Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2 49320

Description: Lemma 2 for pgnbgreunbgrlem2 49322. (Contributed by AV, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnbgreunbgr.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnbgreunbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
pgnbgreunbgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
pgnbgreunbgr.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
pgnbgreunbgrlem2lem2	⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

Distinct variable group:   𝑦,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑦, 𝑏)   𝐺(𝑦, 𝑏)   𝐾(𝑦, 𝑏)   𝐿(𝑦, 𝑏)   𝑁(𝑦, 𝑏)   𝑉(𝑦, 𝑏)   𝑋(𝑦, 𝑏)

Proof of Theorem pgnbgreunbgrlem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 13015	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 49296	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		c0ex 11305	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	op1st 8011	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnbgreunbgr.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		pgnbgreunbgr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		pgnbgreunbgr.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 49268	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑦⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1494	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩))
14	13	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)))
15		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
16	4, 15	op1st 8011	. . . . . . . . 9 ⊢ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0
17	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg0 49268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨0, 𝑏⟩) = 0 ∧ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
18	3, 16, 17	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩))
19		1ex 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
20		ovex 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 2) mod 5) ∈ V
21	19, 20	opth 5444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)))
22		ax-1ne0 11274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
23		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
24	22, 23	mpi 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 0 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
26	21, 25	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
27	19, 20	opth 5444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)))
28	4, 15	op2nd 8012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) = 𝑏
29	28	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏)
30		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = 𝑏 ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
31	29, 30	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) ↔ 𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5))
32	4, 5	op2nd 8012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) = 𝑦
33	32	oveq1i 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) = (𝑦 + 1)
34	33	oveq1i 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)
35	34	opeq2i 4843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩
36	35	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩)
37	4, 15	opth 5444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
38	36, 37	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5)))
39		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
41		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5))
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
43		elfzoelz 13798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℤ)
44		2z 12733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℤ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℤ)
46	43, 45	zsubcld 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 2) ∈ ℤ)
47	43	peano2zd 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
48		5nn 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 5 ∈ ℕ)
50		difmod0 16464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 2) mod 5) = ((𝑦 + 1) mod 5)))
52	43	zcnd 12809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 𝑦 ∈ ℂ)
53		2cnd 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 2 ∈ ℂ)
54		1cnd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 52, 54	subsubadd23 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)))
56	52	subidd 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 𝑦) = 0)
57		2p1e3 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (2 + 1) = 3)
59	56, 58	oveq12d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = (0 − 3))
60		df-neg 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -3 = (0 − 3)
61	59, 60	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 𝑦) − (2 + 1)) = -3)
62	55, 61	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) = -3)
63	62	oveq1d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = ( -3 mod 5))
64	63	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 2) − (𝑦 + 1)) mod 5) = 0 ↔ ( -3 mod 5) = 0))
65	42, 51, 64	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ( -3 mod 5) = 0))
66		3re 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℝ
67		5rp 13132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 5 ∈ ℝ+
68		negmod0 14023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) → ((3 mod 5) = 0 ↔ ( -3 mod 5) = 0))
69	66, 67, 68	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ ( -3 mod 5) = 0)
70		0re 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
71		3pos 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < 3
72	70, 66, 71	ltleii 11438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ≤ 3
73		3lt5 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 < 5
74		modid 14041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 5)) → (3 mod 5) = 3)
75	66, 67, 72, 73, 74	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (3 mod 5) = 3
76	75	eqeq1i 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
77	69, 76	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( -3 mod 5) = 0 ↔ 3 = 0)
78		3ne0 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
79		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 = 0 → (3 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
80	78, 79	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
81	77, 80	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (( -3 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
82	65, 81	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
83	82	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
84	40, 83	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
85	84	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 + 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
86	38, 85	simplbiim 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
87	4, 15	opth 5444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)))
88		0ne1 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≠ 1
89		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))))
90	88, 89	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = 1 → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
91	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 = 1 ∧ 𝑏 = (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
92	87, 91	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
93	32	oveq1i 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) = (𝑦 − 1)
94	93	oveq1i 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5) = ((𝑦 − 1) mod 5)
95	94	opeq2i 4843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩
96	95	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩)
97	4, 15	opth 5444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ 𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5)))
98		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
99	98	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
100		1zzd 12732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → 1 ∈ ℤ)
101	43, 100	zsubcld 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
102		difmod0 16464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ ((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5)))
103	102	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 2) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℕ) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
104	101, 46, 49, 103	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) ↔ (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0))
105	52, 54, 53	nnncan1d 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = (2 − 1))
106		2m1e1 12472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
107	105, 106	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) = 1)
108	107	oveq1d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = (1 mod 5))
109	108	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 ↔ (1 mod 5) = 0))
110		1re 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
111		0le1 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 1
112		1lt5 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 5
113		modid 14041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 5)) → (1 mod 5) = 1)
114	110, 67, 111, 112, 113	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 mod 5) = 1
115	114	eqeq1i 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 mod 5) = 0 ↔ 1 = 0)
116		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
117	22, 116	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
118	115, 117	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
119	109, 118	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((((𝑦 − 1) − (𝑦 − 2)) mod 5) = 0 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
120	104, 119	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
121	120	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (((𝑦 − 1) mod 5) = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
122	99, 121	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
123	122	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 1) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
124	97, 123	simplbiim 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
125	96, 124	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩ → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
126	86, 92, 125	3jaoi 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
127	126	com13 89	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
128	127	impd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑦 − 2) mod 5) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
129	31, 128	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 − 2) mod 5) = (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
130	27, 129	simplbiim 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
131	19, 20	opth 5444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)))
132	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑦 − 2) mod 5) = (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
133	131, 132	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩ → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
134	26, 130, 133	3jaoi 1454	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑏⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑏⟩) − 1) mod 5)⟩) → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
135	18, 134	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
136		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
137	135, 136	pm2.61i 184	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) ∧ (⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩)) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
138	137	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) + 1) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨1, (2nd ‘⟨0, 𝑦⟩)⟩ ∨ ⟨0, 𝑏⟩ = ⟨0, (((2nd ‘⟨0, 𝑦⟩) − 1) mod 5)⟩) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
139	14, 138	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
140	139	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
141		preq1 4690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩})
142	141	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
143	142	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸))
144		preq2 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} = {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩})
145	144	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → ({⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
146	145	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
147	146	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
148	143, 147	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
149	148	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → (({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)))
150	140, 149	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) → ({𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸))
151	150	imp 412	1 ⊢ ((((𝐿 = ⟨1, ((𝑦 − 2) mod 5)⟩ ∧ 𝐾 = ⟨0, 𝑦⟩) ∧ (𝑏 ∈ (0..^5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5))) ∧ {𝐾, ⟨0, 𝑏⟩} ∈ 𝐸) → ¬ {⟨0, 𝑏⟩, 𝐿} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  1^st c1st 8001  2^nd c2nd 8002  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  ℕcn 12340  2c2 12402  3c3 12403  5c5 12405  ℤcz 12698  ℤ_≥cuz 12970  ℝ⁺crp 13125  ..^cfzo 13793  ⌈cceil 13936   mod cmo 14014  Vtxcvtx 29581  Edgcedg 29632   NeighbVtx cnbgr 29920   gPetersenGr cgpg 49245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-ceil 13938  df-mod 14015  df-hash 14480  df-dvds 16430  df-struct 17332  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-edgf 29574  df-vtx 29583  df-iedg 29584  df-edg 29633  df-umgr 29668  df-usgr 29739  df-gpg 49246

This theorem is used by:  pgnbgreunbgrlem2  49322