Theorem eluzelre 12794

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12793	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12628	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  ℝcr 11032  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-ov 7365  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  eluzelcn  12795  eluzadd  12812  eluzsub  12813  uzm1  12817  ge2halflem1  13054  nnge2recico01  13455  uzsplit  13545  fzneuz  13557  fzouzsplit  13644  fzouzdisj  13645  fzoun  13646  eluzgtdifelfzo  13677  elfzonelfzo  13719  fldiv4lem1div2uz2  13790  mulp1mod1  13868  m1modge3gt1  13875  om2uzlt2i  13908  bernneq3  14188  hashfzp1  14388  seqcoll  14421  seqcoll2  14422  rexuzre  15310  rlimclim1  15502  climrlim2  15504  modm1div  16228  isprm5  16672  isprm7  16673  ncoprmlnprm  16693  dfphi2  16739  pclem  16804  pcmpt  16858  pockthg  16872  prmlem1  17073  prmlem2  17085  mtest  26386  rtprmirr  26741  logbleb  26764  logbgcd1irr  26775  isppw  27095  chtdif  27139  chtub  27193  fsumvma2  27195  chpval2  27199  bpos1lem  27263  bpos1  27264  gausslemma2dlem4  27350  chebbnd1lem1  27450  dchrisumlem2  27471  axlowdimlem16  29044  axlowdimlem17  29045  crctcshwlkn0lem5  29901  fzspl  32881  supfz  35931  nn0prpwlem  36524  rmspecsqrtnq  43358  rmspecnonsq  43359  rmspecfund  43361  rmspecpos  43368  rmxypos  43399  ltrmynn0  43400  ltrmxnn0  43401  jm2.24nn  43411  jm2.17a  43412  jm2.17b  43413  jm2.17c  43414  jm3.1lem1  43469  jm3.1lem2  43470  climsuselem1  46061  climsuse  46062  limsupequzlem  46174  limsupmnfuzlem  46178  ioodvbdlimc1lem2  46384  ioodvbdlimc2lem  46386  itgspltprt  46431  stoweidlem14  46466  wallispilem3  46519  stirlinglem11  46536  fourierdlem103  46661  fourierdlem104  46662  nnmul2  47796  2ltceilhalf  47798  ceilhalfgt1  47799  2tceilhalfelfzo1  47802  ceilhalfnn  47806  2timesltsqm1  47845  iccpartigtl  47901  fmtnoprmfac2lem1  48047  fmtno4prmfac  48053  lighneallem4a  48089  gboge9  48258  nnsum3primesle9  48288  bgoldbnnsum3prm  48298  bgoldbtbndlem3  48301  bgoldbtbndlem4  48302  bgoldbtbnd  48303  gpgusgralem  48550  gpgprismgrusgra  48552  gpg3nbgrvtx0ALT  48571  gpgprismgr4cycllem3  48591  expnegico01  49012  fllog2  49062  dignn0ldlem  49096  dignnld  49097  digexp  49101  dignn0flhalf  49112