MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1elssi 9843
Description: The range of the 𝑅1 function is transitive. Lemma 2.10 of [Kunen] p. 97. One direction of r1elss 9844 that doesn't need 𝐴 to be a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elssi (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elssi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 triun 5280 . . . 4 (∀𝑥 ∈ On Tr (𝑅1𝑥) → Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥))
2 r1tr 9814 . . . . 5 Tr (𝑅1𝑥)
32a1i 11 . . . 4 (𝑥 ∈ On → Tr (𝑅1𝑥))
41, 3mprg 3065 . . 3 Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥)
5 r1funlim 9804 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
65simpli 483 . . . . 5 Fun 𝑅1
7 funiunfv 7268 . . . . 5 (Fun 𝑅1 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) = (𝑅1 “ On))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) = (𝑅1 “ On)
9 treq 5273 . . . 4 ( 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) = (𝑅1 “ On) → (Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) ↔ Tr (𝑅1 “ On)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 (Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) ↔ Tr (𝑅1 “ On))
114, 10mpbi 230 . 2 Tr (𝑅1 “ On)
12 trss 5276 . 2 (Tr (𝑅1 “ On) → (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On)))
1311, 12ax-mp 5 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   cuni 4912   ciun 4996  Tr wtr 5265  dom cdm 5689  cima 5692  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  Fun wfun 6557  cfv 6563  𝑅1cr1 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802
This theorem is referenced by:  r1elss  9844  pwwf  9845  rankelb  9862  rankval3b  9864  r1pw  9883  rankuni2b  9891  tcwf  9921  tcrank  9922  hsmexlem4  10467  rankcf  10815  wfgru  10854  grur1  10858  trwf  44937  wfaxsep  44951
  Copyright terms: Public domain W3C validator