Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2 48591

Description: Lemma 2 for pgnbgreunbgrlem2 48593. (Contributed by AV, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem2lem2	⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable group:   𝑦,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑦,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑏)   𝐾(𝑦,𝑏)   𝐿(𝑦,𝑏)   𝑁(𝑦,𝑏)   𝑉(𝑦,𝑏)   𝑋(𝑦,𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12833	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48567	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5		vex 3433	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 7950	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 48539	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)))
15		vex 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	op1st 7950	. . . . . . . . 9 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0
17	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 48539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
18	3, 16, 17	mp3an12 1454	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
19		1ex 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
20		ovex 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
21	19, 20	opth 5429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)))
22		ax-1ne0 11107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
23		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
24	22, 23	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	21, 25	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	19, 20	opth 5429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)))
28	4, 15	op2nd 7951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) = 𝑏
29	28	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏)
30		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏 ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
31	29, 30	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
32	4, 5	op2nd 7951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) = 𝑦
33	32	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) = (𝑦 + 1)
34	33	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)
35	34	opeq2i 4820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩
36	35	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩)
37	4, 15	opth 5429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
38	36, 37	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
39		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
41		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
43		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℤ)
44		2z 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℤ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℤ)
46	43, 45	zsubcld 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 2) ∈ ℤ)
47	43	peano2zd 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
48		5nn 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 5 ∈ ℕ)
50		difmod0 16256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
52	43	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℂ)
53		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℂ)
54		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 52, 54	subsubadd23 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)))
56	52	subidd 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 𝑦) = 0)
57		2p1e3 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (2 + 1) = 3)
59	56, 58	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = (0 − 3))
60		df-neg 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -3 = (0 − 3)
61	59, 60	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = -3)
62	55, 61	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = -3)
63	62	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = (-3 mod 5))
64	63	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0))
65	42, 51, 64	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (-3 mod 5) = 0))
66		3re 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℝ
67		5rp 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℝ+
68		negmod0 13837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) → ((3 mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0))
69	66, 67, 68	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0)
70		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		3pos 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < 3
72	70, 66, 71	ltleii 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ≤ 3
73		3lt5 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 < 5
74		modid 13855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 5)) → (3 mod 5) = 3)
75	66, 67, 72, 73, 74	mp4an 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (3 mod 5) = 3
76	75	eqeq1i 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
77	69, 76	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
78		3ne0 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
79		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 = 0 → (3 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
80	78, 79	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
81	77, 80	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-3 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
82	65, 81	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
83	82	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
84	40, 83	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
85	84	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
86	38, 85	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
87	4, 15	opth 5429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)))
88		0ne1 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≠ 1
89		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))))
90	88, 89	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
92	87, 91	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
93	32	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) = (𝑦 − 1)
94	93	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5) = ((𝑦 − 1) mod 5)
95	94	opeq2i 4820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩
96	95	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)
97	4, 15	opth 5429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5)))
98		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
100		1zzd 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℤ)
101	43, 100	zsubcld 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
102		difmod0 16256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
103	102	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
104	101, 46, 49, 103	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
105	52, 54, 53	nnncan1d 11539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = (2 − 1))
106		2m1e1 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
107	105, 106	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = 1)
108	107	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = (1 mod 5))
109	108	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ (1 mod 5) = 0))
110		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
111		0le1 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 1
112		1lt5 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 5
113		modid 13855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 5)) → (1 mod 5) = 1)
114	110, 67, 111, 112, 113	mp4an 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 mod 5) = 1
115	114	eqeq1i 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 mod 5) = 0 ↔ 1 = 0)
116		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
117	22, 116	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
118	115, 117	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
119	109, 118	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
120	104, 119	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
121	120	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
122	99, 121	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
123	122	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
124	97, 123	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
125	96, 124	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
126	86, 92, 125	3jaoi 1431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
127	126	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
128	127	impd 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
129	31, 128	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
130	27, 129	simplbiim 504	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
131	19, 20	opth 5429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)))
132	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
133	131, 132	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
134	26, 130, 133	3jaoi 1431	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
135	18, 134	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
136		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
137	135, 136	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
138	137	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
139	14, 138	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
140	139	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
141		preq1 4677	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩})
142	141	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
143	142	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
144		preq2 4678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
145	144	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
146	145	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
147	146	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
148	143, 147	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
149	148	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
150	140, 149	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
151	150	imp 406	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {cpr 4569  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  5c5 12239  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  ..^cfzo 13608  ⌈cceil 13750   mod cmo 13828  Vtxcvtx 29065  Edgcedg 29116   NeighbVtx cnbgr 29401   gPetersenGr cgpg 48516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-ceil 13752  df-mod 13829  df-hash 14293  df-dvds 16222  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-edgf 29058  df-vtx 29067  df-iedg 29068  df-edg 29117  df-umgr 29152  df-usgr 29220  df-gpg 48517

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem2  48593