Theorem subcl 11559

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11551	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 11550	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7394	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃!wreu 3363  ℩crio 7376  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  negcl  11560  subf  11562  pncan3  11568  npcan  11569  addsubass  11570  addsub  11571  addsub12  11573  addsubeq4  11575  npncan  11582  nppcan  11583  nnpcan  11584  nppcan3  11585  subcan2  11586  subsub2  11589  subsub4  11594  nnncan  11596  nnncan1  11597  nnncan2  11598  npncan3  11599  addsub4  11604  subadd4  11605  peano2cnm  11627  subcli  11637  subcld  11672  subeqrev  11741  subdi  11752  subdir  11753  mulsub2  11763  recextlem1  11949  recex  11951  mulcan1g  11972  div2sub  12145  cju  12319  halfaddsubcl  12581  halfaddsub  12582  iccf1o  13630  modsumfzodifsn  14090  sersub  14191  sqsubswap  14263  subsq  14357  subsq2  14358  bcn2  14466  pfxccatin12lem1  14881  pfxccatin12lem2  14884  shftval2  15233  2shfti  15238  sqabssub  15455  abssub  15499  abs3dif  15504  abs2dif  15505  abs2difabs  15507  climuni  15724  cjcn2  15772  recn2  15773  imcn2  15774  o1sub  15788  climsub  15806  caucvgr  15848  iseralt  15857  fsum0diag2  15954  geoserg  16040  geolim  16044  geolim2  16045  georeclim  16046  geo2sum  16047  geoisum1c  16054  fallfacval2  16183  fallfacval3  16184  fallfaccl  16188  risefallfac  16196  fallfacp1  16201  0fallfac  16208  binomfallfaclem2  16211  bpoly2  16228  bpoly3  16229  fsumcube  16231  tanadd  16340  addsin  16343  fzocongeq  16499  odd2np1  16516  divalglem9  16576  phiprm  16959  pythagtriplem4  17002  pythagtriplem12  17009  pythagtriplem14  17011  pythagtriplem16  17013  fldivp1  17080  4sqlem19  17146  vdwapun  17157  vdwlem6  17169  xrsdsreclb  21725  cnmet  25095  icccvx  25276  reparphti  25323  pcorevlem  25352  cncmet  25648  dveflem  26304  dvef  26305  dv11cn  26326  coeeulem  26548  geolim3  26671  abelthlem2  26764  abelthlem7  26770  efimpi  26825  ptolemy  26830  tangtx  26839  abssinper  26854  cosne0  26862  tanregt0  26872  eflogeq  26935  logneg2  26948  advlogexp  26988  logtayl  26993  logtayl2  26995  ang180lem1  27142  ang180lem2  27143  ang180lem3  27144  lawcos  27149  pythag  27150  isosctrlem1  27151  isosctrlem2  27152  asinlem  27201  asinlem2  27202  asinlem3a  27203  asinlem3  27204  asinf  27205  acosf  27207  atanf  27213  asinneg  27219  efiasin  27221  sinasin  27222  asinsin  27225  acoscos  27226  asinbnd  27232  cosasin  27237  atanneg  27240  atancj  27243  efiatan  27245  atanlogaddlem  27246  atanlogadd  27247  atanlogsublem  27248  atanlogsub  27249  efiatan2  27250  2efiatan  27251  cosatan  27254  atantan  27256  atanbndlem  27258  atans2  27264  dvatan  27268  atantayl  27270  atantayl2  27271  birthdaylem2  27285  scvxcvx  27318  basellem8  27420  1sgm2ppw  27532  logfacbnd3  27555  logfacrlim  27556  perfect1  27560  dchrsum2  27600  sumdchr2  27602  bposlem9  27624  lgsquad2  27718  addsq2reu  27772  rplogsumlem1  27816  dchrmusum2  27826  log2sumbnd  27876  pntrsumo1  27897  brbtwn2  29488  colinearalg  29493  axcgrid  29499  axsegconlem1  29500  ax5seglem1  29511  ax5seglem2  29512  ax5seglem3  29514  ax5seglem5  29516  ax5seglem9  29520  axbtwnid  29522  axeuclidlem  29545  axcontlem2  29548  axcontlem4  29550  axcontlem7  29553  axcontlem8  29554  crctcshwlkn0lem6  30409  eucrctshift  30849  hvmulcan2  31680  subfacp1lem6  36036  cvxsconn  36094  resconn  36097  sinccvglem  36523  sin2h  38626  tan2h  38628  itg2addnclem3  38684  ftc1anclem4  38707  ftc1anclem5  38708  ftc1anclem6  38709  ftc1anclem7  38710  ftc1anc  38712  dvasin  38715  dvacos  38716  lcmineqlem4  43175  lcmineqlem8  43179  rmspecsqrtnq  44006  jm2.17a  44060  acongeq  44083  jm2.27c  44107  lhe4.4ex1a  45406  dvconstbi  45411  abssubrp  46385  cnambpcma  48457