000  axcontlem7  29003  axcontlem8  29004  crctcshwlkn0lem6  29848  eucrctshift  30275  hvmulcan2  31105  subfacp1lem6  35153  cvxsconn  35211  resconn  35214  sinccvglem  35640  sin2h  37570  tan2h  37572  itg2addnclem3  37633  ftc1anclem4  37656  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anc  37661  dvasin  37664  dvacos  37665  lcmineqlem4  41989  lcmineqlem8  41993  rmspecsqrtnq  42862  jm2.17a  42917  acongeq  42940  jm2.27c  42964  lhe4.4ex1a  44298  dvconstbi  44303  abssubrp  45190  cnambpcma  47209