MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tpfi 9362
Description: An unordered triple is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
tpfi {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Proof of Theorem tpfi
StepHypRef Expression
1 df-tp 4635 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prfi 9360 . . 3 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3 snfi 9081 . . 3 {𝐶} ∈ Fin
4 unfi 9209 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 692 . 2 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin
61, 5eqeltri 2834 1 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  cun 3960  {csn 4630  {cpr 4632  {ctp 4634  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 8984  df-fin 8987
This theorem is referenced by:  hash7g  14521  hashge3el3dif  14522  tpf1o  14536  s7f1o  15001  sumtp  15781  lcmftp  16669  perfectlem2  27288  prodtp  32833  gsumtp  33043  hgt750lemg  34647  limsupequzlem  45677  fourierdlem102  46163  fourierdlem114  46175  etransclem48  46237  perfectALTVlem2  47646
  Copyright terms: Public domain W3C validator