Theorem eluzelre 12873

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12872	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12700	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  ℤ_≥cuz 12862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863

This theorem is referenced by:  eluzelcn  12874  eluzadd  12891  eluzsub  12892  uzm1  12896  ge2halflem1  13133  nnge2recico01  13534  uzsplit  13624  fzneuz  13636  fzouzsplit  13723  fzouzdisj  13724  fzoun  13725  eluzgtdifelfzo  13756  elfzonelfzo  13798  fldiv4lem1div2uz2  13869  mulp1mod1  13947  m1modge3gt1  13954  om2uzlt2i  13987  bernneq3  14267  hashfzp1  14468  seqcoll  14501  seqcoll2  14502  rexuzre  15404  rlimclim1  15596  climrlim2  15598  modm1div  16322  isprm5  16766  isprm7  16767  ncoprmlnprm  16787  dfphi2  16833  pclem  16898  pcmpt  16952  pockthg  16966  prmlem1  17167  prmlem2  17180  mtest  26533  rtprmirr  26891  logbleb  26914  logbgcd1irr  26925  isppw  27244  chtdif  27288  chtub  27342  fsumvma2  27344  chpval2  27348  bpos1lem  27412  bpos1  27413  gausslemma2dlem4  27499  chebbnd1lem1  27599  dchrisumlem2  27620  axlowdimlem16  29248  axlowdimlem17  29249  crctcshwlkn0lem5  30104  fzspl  33075  supfz  36154  nn0prpwlem  36756  rmspecsqrtnq  43560  rmspecnonsq  43561  rmspecfund  43563  rmspecpos  43570  rmxypos  43601  ltrmynn0  43602  ltrmxnn0  43603  jm2.24nn  43613  jm2.17a  43614  jm2.17b  43615  jm2.17c  43616  jm3.1lem1  43671  jm3.1lem2  43672  climsuselem1  46250  climsuse  46251  limsupequzlem  46363  limsupmnfuzlem  46367  ioodvbdlimc1lem2  46573  ioodvbdlimc2lem  46575  itgspltprt  46620  stoweidlem14  46655  wallispilem3  46708  stirlinglem11  46725  fourierdlem103  46850  fourierdlem104  46851  nnmul2  47991  2ltceilhalf  47993  ceilhalfgt1  47994  2tceilhalfelfzo1  47997  ceilhalfnn  48001  2timesltsqm1  48040  iccpartigtl  48096  fmtnoprmfac2lem1  48242  fmtno4prmfac  48248  lighneallem4a  48284  gboge9  48453  nnsum3primesle9  48483  bgoldbnnsum3prm  48493  bgoldbtbndlem3  48496  bgoldbtbndlem4  48497  bgoldbtbnd  48498  gpgusgralem  48745  gpgprismgrusgra  48747  gpg3nbgrvtx0ALT  48766  gpgprismgr4cycllem3  48786  expnegico01  49218  fllog2  49268  dignn0ldlem  49302  dignnld  49303  digexp  49307  dignn0flhalf  49318