Theorem tcwf 9642

Description: The transitive closure function is well-founded if its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tcwf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem tcwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elssi 9564	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
2		dftr3 5200	. . . . 5 ⊢ (Tr ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
3		r1elssi 9564	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2, 3	mprgbir 3081	. . . 4 ⊢ Tr ∪ (𝑅1 “ On)
5		tcmin 9499	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ Tr ∪ (𝑅1 “ On)) → (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)))
6	4, 5	mpan2i 694	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)))
7	1, 6	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
8		fvex 6784	. . 3 ⊢ (TC‘𝐴) ∈ V
9	8	r1elss 9565	. 2 ⊢ ((TC‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ (TC‘𝐴) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
10	7, 9	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  ∪ cuni 4845  Tr wtr 5196   “ cima 5593  Oncon0 6265  ‘cfv 6432  TCctc 9494  𝑅₁cr1 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-tc 9495  df-r1 9523

This theorem is referenced by:  tcrank  9643