Theorem eluzelre 12743

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12742	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12577	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  eluzelcn  12744  eluzadd  12761  eluzsub  12762  uzm1  12770  ge2halflem1  13007  uzsplit  13496  fzneuz  13508  fzouzsplit  13594  fzouzdisj  13595  fzoun  13596  eluzgtdifelfzo  13627  elfzonelfzo  13669  fldiv4lem1div2uz2  13740  mulp1mod1  13818  m1modge3gt1  13825  om2uzlt2i  13858  bernneq3  14138  hashfzp1  14338  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  rexuzre  15260  rlimclim1  15452  climrlim2  15454  modm1div  16175  isprm5  16618  isprm7  16619  ncoprmlnprm  16639  dfphi2  16685  pclem  16750  pcmpt  16804  pockthg  16818  prmlem1  17019  prmlem2  17031  mtest  26340  rtprmirr  26697  logbleb  26720  logbgcd1irr  26731  isppw  27051  chtdif  27095  chtub  27150  fsumvma2  27152  chpval2  27156  bpos1lem  27220  bpos1  27221  gausslemma2dlem4  27307  chebbnd1lem1  27407  dchrisumlem2  27428  axlowdimlem16  28935  axlowdimlem17  28936  crctcshwlkn0lem5  29792  fzspl  32772  supfz  35773  nn0prpwlem  36366  rmspecsqrtnq  42998  rmspecnonsq  42999  rmspecfund  43001  rmspecpos  43008  rmxypos  43039  ltrmynn0  43040  ltrmxnn0  43041  jm2.24nn  43051  jm2.17a  43052  jm2.17b  43053  jm2.17c  43054  jm3.1lem1  43109  jm3.1lem2  43110  climsuselem1  45706  climsuse  45707  limsupequzlem  45819  limsupmnfuzlem  45823  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  itgspltprt  46076  stoweidlem14  46111  wallispilem3  46164  stirlinglem11  46181  fourierdlem103  46306  fourierdlem104  46307  2ltceilhalf  47427  ceilhalfgt1  47428  2tceilhalfelfzo1  47431  ceilhalfnn  47435  iccpartigtl  47522  fmtnoprmfac2lem1  47665  fmtno4prmfac  47671  lighneallem4a  47707  gboge9  47863  nnsum3primesle9  47893  bgoldbnnsum3prm  47903  bgoldbtbndlem3  47906  bgoldbtbndlem4  47907  bgoldbtbnd  47908  gpgusgralem  48155  gpgprismgrusgra  48157  gpg3nbgrvtx0ALT  48176  gpgprismgr4cycllem3  48196  expnegico01  48618  fllog2  48668  dignn0ldlem  48702  dignnld  48703  digexp  48707  dignn0flhalf  48718