MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcwf 9912
Description: The transitive closure function is well-founded if its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcwf (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem tcwf
StepHypRef Expression
1 r1elssi 9834 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
2 dftr3 5273 . . . . 5 (Tr (𝑅1 “ On) ↔ ∀𝑥 (𝑅1 “ On)𝑥 (𝑅1 “ On))
3 r1elssi 9834 . . . . 5 (𝑥 (𝑅1 “ On) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
42, 3mprgbir 3064 . . . 4 Tr (𝑅1 “ On)
5 tcmin 9770 . . . 4 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ Tr (𝑅1 “ On)) → (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On)))
64, 5mpan2i 695 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On)))
71, 6mpd 15 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On))
8 fvex 6913 . . 3 (TC‘𝐴) ∈ V
98r1elss 9835 . 2 ((TC‘𝐴) ∈ (𝑅1 “ On) ↔ (TC‘𝐴) ⊆ (𝑅1 “ On))
107, 9sylibr 233 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (TC‘𝐴) ∈ (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wss 3947   cuni 4910  Tr wtr 5267  cima 5683  Oncon0 6372  cfv 6551  TCctc 9765  𝑅1cr1 9791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-tc 9766  df-r1 9793
This theorem is referenced by:  tcrank  9913
  Copyright terms: Public domain W3C validator