Theorem sub32d 11679

Description: Swap the second and third terms in a double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sub32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))

Proof of Theorem sub32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		sub32 11570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  mulsubaddmulsub  11754  hashfzo  14478  lswccatn0lsw  14639  revccat  14814  repswrevw  14835  isercolllem1  15713  iseralt  15733  pwdif  15916  prmdiv  16832  fldivp1  16944  efgredleme  19785  cphipval  25296  dvexp3  26036  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  isosctrlem2  26880  harmonicbnd4  27072  logfacrlim  27286  logexprlim  27287  lgsquadlem1  27442  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem1  27551  mulog2sumlem3  27598  vmalogdivsum  27601  selberg2lem  27612  selberg2  27613  selberg4  27623  brbtwn2  28938  colinearalglem2  28940  colinearalglem4  28942  ipval2  30739  cycpmco2lem5  33123  constrrtcc  33726  revpfxsfxrev  35083  revwlk  35092  bj-bary1lem  37276  lsubswap23d  42268  fltnltalem  42617  jm3.1lem1  42974  jm3.1lem2  42975  fourierdlem42  46070  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  sigarperm  46781  m1modmmod  48255  eenglngeehlnmlem2  48472  2itscplem3  48514