Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcwf 9147
 Description: The transitive closure function is well-founded if its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcwf (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem tcwf
StepHypRef Expression
1 r1elssi 9069 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
2 dftr3 5061 . . . . 5 (Tr (𝑅1 “ On) ↔ ∀𝑥 (𝑅1 “ On)𝑥 (𝑅1 “ On))
3 r1elssi 9069 . . . . 5 (𝑥 (𝑅1 “ On) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
42, 3mprgbir 3118 . . . 4 Tr (𝑅1 “ On)
5 tcmin 9018 . . . 4 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ Tr (𝑅1 “ On)) → (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On)))
64, 5mpan2i 693 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On)))
71, 6mpd 15 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On))
8 fvex 6543 . . 3 (TC‘𝐴) ∈ V
98r1elss 9070 . 2 ((TC‘𝐴) ∈ (𝑅1 “ On) ↔ (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On))
107, 9sylibr 235 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ (𝑅1 “ On))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2079   ⊆ wss 3854  ∪ cuni 4739  Tr wtr 5057   “ cima 5438  Oncon0 6058  ‘cfv 6217  TCctc 9013  𝑅1cr1 9026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-tc 9014  df-r1 9028 This theorem is referenced by:  tcrank  9148
 Copyright terms: Public domain W3C validator