Theorem tpfi 9355

Description: An unordered triple is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tpfi	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Proof of Theorem tpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4593	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prfi 9353	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3		snfi 9109	. . 3 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
4		unfi 9224	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2860	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-2o 8515  df-en 9012  df-fin 9015

This theorem is used by:  hash7g  14672  hashge3el3dif  14673  tpf1o  14687  s7f1o  15162  sumtp  15959  lcmftp  16855  perfectlem2  27614  prodtp  33514  gsumtp  33724  constrlccllem  34496  constrcccllem  34497  hgt750lemg  35394  limsupequzlem  47005  fourierdlem102  47491  fourierdlem114  47503  etransclem48  47565  perfectALTVlem2  49093