Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2 48095

Description: Lemma 2 for pgnbgreunbgrlem2 48097. (Contributed by AV, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem2lem2	⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable group:   𝑦,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑦,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑏)   𝐾(𝑦,𝑏)   𝐿(𝑦,𝑏)   𝑁(𝑦,𝑏)   𝑉(𝑦,𝑏)   𝑋(𝑦,𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12848	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48072	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		c0ex 11174	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 7978	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 48044	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)))
15		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	op1st 7978	. . . . . . . . 9 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0
17	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 48044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
18	3, 16, 17	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
19		1ex 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
20		ovex 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
21	19, 20	opth 5438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)))
22		ax-1ne0 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
23		eqneqall 2937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
24	22, 23	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	21, 25	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	19, 20	opth 5438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)))
28	4, 15	op2nd 7979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) = 𝑏
29	28	eqeq2i 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏)
30		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏 ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
31	29, 30	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
32	4, 5	op2nd 7979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) = 𝑦
33	32	oveq1i 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) = (𝑦 + 1)
34	33	oveq1i 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)
35	34	opeq2i 4843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩
36	35	eqeq2i 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩)
37	4, 15	opth 5438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
38	36, 37	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
39		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
41		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
43		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℤ)
44		2z 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℤ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℤ)
46	43, 45	zsubcld 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 2) ∈ ℤ)
47	43	peano2zd 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
48		5nn 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 5 ∈ ℕ)
50		difmod0 16263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
52	43	zcnd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℂ)
53		2cnd 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℂ)
54		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 52, 54	subsubadd23 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)))
56	52	subidd 11527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 𝑦) = 0)
57		2p1e3 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (2 + 1) = 3)
59	56, 58	oveq12d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = (0 − 3))
60		df-neg 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -3 = (0 − 3)
61	59, 60	eqtr4di 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = -3)
62	55, 61	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = -3)
63	62	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = (-3 mod 5))
64	63	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0))
65	42, 51, 64	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (-3 mod 5) = 0))
66		3re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℝ
67		5rp 12964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℝ+
68		negmod0 13846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) → ((3 mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0))
69	66, 67, 68	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0)
70		0re 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		3pos 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < 3
72	70, 66, 71	ltleii 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ≤ 3
73		3lt5 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 < 5
74		modid 13864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 5)) → (3 mod 5) = 3)
75	66, 67, 72, 73, 74	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (3 mod 5) = 3
76	75	eqeq1i 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
77	69, 76	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
78		3ne0 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
79		eqneqall 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 = 0 → (3 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
80	78, 79	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
81	77, 80	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-3 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
82	65, 81	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
83	82	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
84	40, 83	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
85	84	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
86	38, 85	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
87	4, 15	opth 5438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)))
88		0ne1 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≠ 1
89		eqneqall 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))))
90	88, 89	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
92	87, 91	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
93	32	oveq1i 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) = (𝑦 − 1)
94	93	oveq1i 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5) = ((𝑦 − 1) mod 5)
95	94	opeq2i 4843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩
96	95	eqeq2i 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)
97	4, 15	opth 5438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5)))
98		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
100		1zzd 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℤ)
101	43, 100	zsubcld 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
102		difmod0 16263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
103	102	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
104	101, 46, 49, 103	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
105	52, 54, 53	nnncan1d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = (2 − 1))
106		2m1e1 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
107	105, 106	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = 1)
108	107	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = (1 mod 5))
109	108	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ (1 mod 5) = 0))
110		1re 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
111		0le1 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 1
112		1lt5 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 5
113		modid 13864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 5)) → (1 mod 5) = 1)
114	110, 67, 111, 112, 113	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 mod 5) = 1
115	114	eqeq1i 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 mod 5) = 0 ↔ 1 = 0)
116		eqneqall 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
117	22, 116	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
118	115, 117	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
119	109, 118	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
120	104, 119	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
121	120	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
122	99, 121	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
123	122	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
124	97, 123	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
125	96, 124	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
126	86, 92, 125	3jaoi 1430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
127	126	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
128	127	impd 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
129	31, 128	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
130	27, 129	simplbiim 504	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
131	19, 20	opth 5438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)))
132	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
133	131, 132	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
134	26, 130, 133	3jaoi 1430	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
135	18, 134	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
136		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
137	135, 136	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
138	137	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
139	14, 138	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
140	139	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
141		preq1 4699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩})
142	141	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
143	142	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
144		preq2 4700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
145	144	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
146	145	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
147	146	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
148	143, 147	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
149	148	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
150	140, 149	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
151	150	imp 406	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  3c3 12243  5c5 12245  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ℝ⁺crp 12957  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759   mod cmo 13837  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980   NeighbVtx cnbgr 29265   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-hash 14302  df-dvds 16229  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-umgr 29016  df-usgr 29084  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem2  48097