MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1elssi 8967
Description: The range of the 𝑅1 function is transitive. Lemma 2.10 of [Kunen] p. 97. One direction of r1elss 8968 that doesn't need 𝐴 to be a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elssi (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elssi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 triun 5002 . . . 4 (∀𝑥 ∈ On Tr (𝑅1𝑥) → Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥))
2 r1tr 8938 . . . . 5 Tr (𝑅1𝑥)
32a1i 11 . . . 4 (𝑥 ∈ On → Tr (𝑅1𝑥))
41, 3mprg 3108 . . 3 Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥)
5 r1funlim 8928 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
65simpli 478 . . . . 5 Fun 𝑅1
7 funiunfv 6780 . . . . 5 (Fun 𝑅1 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) = (𝑅1 “ On))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) = (𝑅1 “ On)
9 treq 4995 . . . 4 ( 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) = (𝑅1 “ On) → (Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) ↔ Tr (𝑅1 “ On)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 (Tr 𝑥 ∈ On (𝑅1𝑥) ↔ Tr (𝑅1 “ On))
114, 10mpbi 222 . 2 Tr (𝑅1 “ On)
12 trss 4998 . 2 (Tr (𝑅1 “ On) → (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On)))
1311, 12ax-mp 5 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792   cuni 4673   ciun 4755  Tr wtr 4989  dom cdm 5357  cima 5360  Oncon0 5978  Lim wlim 5979  Fun wfun 6131  cfv 6137  𝑅1cr1 8924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-r1 8926
This theorem is referenced by:  r1elss  8968  pwwf  8969  rankelb  8986  rankval3b  8988  r1pw  9007  rankuni2b  9015  tcwf  9045  tcrank  9046  hsmexlem4  9588  rankcf  9936  wfgru  9975  grur1  9979
  Copyright terms: Public domain W3C validator