Theorem eluzelre 12889

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12888	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12722	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  eluzelcn  12890  eluzadd  12907  eluzsub  12908  uzm1  12916  ge2halflem1  13150  uzsplit  13636  fzneuz  13648  fzouzsplit  13734  fzouzdisj  13735  fzoun  13736  eluzgtdifelfzo  13766  elfzonelfzo  13808  fldiv4lem1div2uz2  13876  mulp1mod1  13952  m1modge3gt1  13959  om2uzlt2i  13992  bernneq3  14270  hashfzp1  14470  seqcoll  14503  seqcoll2  14504  rexuzre  15391  rlimclim1  15581  climrlim2  15583  modm1div  16302  isprm5  16744  isprm7  16745  ncoprmlnprm  16765  dfphi2  16811  pclem  16876  pcmpt  16930  pockthg  16944  prmlem1  17145  prmlem2  17157  mtest  26447  rtprmirr  26803  logbleb  26826  logbgcd1irr  26837  isppw  27157  chtdif  27201  chtub  27256  fsumvma2  27258  chpval2  27262  bpos1lem  27326  bpos1  27327  gausslemma2dlem4  27413  chebbnd1lem1  27513  dchrisumlem2  27534  axlowdimlem16  28972  axlowdimlem17  28973  crctcshwlkn0lem5  29834  fzspl  32791  supfz  35729  nn0prpwlem  36323  rmspecsqrtnq  42917  rmspecnonsq  42918  rmspecfund  42920  rmspecpos  42928  rmxypos  42959  ltrmynn0  42960  ltrmxnn0  42961  jm2.24nn  42971  jm2.17a  42972  jm2.17b  42973  jm2.17c  42974  jm3.1lem1  43029  jm3.1lem2  43030  climsuselem1  45622  climsuse  45623  limsupequzlem  45737  limsupmnfuzlem  45741  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  itgspltprt  45994  stoweidlem14  46029  wallispilem3  46082  stirlinglem11  46099  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  iccpartigtl  47410  fmtnoprmfac2lem1  47553  fmtno4prmfac  47559  lighneallem4a  47595  gboge9  47751  nnsum3primesle9  47781  bgoldbnnsum3prm  47791  bgoldbtbndlem3  47794  bgoldbtbndlem4  47795  bgoldbtbnd  47796  gpgusgralem  48011  2ltceilhalf  48015  2tceilhalfelfzo1  48018  gpg3nbgrvtx0ALT  48033  expnegico01  48435  fllog2  48489  dignn0ldlem  48523  dignnld  48524  digexp  48528  dignn0flhalf  48539