Theorem subsubrng2 20505

Description: The set of subrings of a subring are the smaller subrings. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrng.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subsubrng2	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (SubRng‘𝑆) = ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem subsubrng2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsubrng.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subsubrng 20504	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴)))
3		elin 3955	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴))
4		velpw 4603	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐴)
5	4	anbi2i 621	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴))
6	3, 5	bitr2i 275	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))
7	2, 6	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴)))
8	7	eqrdv 2723	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (SubRng‘𝑆) = ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4598  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ↾_s cress 17208  SubRngcsubrng 20486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-subg 19082  df-abl 19742  df-rng 20097  df-subrng 20487

This theorem is referenced by: (None)