Theorem subcl 10874

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 10866	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 10865	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7110	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2890	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3108  ℩crio 7092  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  negcl  10875  subf  10877  pncan3  10883  npcan  10884  addsubass  10885  addsub  10886  addsub12  10888  addsubeq4  10890  npncan  10896  nppcan  10897  nnpcan  10898  nppcan3  10899  subcan2  10900  subsub2  10903  subsub4  10908  nnncan  10910  nnncan1  10911  nnncan2  10912  npncan3  10913  addsub4  10918  subadd4  10919  peano2cnm  10941  subcli  10951  subcld  10986  subeqrev  11051  subdi  11062  subdir  11063  mulsub2  11073  recextlem1  11259  recex  11261  mulcan1g  11282  div2sub  11454  cju  11621  halfaddsubcl  11857  halfaddsub  11858  iccf1o  12874  modsumfzodifsn  13307  sersub  13409  sqsubswap  13479  subsq  13568  subsq2  13569  bcn2  13675  pfxccatin12lem1  14081  pfxccatin12lem2  14084  shftval2  14426  2shfti  14431  sqabssub  14635  abssub  14678  abs3dif  14683  abs2dif  14684  abs2difabs  14686  climuni  14901  cjcn2  14948  recn2  14949  imcn2  14950  o1sub  14964  climsub  14982  caucvgr  15024  iseralt  15033  fsum0diag2  15130  arisum2  15208  geoserg  15213  geolim  15218  geolim2  15219  georeclim  15220  geo2sum  15221  geoisum1c  15228  fallfacval2  15357  fallfacval3  15358  fallfaccl  15362  risefallfac  15370  fallfacp1  15376  0fallfac  15383  binomfallfaclem2  15386  bpoly2  15403  bpoly3  15404  fsumcube  15406  tanadd  15512  addsin  15515  fzocongeq  15666  odd2np1  15682  divalglem9  15742  phiprm  16104  pythagtriplem4  16146  pythagtriplem12  16153  pythagtriplem14  16155  pythagtriplem16  16157  fldivp1  16223  4sqlem19  16289  vdwapun  16300  vdwlem6  16312  xrsdsreclb  20138  cnmet  23377  icccvx  23555  reparphti  23602  pcorevlem  23631  cncmet  23926  dveflem  24582  dvef  24583  dv11cn  24604  coeeulem  24821  geolim3  24935  abelthlem2  25027  abelthlem7  25033  efimpi  25084  ptolemy  25089  tangtx  25098  abssinper  25113  cosne0  25121  tanregt0  25131  eflogeq  25193  logneg2  25206  advlogexp  25246  logtayl  25251  logtayl2  25253  ang180lem1  25395  ang180lem2  25396  ang180lem3  25397  lawcos  25402  pythag  25403  isosctrlem1  25404  isosctrlem2  25405  asinlem  25454  asinlem2  25455  asinlem3a  25456  asinlem3  25457  asinf  25458  acosf  25460  atanf  25466  asinneg  25472  efiasin  25474  sinasin  25475  asinsin  25478  acoscos  25479  asinbnd  25485  cosasin  25490  atanneg  25493  atancj  25496  efiatan  25498  atanlogaddlem  25499  atanlogadd  25500  atanlogsublem  25501  atanlogsub  25502  efiatan2  25503  2efiatan  25504  cosatan  25507  atantan  25509  atanbndlem  25511  atans2  25517  dvatan  25521  atantayl  25523  atantayl2  25524  birthdaylem2  25538  scvxcvx  25571  basellem8  25673  1sgm2ppw  25784  logfacbnd3  25807  logfacrlim  25808  perfect1  25812  dchrsum2  25852  sumdchr2  25854  bposlem9  25876  lgsquad2  25970  addsq2reu  26024  rplogsumlem1  26068  dchrmusum2  26078  log2sumbnd  26128  pntrsumo1  26149  brbtwn2  26699  colinearalg  26704  axcgrid  26710  axsegconlem1  26711  ax5seglem1  26722  ax5seglem2  26723  ax5seglem3  26725  ax5seglem5  26727  ax5seglem9  26731  axbtwnid  26733  axeuclidlem  26756  axcontlem2  26759  axcontlem4  26761  axcontlem7  26764  axcontlem8  26765  crctcshwlkn0lem6  27601  eucrctshift  28028  hvmulcan2  28856  subfacp1lem6  32545  cvxsconn  32603  resconn  32606  sinccvglem  33028  sin2h  35047  tan2h  35049  itg2addnclem3  35110  ftc1anclem4  35133  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem6  35135  ftc1anclem7  35136  ftc1anc  35138  dvasin  35141  dvacos  35142  lcmineqlem4  39320  lcmineqlem8  39324  rmspecsqrtnq  39847  jm2.17a  39901  acongeq  39924  jm2.27c  39948  lhe4.4ex1a  41033  dvconstbi  41038  abssubrp  41906  cnambpcma  43851