Theorem tpfi 8947

Description: An unordered triple is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tpfi	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Proof of Theorem tpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4546	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prfi 8946	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3		snfi 8721	. . 3 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
4		unfi 8850	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2834	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3864  {csn 4541  {cpr 4543  {ctp 4545  Fincfn 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1o 8202  df-en 8627  df-fin 8630

This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  14052  sumtp  15313  lcmftp  16193  perfectlem2  26111  prodtp  30861  hgt750lemg  32346  limsupequzlem  42938  fourierdlem102  43424  fourierdlem114  43436  etransclem48  43498  perfectALTVlem2  44847