Theorem eluzelre 12879

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12878	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12706	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  ℝcr 11105  ℤ_≥cuz 12868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-neg 11450  df-z 12598  df-uz 12869

This theorem is used by:  eluzelcn  12880  eluzadd  12897  eluzsub  12898  uzm1  12902  ge2halflem1  13139  nnge2recico01  13540  uzsplit  13631  fzneuz  13643  fzouzsplit  13730  fzouzdisj  13731  fzoun  13732  eluzgtdifelfzo  13763  elfzonelfzo  13805  fldiv4lem1div2uz2  13876  mulp1mod1  13954  m1modge3gt1  13961  om2uzlt2i  13994  bernneq3  14274  hashfzp1  14475  seqcoll  14508  seqcoll2  14509  rexuzre  15411  rlimclim1  15603  climrlim2  15605  modm1div  16328  isprm5  16772  isprm7  16773  ncoprmlnprm  16793  dfphi2  16839  pclem  16904  pcmpt  16958  pockthg  16972  prmlem1  17173  prmlem2  17186  mtest  26578  rtprmirr  26936  logbleb  26959  logbgcd1irr  26970  isppw  27289  chtdif  27333  chtub  27387  fsumvma2  27389  chpval2  27393  bpos1lem  27457  bpos1  27458  gausslemma2dlem4  27544  chebbnd1lem1  27644  dchrisumlem2  27665  axlowdimlem16  29318  axlowdimlem17  29319  crctcshwlkn0lem5  30174  fzspl  33145  supfz  36229  nn0prpwlem  36861  rmspecsqrtnq  43661  rmspecnonsq  43662  rmspecfund  43664  rmspecpos  43671  rmxypos  43702  ltrmynn0  43703  ltrmxnn0  43704  jm2.24nn  43714  jm2.17a  43715  jm2.17b  43716  jm2.17c  43717  jm3.1lem1  43772  jm3.1lem2  43773  climsuselem1  46351  climsuse  46352  limsupequzlem  46464  limsupmnfuzlem  46468  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  itgspltprt  46721  stoweidlem14  46756  wallispilem3  46809  stirlinglem11  46826  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  nnmul2  48095  2ltceilhalf  48097  ceilhalfgt1  48098  2tceilhalfelfzo1  48101  ceilhalfnn  48105  2timesltsqm1  48144  iccpartigtl  48200  fmtnoprmfac2lem1  48346  fmtno4prmfac  48352  lighneallem4a  48388  gboge9  48557  nnsum3primesle9  48587  bgoldbnnsum3prm  48597  bgoldbtbndlem3  48600  bgoldbtbndlem4  48601  bgoldbtbnd  48602  gpgusgralem  48849  gpgprismgrusgra  48851  gpg3nbgrvtx0ALT  48870  gpgprismgr4cycllem3  48890  expnegico01  49326  fllog2  49376  dignn0ldlem  49410  dignnld  49411  digexp  49415  dignn0flhalf  49426