Theorem tpfi 9337

Description: An unordered triple is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tpfi	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Proof of Theorem tpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4606	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prfi 9335	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3		snfi 9057	. . 3 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
4		unfi 9185	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2830	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924  {csn 4601  {cpr 4603  {ctp 4605  Fincfn 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-2o 8481  df-en 8960  df-fin 8963

This theorem is referenced by:  hash7g  14504  hashge3el3dif  14505  tpf1o  14519  s7f1o  14985  sumtp  15765  lcmftp  16655  perfectlem2  27193  prodtp  32806  gsumtp  33052  constrlccllem  33787  constrcccllem  33788  hgt750lemg  34686  limsupequzlem  45751  fourierdlem102  46237  fourierdlem114  46249  etransclem48  46311  perfectALTVlem2  47736