Theorem sub32d 11525

Description: Swap the second and third terms in a double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sub32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))

Proof of Theorem sub32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		sub32 11416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11545  mulsubaddmulsub  11602  hashfzo  14354  lswccatn0lsw  14516  revccat  14690  repswrevw  14711  isercolllem1  15590  iseralt  15610  pwdif  15793  prmdiv  16714  fldivp1  16827  efgredleme  19640  cphipval  25159  dvexp3  25898  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  isosctrlem2  26745  harmonicbnd4  26937  logfacrlim  27151  logexprlim  27152  lgsquadlem1  27307  rpvmasumlem  27414  dchrisumlem1  27416  mulog2sumlem3  27463  vmalogdivsum  27466  selberg2lem  27477  selberg2  27478  selberg4  27488  brbtwn2  28868  colinearalglem2  28870  colinearalglem4  28872  ipval2  30669  cycpmco2lem5  33085  constrrtcc  33701  revpfxsfxrev  35088  revwlk  35097  bj-bary1lem  37283  fltnltalem  42635  jm3.1lem1  42990  jm3.1lem2  42991  fourierdlem42  46131  fourierdlem89  46177  fourierdlem90  46178  fourierdlem91  46179  sigarperm  46842  m1modmmod  47343  eenglngeehlnmlem2  48724  2itscplem3  48766