Theorem subcl 11484

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11475	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7391	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3365  ℩crio 7373  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  negcl  11485  subf  11487  pncan3  11493  npcan  11494  addsubass  11495  addsub  11496  addsub12  11498  addsubeq4  11500  npncan  11507  nppcan  11508  nnpcan  11509  nppcan3  11510  subcan2  11511  subsub2  11514  subsub4  11519  nnncan  11521  nnncan1  11522  nnncan2  11523  npncan3  11524  addsub4  11529  subadd4  11530  peano2cnm  11552  subcli  11562  subcld  11597  subeqrev  11664  subdi  11675  subdir  11676  mulsub2  11686  recextlem1  11872  recex  11874  mulcan1g  11895  div2sub  12068  cju  12242  halfaddsubcl  12504  halfaddsub  12505  iccf1o  13553  modsumfzodifsn  14012  sersub  14113  sqsubswap  14185  subsq  14278  subsq2  14279  bcn2  14387  pfxccatin12lem1  14801  pfxccatin12lem2  14804  shftval2  15152  2shfti  15157  sqabssub  15374  abssub  15418  abs3dif  15423  abs2dif  15424  abs2difabs  15426  climuni  15643  cjcn2  15691  recn2  15692  imcn2  15693  o1sub  15707  climsub  15725  caucvgr  15767  iseralt  15776  fsum0diag2  15873  arisum2  15954  geoserg  15959  geolim  15963  geolim2  15964  georeclim  15965  geo2sum  15966  geoisum1c  15973  fallfacval2  16104  fallfacval3  16105  fallfaccl  16109  risefallfac  16117  fallfacp1  16122  0fallfac  16129  binomfallfaclem2  16132  bpoly2  16149  bpoly3  16150  fsumcube  16152  tanadd  16261  addsin  16264  fzocongeq  16420  odd2np1  16437  divalglem9  16497  phiprm  16874  pythagtriplem4  16917  pythagtriplem12  16924  pythagtriplem14  16926  pythagtriplem16  16928  fldivp1  16995  4sqlem19  17061  vdwapun  17072  vdwlem6  17084  xrsdsreclb  21633  cnmet  25003  icccvx  25184  reparphti  25231  pcorevlem  25260  cncmet  25556  dveflem  26213  dvef  26214  dv11cn  26235  coeeulem  26457  geolim3  26582  abelthlem2  26675  abelthlem7  26681  efimpi  26736  ptolemy  26741  tangtx  26750  abssinper  26766  cosne0  26774  tanregt0  26784  eflogeq  26847  logneg2  26860  advlogexp  26900  logtayl  26905  logtayl2  26907  ang180lem1  27054  ang180lem2  27055  ang180lem3  27056  lawcos  27061  pythag  27062  isosctrlem1  27063  isosctrlem2  27064  asinlem  27113  asinlem2  27114  asinlem3a  27115  asinlem3  27116  asinf  27117  acosf  27119  atanf  27125  asinneg  27131  efiasin  27133  sinasin  27134  asinsin  27137  acoscos  27138  asinbnd  27144  cosasin  27149  atanneg  27152  atancj  27155  efiatan  27157  atanlogaddlem  27158  atanlogadd  27159  atanlogsublem  27160  atanlogsub  27161  efiatan2  27162  2efiatan  27163  cosatan  27166  atantan  27168  atanbndlem  27170  atans2  27176  dvatan  27180  atantayl  27182  atantayl2  27183  birthdaylem2  27197  scvxcvx  27230  basellem8  27332  1sgm2ppw  27444  logfacbnd3  27467  logfacrlim  27468  perfect1  27472  dchrsum2  27512  sumdchr2  27514  bposlem9  27536  lgsquad2  27630  addsq2reu  27684  rplogsumlem1  27728  dchrmusum2  27738  log2sumbnd  27788  pntrsumo1  27809  brbtwn2  29370  colinearalg  29375  axcgrid  29381  axsegconlem1  29382  ax5seglem1  29393  ax5seglem2  29394  ax5seglem3  29396  ax5seglem5  29398  ax5seglem9  29402  axbtwnid  29404  axeuclidlem  29427  axcontlem2  29430  axcontlem4  29432  axcontlem7  29435  axcontlem8  29436  crctcshwlkn0lem6  30291  eucrctshift  30731  hvmulcan2  31562  subfacp1lem6  35772  cvxsconn  35830  resconn  35833  sinccvglem  36259  sin2h  38372  tan2h  38374  itg2addnclem3  38430  ftc1anclem4  38453  ftc1anclem5  38454  ftc1anclem6  38455  ftc1anclem7  38456  ftc1anc  38458  dvasin  38461  dvacos  38462  lcmineqlem4  42906  lcmineqlem8  42910  rmspecsqrtnq  43755  jm2.17a  43809  acongeq  43832  jm2.27c  43856  lhe4.4ex1a  45161  dvconstbi  45166  abssubrp  46117  cnambpcma  48190