Theorem tcwf 9868

Description: The transitive closure function is well-founded if its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tcwf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem tcwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elssi 9790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
2		dftr3 5217	. . . . 5 ⊢ (Tr ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
3		r1elssi 9790	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2, 3	mprgbir 3083	. . . 4 ⊢ Tr ∪ (𝑅1 “ On)
5		tcmin 9721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ Tr ∪ (𝑅1 “ On)) → (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)))
6	4, 5	mpan2i 710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)))
7	1, 6	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
8		fvex 6892	. . 3 ⊢ (TC‘𝐴) ∈ V
9	8	r1elss 9791	. 2 ⊢ ((TC‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
10	7, 9	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  Tr wtr 5212   “ cima 5658  Oncon0 6357  ‘cfv 6533  TCctc 9716  𝑅₁cr1 9747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-tc 9717  df-r1 9749

This theorem is used by:  tcrank  9869  tcfr  45789