Theorem eluzelre 12780

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12779	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12614	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℝcr 11043  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  eluzelcn  12781  eluzadd  12798  eluzsub  12799  uzm1  12807  ge2halflem1  13044  uzsplit  13533  fzneuz  13545  fzouzsplit  13631  fzouzdisj  13632  fzoun  13633  eluzgtdifelfzo  13664  elfzonelfzo  13706  fldiv4lem1div2uz2  13774  mulp1mod1  13852  m1modge3gt1  13859  om2uzlt2i  13892  bernneq3  14172  hashfzp1  14372  seqcoll  14405  seqcoll2  14406  rexuzre  15295  rlimclim1  15487  climrlim2  15489  modm1div  16210  isprm5  16653  isprm7  16654  ncoprmlnprm  16674  dfphi2  16720  pclem  16785  pcmpt  16839  pockthg  16853  prmlem1  17054  prmlem2  17066  mtest  26346  rtprmirr  26703  logbleb  26726  logbgcd1irr  26737  isppw  27057  chtdif  27101  chtub  27156  fsumvma2  27158  chpval2  27162  bpos1lem  27226  bpos1  27227  gausslemma2dlem4  27313  chebbnd1lem1  27413  dchrisumlem2  27434  axlowdimlem16  28937  axlowdimlem17  28938  crctcshwlkn0lem5  29794  fzspl  32762  supfz  35709  nn0prpwlem  36303  rmspecsqrtnq  42887  rmspecnonsq  42888  rmspecfund  42890  rmspecpos  42898  rmxypos  42929  ltrmynn0  42930  ltrmxnn0  42931  jm2.24nn  42941  jm2.17a  42942  jm2.17b  42943  jm2.17c  42944  jm3.1lem1  42999  jm3.1lem2  43000  climsuselem1  45598  climsuse  45599  limsupequzlem  45713  limsupmnfuzlem  45717  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  itgspltprt  45970  stoweidlem14  46005  wallispilem3  46058  stirlinglem11  46075  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  2ltceilhalf  47322  ceilhalfgt1  47323  2tceilhalfelfzo1  47326  ceilhalfnn  47330  iccpartigtl  47417  fmtnoprmfac2lem1  47560  fmtno4prmfac  47566  lighneallem4a  47602  gboge9  47758  nnsum3primesle9  47788  bgoldbnnsum3prm  47798  bgoldbtbndlem3  47801  bgoldbtbndlem4  47802  bgoldbtbnd  47803  gpgusgralem  48040  gpgprismgrusgra  48042  gpg3nbgrvtx0ALT  48061  gpgprismgr4cycllem3  48080  expnegico01  48500  fllog2  48550  dignn0ldlem  48584  dignnld  48585  digexp  48589  dignn0flhalf  48600