Theorem eluzelre 12861

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12860	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12695	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  ℝcr 11126  ℤ_≥cuz 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-ov 7406  df-neg 11467  df-z 12587  df-uz 12851

This theorem is referenced by:  eluzelcn  12862  eluzadd  12879  eluzsub  12880  uzm1  12888  ge2halflem1  13122  uzsplit  13611  fzneuz  13623  fzouzsplit  13709  fzouzdisj  13710  fzoun  13711  eluzgtdifelfzo  13741  elfzonelfzo  13783  fldiv4lem1div2uz2  13851  mulp1mod1  13927  m1modge3gt1  13934  om2uzlt2i  13967  bernneq3  14247  hashfzp1  14447  seqcoll  14480  seqcoll2  14481  rexuzre  15369  rlimclim1  15559  climrlim2  15561  modm1div  16282  isprm5  16724  isprm7  16725  ncoprmlnprm  16745  dfphi2  16791  pclem  16856  pcmpt  16910  pockthg  16924  prmlem1  17125  prmlem2  17137  mtest  26363  rtprmirr  26720  logbleb  26743  logbgcd1irr  26754  isppw  27074  chtdif  27118  chtub  27173  fsumvma2  27175  chpval2  27179  bpos1lem  27243  bpos1  27244  gausslemma2dlem4  27330  chebbnd1lem1  27430  dchrisumlem2  27451  axlowdimlem16  28882  axlowdimlem17  28883  crctcshwlkn0lem5  29742  fzspl  32712  supfz  35692  nn0prpwlem  36286  rmspecsqrtnq  42876  rmspecnonsq  42877  rmspecfund  42879  rmspecpos  42887  rmxypos  42918  ltrmynn0  42919  ltrmxnn0  42920  jm2.24nn  42930  jm2.17a  42931  jm2.17b  42932  jm2.17c  42933  jm3.1lem1  42988  jm3.1lem2  42989  climsuselem1  45584  climsuse  45585  limsupequzlem  45699  limsupmnfuzlem  45703  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  itgspltprt  45956  stoweidlem14  45991  wallispilem3  46044  stirlinglem11  46061  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  2ltceilhalf  47305  ceilhalfgt1  47306  2tceilhalfelfzo1  47309  ceilhalfnn  47313  iccpartigtl  47385  fmtnoprmfac2lem1  47528  fmtno4prmfac  47534  lighneallem4a  47570  gboge9  47726  nnsum3primesle9  47756  bgoldbnnsum3prm  47766  bgoldbtbndlem3  47769  bgoldbtbndlem4  47770  bgoldbtbnd  47771  gpgusgralem  48008  gpgprismgrusgra  48010  gpg3nbgrvtx0ALT  48027  gpgprismgr4cycllem3  48044  expnegico01  48442  fllog2  48496  dignn0ldlem  48530  dignnld  48531  digexp  48535  dignn0flhalf  48546