Theorem eluzelre 12799

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12798	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12633	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  eluzelcn  12800  eluzadd  12817  eluzsub  12818  uzm1  12822  ge2halflem1  13059  nnge2recico01  13460  uzsplit  13550  fzneuz  13562  fzouzsplit  13649  fzouzdisj  13650  fzoun  13651  eluzgtdifelfzo  13682  elfzonelfzo  13724  fldiv4lem1div2uz2  13795  mulp1mod1  13873  m1modge3gt1  13880  om2uzlt2i  13913  bernneq3  14193  hashfzp1  14393  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  rexuzre  15315  rlimclim1  15507  climrlim2  15509  modm1div  16233  isprm5  16677  isprm7  16678  ncoprmlnprm  16698  dfphi2  16744  pclem  16809  pcmpt  16863  pockthg  16877  prmlem1  17078  prmlem2  17090  mtest  26369  rtprmirr  26724  logbleb  26747  logbgcd1irr  26758  isppw  27077  chtdif  27121  chtub  27175  fsumvma2  27177  chpval2  27181  bpos1lem  27245  bpos1  27246  gausslemma2dlem4  27332  chebbnd1lem1  27432  dchrisumlem2  27453  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027  crctcshwlkn0lem5  29882  fzspl  32862  supfz  35911  nn0prpwlem  36504  rmspecsqrtnq  43334  rmspecnonsq  43335  rmspecfund  43337  rmspecpos  43344  rmxypos  43375  ltrmynn0  43376  ltrmxnn0  43377  jm2.24nn  43387  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  jm2.17c  43390  jm3.1lem1  43445  jm3.1lem2  43446  climsuselem1  46037  climsuse  46038  limsupequzlem  46150  limsupmnfuzlem  46154  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  itgspltprt  46407  stoweidlem14  46442  wallispilem3  46495  stirlinglem11  46512  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  nnmul2  47778  2ltceilhalf  47780  ceilhalfgt1  47781  2tceilhalfelfzo1  47784  ceilhalfnn  47788  2timesltsqm1  47827  iccpartigtl  47883  fmtnoprmfac2lem1  48029  fmtno4prmfac  48035  lighneallem4a  48071  gboge9  48240  nnsum3primesle9  48270  bgoldbnnsum3prm  48280  bgoldbtbndlem3  48283  bgoldbtbndlem4  48284  bgoldbtbnd  48285  gpgusgralem  48532  gpgprismgrusgra  48534  gpg3nbgrvtx0ALT  48553  gpgprismgr4cycllem3  48573  expnegico01  48994  fllog2  49044  dignn0ldlem  49078  dignnld  49079  digexp  49083  dignn0flhalf  49094