Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2 48908

Description: Lemma 2 for pgnbgreunbgrlem2 48910. (Contributed by AV, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem2lem2	⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable group:   𝑦,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑦, 𝑏)   𝐺(𝑦, 𝑏)   𝐾(𝑦, 𝑏)   𝐿(𝑦, 𝑏)   𝑁(𝑦, 𝑏)   𝑉(𝑦, 𝑏)   𝑋(𝑦, 𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12913	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48884	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		c0ex 11206	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 7992	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0
7		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 48856	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1493	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
14	13	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)))
15		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	op1st 7992	. . . . . . . . 9 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0
17	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 48856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
18	3, 16, 17	mp3an12 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
19		1ex 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
20		ovex 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
21	19, 20	opth 5457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)))
22		ax-1ne0 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
23		eqneqall 2968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
24	22, 23	mpi 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	21, 25	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	19, 20	opth 5457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)))
28	4, 15	op2nd 7993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) = 𝑏
29	28	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏)
30		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏 ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
31	29, 30	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
32	4, 5	op2nd 7993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) = 𝑦
33	32	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) = (𝑦 + 1)
34	33	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)
35	34	opeq2i 4841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩
36	35	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩)
37	4, 15	opth 5457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
38	36, 37	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
39		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
41		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
43		elfzoelz 13694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℤ)
44		2z 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℤ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℤ)
46	43, 45	zsubcld 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 2) ∈ ℤ)
47	43	peano2zd 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
48		5nn 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 5 ∈ ℕ)
50		difmod0 16351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
52	43	zcnd 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℂ)
53		2cnd 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℂ)
54		1cnd 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 52, 54	subsubadd23 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)))
56	52	subidd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 𝑦) = 0)
57		2p1e3 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (2 + 1) = 3)
59	56, 58	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = (0 − 3))
60		df-neg 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -3 = (0 − 3)
61	59, 60	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = -3)
62	55, 61	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = -3)
63	62	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = (-3 mod 5))
64	63	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0))
65	42, 51, 64	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (-3 mod 5) = 0))
66		3re 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℝ
67		5rp 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℝ+
68		negmod0 13918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) → ((3 mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0))
69	66, 67, 68	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ (-3 mod 5) = 0)
70		0re 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		3pos 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < 3
72	70, 66, 71	ltleii 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ≤ 3
73		3lt5 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 < 5
74		modid 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 5)) → (3 mod 5) = 3)
75	66, 67, 72, 73, 74	mp4an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (3 mod 5) = 3
76	75	eqeq1i 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
77	69, 76	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
78		3ne0 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
79		eqneqall 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 = 0 → (3 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
80	78, 79	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
81	77, 80	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-3 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
82	65, 81	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
83	82	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
84	40, 83	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
85	84	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
86	38, 85	simplbiim 513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
87	4, 15	opth 5457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)))
88		0ne1 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≠ 1
89		eqneqall 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))))
90	88, 89	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
91	90	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
92	87, 91	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
93	32	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) = (𝑦 − 1)
94	93	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5) = ((𝑦 − 1) mod 5)
95	94	opeq2i 4841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩
96	95	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)
97	4, 15	opth 5457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5)))
98		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
99	98	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
100		1zzd 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℤ)
101	43, 100	zsubcld 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
102		difmod0 16351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
103	102	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
104	101, 46, 49, 103	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
105	52, 54, 53	nnncan1d 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = (2 − 1))
106		2m1e1 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
107	105, 106	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = 1)
108	107	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = (1 mod 5))
109	108	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ (1 mod 5) = 0))
110		1re 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
111		0le1 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 1
112		1lt5 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 5
113		modid 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 5)) → (1 mod 5) = 1)
114	110, 67, 111, 112, 113	mp4an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 mod 5) = 1
115	114	eqeq1i 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 mod 5) = 0 ↔ 1 = 0)
116		eqneqall 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
117	22, 116	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
118	115, 117	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
119	109, 118	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
120	104, 119	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
121	120	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
122	99, 121	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
123	122	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
124	97, 123	simplbiim 513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
125	96, 124	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
126	86, 92, 125	3jaoi 1453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
127	126	com13 89	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
128	127	impd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
129	31, 128	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
130	27, 129	simplbiim 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
131	19, 20	opth 5457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)))
132	24	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
133	131, 132	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
134	26, 130, 133	3jaoi 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
135	18, 134	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
136		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
137	135, 136	pm2.61i 184	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
138	137	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
139	14, 138	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
140	139	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
141		preq1 4698	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩})
142	141	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
143	142	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
144		preq2 4699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
145	144	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
146	145	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
147	146	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
148	143, 147	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
149	148	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
150	140, 149	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
151	150	imp 411	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1101   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {cpr 4590  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  -cneg 11448   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  5c5 12304  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ℝ⁺crp 13022  ..^cfzo 13689  ⌈cceil 13831   mod cmo 13909  Vtxcvtx 29357  Edgcedg 29408   NeighbVtx cnbgr 29693   gPetersenGr cgpg 48833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-mod 13910  df-hash 14374  df-dvds 16317  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-edgf 29350  df-vtx 29359  df-iedg 29360  df-edg 29409  df-umgr 29444  df-usgr 29512  df-gpg 48834

This theorem is used by:  pgnbgreunbgrlem2  48910