Theorem tpfi 9020

Description: An unordered triple is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tpfi	⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Proof of Theorem tpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4563	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prfi 9019	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3		snfi 8788	. . 3 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
4		unfi 8917	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 688	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2835	1 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {csn 4558  {cpr 4560  {ctp 4562  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  14128  sumtp  15389  lcmftp  16269  perfectlem2  26283  prodtp  31043  hgt750lemg  32534  limsupequzlem  43153  fourierdlem102  43639  fourierdlem114  43651  etransclem48  43713  perfectALTVlem2  45062