MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sub32d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sub32d 11545
Description: Swap the second and third terms in a double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sub32d (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) − 𝐵))

Proof of Theorem sub32d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 sub32 11436 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) − 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) − 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  mulsubaddmulsub  11620  hashfzo  14330  lswccatn0lsw  14480  revccat  14655  repswrevw  14676  isercolllem1  15550  iseralt  15570  pwdif  15754  prmdiv  16658  fldivp1  16770  efgredleme  19526  cphipval  24610  dvexp3  25345  dvfsumlem2  25394  isosctrlem2  26172  harmonicbnd4  26363  logfacrlim  26575  logexprlim  26576  lgsquadlem1  26731  rpvmasumlem  26838  dchrisumlem1  26840  mulog2sumlem3  26887  vmalogdivsum  26890  selberg2lem  26901  selberg2  26902  selberg4  26912  brbtwn2  27857  colinearalglem2  27859  colinearalglem4  27861  ipval2  29652  cycpmco2lem5  31982  revpfxsfxrev  33712  revwlk  33721  bj-bary1lem  35784  lsubcom23d  40796  fltnltalem  41003  jm3.1lem1  41344  jm3.1lem2  41345  fourierdlem42  44397  fourierdlem89  44443  fourierdlem90  44444  fourierdlem91  44445  sigarperm  45108  m1modmmod  46614  eenglngeehlnmlem2  46831  2itscplem3  46873
  Copyright terms: Public domain W3C validator