Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem102 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem102 46223
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem102.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem102.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem102.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem102.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem102.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem102.gcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem102.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem102.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem102.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem102.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem102.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem102.h 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
fourierdlem102.m 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem102.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem102 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑔   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem102
StepHypRef Expression
1 fourierdlem102.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem102.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem102.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem102.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem102.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem102.m . . 3 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
7 2z 12649 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
9 fourierdlem102.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
10 tpfi 9365 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin)
12 pire 26500 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
1312renegcli 11570 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
1413rexri 11319 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ*
1512rexri 11319 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ*
16 negpilt0 45292 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π < 0
17 pipos 26502 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
18 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
1913, 18, 12lttri 11387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
2016, 17, 19mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 -π < π
2113, 12, 20ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . 13 -π ≤ π
22 prunioo 13521 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π))
2314, 15, 21, 22mp3an 1463 . . . . . . . . . . . 12 ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π)
2423difeq1i 4122 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)
25 difundir 4291 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
2624, 25eqtr3i 2767 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
27 fourierdlem102.dmdv . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
28 prfi 9363 . . . . . . . . . . . 12 {-π, π} ∈ Fin
29 diffi 9215 . . . . . . . . . . . 12 ({-π, π} ∈ Fin → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
3028, 29mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
31 unfi 9211 . . . . . . . . . . 11 ((((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3227, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3326, 32eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
34 unfi 9211 . . . . . . . . 9 (({-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin ∧ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3511, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
369, 35eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
37 hashcl 14395 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 12639 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
4013, 20ltneii 11374 . . . . . . 7 -π ≠ π
41 hashprg 14434 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2))
4213, 12, 41mp2an 692 . . . . . . 7 (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2)
4340, 42mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{-π, π}) = 2
4410elexi 3503 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ V
45 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ∈ V
46 difexg 5329 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∈ V → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V
4844, 47unex 7764 . . . . . . . . 9 ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ V
499, 48eqeltri 2837 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
50 negex 11506 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ V
5150tpid1 4768 . . . . . . . . . 10 -π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
5212elexi 3503 . . . . . . . . . . 11 π ∈ V
5352tpid2 4770 . . . . . . . . . 10 π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
54 prssi 4821 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)} ∧ π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}) → {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)})
5551, 53, 54mp2an 692 . . . . . . . . 9 {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)}
56 ssun1 4178 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
5756, 9sseqtrri 4033 . . . . . . . . 9 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ 𝐻
5855, 57sstri 3993 . . . . . . . 8 {-π, π} ⊆ 𝐻
59 hashss 14448 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-π, π} ⊆ 𝐻) → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6049, 58, 59mp2an 692 . . . . . . 7 (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻)
6160a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6243, 61eqbrtrrid 5179 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐻))
63 eluz2 12884 . . . . 5 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝐻)))
648, 39, 62, 63syl3anbrc 1344 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2))
65 uz2m1nn 12965 . . . 4 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
6664, 65syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
676, 66eqeltrid 2845 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6813a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
6912a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → π ∈ ℝ)
70 negpitopissre 26582 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,]π) ⊆ ℝ
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π < π)
72 picn 26501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℂ
73722timesi 12404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) = (π + π)
7472, 72subnegi 11588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π − -π) = (π + π)
7573, 2, 743eqtr4i 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (π − -π)
76 fourierdlem102.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
7768, 69, 71, 75, 76fourierdlem4 46126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸:ℝ⟶(-π(,]π))
7877, 4ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π(,]π))
7970, 78sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8068, 69, 793jca 1129 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ))
81 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝑋) ∈ V
8250, 52, 81tpss 4837 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) ↔ {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
8380, 82sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
84 iccssre 13469 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
8513, 12, 84mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) ⊆ ℝ
86 ssdifss 4140 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8883, 87unssd 4192 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ ℝ)
899, 88eqsstrid 4022 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
90 fourierdlem102.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9136, 89, 90, 6fourierdlem36 46158 . . . . . 6 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
92 isof1o 7343 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻)
93 f1of 6848 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9491, 92, 933syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9594, 89fssd 6753 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
96 reex 11246 . . . . 5 ℝ ∈ V
97 ovex 7464 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
9896, 97elmap 8911 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9995, 98sylibr 234 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
100 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
101100adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
10295ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
103102leidd 11829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
104103adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
105101, 104eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
106 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
107106zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
108107ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
109 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
110109ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
111 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 0 = 𝑖 → 0 ≠ 𝑖)
112111necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 = 𝑖𝑖 ≠ 0)
113112adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ≠ 0)
114108, 110, 113ne0gt0d 11398 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 < 𝑖)
115 nnssnn0 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ⊆ ℕ0
116 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
117115, 116sseqtri 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ⊆ (ℤ‘0)
118117, 67sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
119 eluzfz1 13571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
12194, 120ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ 𝐻)
12289, 121sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
123122ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
124102adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
125 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 0 < 𝑖)
12691ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
127120anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
129 isorel 7346 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
130126, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
131125, 130mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) < (𝑄𝑖))
