Theorem eluzelre 12976

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12975	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12803	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  ℝcr 11199  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  eluzelcn  12977  eluzadd  12994  eluzsub  12995  uzm1  12999  ge2halflem1  13237  nnge2recico01  13638  uzsplit  13730  fzneuz  13742  fzouzsplit  13829  fzouzdisj  13830  fzoun  13831  eluzgtdifelfzo  13862  elfzonelfzo  13904  fldiv4lem1div2uz2  13976  mulp1mod1  14054  m1modge3gt1  14061  om2uzlt2i  14094  bernneq3  14375  hashfzp1  14576  seqcoll  14609  seqcoll2  14610  rexuzre  15520  rlimclim1  15712  climrlim2  15714  modm1div  16434  isprm5  16883  isprm7  16884  ncoprmlnprm  16904  dfphi2  16951  pclem  17016  pcmpt  17070  pockthg  17084  prmlem1  17285  prmlem2  17298  mtest  26731  rtprmirr  27088  logbleb  27111  logbgcd1irr  27122  isppw  27441  chtdif  27485  chtub  27539  fsumvma2  27541  chpval2  27545  bpos1lem  27609  bpos1  27610  gausslemma2dlem4  27696  chebbnd1lem1  27796  dchrisumlem2  27817  axlowdimlem16  29535  axlowdimlem17  29536  crctcshwlkn0lem5  30403  fzspl  33381  supfz  36494  nn0prpwlem  37110  rmspecsqrtnq  43913  rmspecnonsq  43914  rmspecfund  43916  rmspecpos  43923  rmxypos  43954  ltrmynn0  43955  ltrmxnn0  43956  jm2.24nn  43966  jm2.17a  43967  jm2.17b  43968  jm2.17c  43969  jm3.1lem1  44024  jm3.1lem2  44025  climsuselem1  46619  climsuse  46620  limsupequzlem  46732  limsupmnfuzlem  46736  ioodvbdlimc1lem2  46942  ioodvbdlimc2lem  46944  itgspltprt  46989  stoweidlem14  47024  wallispilem3  47077  stirlinglem11  47094  fourierdlem103  47219  fourierdlem104  47220  nnmul2  48400  2ltceilhalf  48402  ceilhalfgt1  48403  2tceilhalfelfzo1  48406  ceilhalfnn  48410  2timesltsqm1  48449  iccpartigtl  48505  fmtnoprmfac2lem1  48651  fmtno4prmfac  48657  lighneallem4a  48693  gboge9  48862  nnsum3primesle9  48892  bgoldbnnsum3prm  48902  bgoldbtbndlem3  48905  bgoldbtbndlem4  48906  bgoldbtbnd  48907  gpgusgralem  49154  gpgprismgrusgra  49156  gpg3nbgrvtx0ALT  49175  gpgprismgr4cycllem3  49195  expnegico01  49630  fllog2  49680  dignn0ldlem  49714  dignnld  49715  digexp  49719  dignn0flhalf  49730