132123, 124, 131ltled 11409 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
133114, 132syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
134105, 133pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
135134adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
136 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄𝑖) = -π)
137135, 136breqtrd 5169 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ -π)
13868rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
13969rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
140 lbicc2 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → -π ∈ (-π[,]π))
14114, 15, 21, 140mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ (-π[,]π)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ (-π[,]π))
143 ubicc2 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → π ∈ (-π[,]π))
14414, 15, 21, 143mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ (-π[,]π)
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ (-π[,]π))
146 iocssicc 13477 . . . . . . . . . . . . 13 (-π(,]π) ⊆ (-π[,]π)
147146, 78sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π))
148 tpssi 4838 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ (-π[,]π) ∧ π ∈ (-π[,]π) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π)) → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
149142, 145, 147, 148syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
150 difssd 4137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ (-π[,]π))
151149, 150unssd 4192 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ (-π[,]π))
1529, 151eqsstrid 4022 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ⊆ (-π[,]π))
153152, 121sseldd 3984 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π))
154 iccgelb 13443 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ (𝑄‘0))
155138, 139, 153, 154syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → -π ≤ (𝑄‘0))
156155ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ≤ (𝑄‘0))
157122ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
15813a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ∈ ℝ)
159157, 158letri3d 11403 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → ((𝑄‘0) = -π ↔ ((𝑄‘0) ≤ -π ∧ -π ≤ (𝑄‘0))))
160137, 156, 159mpbir2and 713 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) = -π)
16157, 51sselii 3980 . . . . . . 7 -π ∈ 𝐻
162 f1ofo 6855 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
16392, 162syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
164 forn 6823 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻 → ran 𝑄 = 𝐻)
16591, 163, 1643syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
166161, 165eleqtrrid 2848 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ran 𝑄)
167 ffn 6736 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
168 fvelrnb 6969 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
16994, 167, 1683syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
170166, 169mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π)
171160, 170r19.29a 3162 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
17257, 53sselii 3980 . . . . . . 7 π ∈ 𝐻
173172, 165eleqtrrid 2848 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ran 𝑄)
174 fvelrnb 6969 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
17594, 167, 1743syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
176173, 175mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π)
17794, 152fssd 6753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
178 eluzfz2 13572 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
179118, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
180177, 179ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π))
181 iccleub 13442 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π)) → (𝑄𝑀) ≤ π)
182138, 139, 180, 181syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≤ π)
1831823ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ≤ π)
184 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑖) = π)
185184eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖) = π → π = (𝑄𝑖))
1861853ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π = (𝑄𝑖))
187103adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
188 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
189188adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
190187, 189breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
191107ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
192 elfzel2 13562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
193192zred 12722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
194193ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
195 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖𝑀)
196195ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖𝑀)
197 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 = 𝑀𝑖𝑀)
198197necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 = 𝑀𝑀𝑖)
199198adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀𝑖)
200191, 194, 196, 199leneltd 11415 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
201102adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
20285, 180sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
203202ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
204 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
20591ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
206 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
207179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
208206, 207jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
209208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
210 isorel 7346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
211205, 209, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
212204, 211mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀))
213201, 203, 212ltled 11409 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
214200, 213syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
215190, 214pm2.61dan 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
2162153adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
217186, 216eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ≤ (𝑄𝑀))
2182023ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
21912a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ∈ ℝ)
220218, 219letri3d 11403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → ((𝑄𝑀) = π ↔ ((𝑄𝑀) ≤ π ∧ π ≤ (𝑄𝑀))))
221183, 217, 220mpbir2and 713 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) = π)
222221rexlimdv3a 3159 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑀) = π))
223176, 222mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
224 elfzoelz 13699 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
225224zred 12722 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
226225ltp1d 12198 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
227226adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
228 elfzofz 13715 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
229 fzofzp1 13803 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
230228, 229jca 511 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
231 isorel 7346 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23291, 230, 231syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
233227, 232mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
234233ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
235171, 223, 234jca31 514 . . 3 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2365fourierdlem2 46124 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23767, 236syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23899, 235, 237mpbir2and 713 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
239 fourierdlem102.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
240239reseq1i 5993 . . . 4 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
24114a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
24215a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
243177adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
244 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
245241, 242, 243, 244fourierdlem27 46149 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
246245resabs1d 6026 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
247240, 246eqtr2id 2790 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
248 fourierdlem102.gcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
249248, 5, 67, 238, 9, 165fourierdlem38 46160 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
250247, 249eqeltrd 2841 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
251247oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
252248adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
253 fourierdlem102.rlim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
254253adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
255 fourierdlem102.llim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
256255adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
25791adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
258257, 92, 933syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
25979adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
260257, 163, 1643syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran 𝑄 = 𝐻)
261252, 254, 256, 257, 258, 244, 233, 245, 259, 9, 260fourierdlem46 46167 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅ ∧ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅))
262261simpld 494 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
263251, 262eqnetrd 3008 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
264247oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
265261simprd 495 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
266264, 265eqnetrd 3008 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
2671, 2, 3, 4, 5, 67, 238, 250, 263, 266fourierdlem94 46215 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628  {ctp 4630   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cio 6512   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  cfl 13830  chash 14369  πcpi 16102  cnccncf 24902   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  fourierdlem106  46227
  Copyright terms: Public domain W3C validator