Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem102 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem102 45829
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem102.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem102.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem102.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem102.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem102.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem102.gcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem102.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem102.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem102.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem102.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem102.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem102.h 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
fourierdlem102.m 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem102.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem102 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑔   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem102
StepHypRef Expression
1 fourierdlem102.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem102.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem102.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem102.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem102.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem102.m . . 3 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
7 2z 12646 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
9 fourierdlem102.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
10 tpfi 9367 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin)
12 pire 26486 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
1312renegcli 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
1413rexri 11322 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ*
1512rexri 11322 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ*
16 negpilt0 44895 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π < 0
17 pipos 26488 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
18 0re 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
1913, 18, 12lttri 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
2016, 17, 19mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 -π < π
2113, 12, 20ltleii 11387 . . . . . . . . . . . . 13 -π ≤ π
22 prunioo 13512 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π))
2314, 15, 21, 22mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π)
2423difeq1i 4117 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)
25 difundir 4282 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
2624, 25eqtr3i 2756 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
27 fourierdlem102.dmdv . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
28 prfi 9365 . . . . . . . . . . . 12 {-π, π} ∈ Fin
29 diffi 9213 . . . . . . . . . . . 12 ({-π, π} ∈ Fin → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
3028, 29mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
31 unfi 9210 . . . . . . . . . . 11 ((((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3227, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3326, 32eqeltrid 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
34 unfi 9210 . . . . . . . . 9 (({-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin ∧ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3511, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
369, 35eqeltrid 2830 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
37 hashcl 14373 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 12636 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
4013, 20ltneii 11377 . . . . . . 7 -π ≠ π
41 hashprg 14412 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2))
4213, 12, 41mp2an 690 . . . . . . 7 (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2)
4340, 42mpbi 229 . . . . . 6 (♯‘{-π, π}) = 2
4410elexi 3484 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ V
45 ovex 7457 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ∈ V
46 difexg 5334 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∈ V → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V
4844, 47unex 7754 . . . . . . . . 9 ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ V
499, 48eqeltri 2822 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
50 negex 11508 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ V
5150tpid1 4777 . . . . . . . . . 10 -π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
5212elexi 3484 . . . . . . . . . . 11 π ∈ V
5352tpid2 4779 . . . . . . . . . 10 π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
54 prssi 4830 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)} ∧ π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}) → {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)})
5551, 53, 54mp2an 690 . . . . . . . . 9 {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)}
56 ssun1 4173 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
5756, 9sseqtrri 4017 . . . . . . . . 9 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ 𝐻
5855, 57sstri 3989 . . . . . . . 8 {-π, π} ⊆ 𝐻
59 hashss 14426 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-π, π} ⊆ 𝐻) → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6049, 58, 59mp2an 690 . . . . . . 7 (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻)
6160a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6243, 61eqbrtrrid 5189 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐻))
63 eluz2 12880 . . . . 5 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝐻)))
648, 39, 62, 63syl3anbrc 1340 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2))
65 uz2m1nn 12959 . . . 4 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
6664, 65syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
676, 66eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6813a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
6912a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → π ∈ ℝ)
70 negpitopissre 26567 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,]π) ⊆ ℝ
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π < π)
72 picn 26487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℂ
73722timesi 12402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) = (π + π)
7472, 72subnegi 11589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π − -π) = (π + π)
7573, 2, 743eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (π − -π)
76 fourierdlem102.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
7768, 69, 71, 75, 76fourierdlem4 45732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸:ℝ⟶(-π(,]π))
7877, 4ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π(,]π))
7970, 78sselid 3977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8068, 69, 793jca 1125 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ))
81 fvex 6914 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝑋) ∈ V
8250, 52, 81tpss 4844 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) ↔ {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
8380, 82sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
84 iccssre 13460 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
8513, 12, 84mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) ⊆ ℝ
86 ssdifss 4135 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8883, 87unssd 4187 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ ℝ)
899, 88eqsstrid 4028 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
90 fourierdlem102.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9136, 89, 90, 6fourierdlem36 45764 . . . . . 6 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
92 isof1o 7335 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻)
93 f1of 6843 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9491, 92, 933syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9594, 89fssd 6745 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
96 reex 11249 . . . . 5 ℝ ∈ V
97 ovex 7457 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
9896, 97elmap 8900 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9995, 98sylibr 233 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
100 fveq2 6901 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
101100adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
10295ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
103102leidd 11830 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
104103adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
105101, 104eqbrtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
106 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
107106zred 12718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
108107ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
109 elfzle1 13558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
110109ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
111 neqne 2938 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 0 = 𝑖 → 0 ≠ 𝑖)
112111necomd 2986 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 = 𝑖𝑖 ≠ 0)
113112adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ≠ 0)
114108, 110, 113ne0gt0d 11401 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 < 𝑖)
115 nnssnn0 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ⊆ ℕ0
116 nn0uz 12916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
117115, 116sseqtri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ⊆ (ℤ‘0)
118117, 67sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
119 eluzfz1 13562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
12194, 120ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ 𝐻)
12289, 121sseldd 3980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
123122ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
124102adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
125 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 0 < 𝑖)
12691ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
127120anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
129 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
130126, 128, 129syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
131125, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) < (𝑄𝑖))
132123, 124, 131ltled 11412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
133114, 132syldan 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
134105, 133pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
135134adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
136 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄𝑖) = -π)
137135, 136breqtrd 5179 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ -π)
13868rexrd 11314 . . . . . . . 8 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
13969rexrd 11314 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
140 lbicc2 13495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → -π ∈ (-π[,]π))
14114, 15, 21, 140mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ (-π[,]π)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ (-π[,]π))
143 ubicc2 13496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → π ∈ (-π[,]π))
14414, 15, 21, 143mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ (-π[,]π)
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ (-π[,]π))
146 iocssicc 13468 . . . . . . . . . . . . 13 (-π(,]π) ⊆ (-π[,]π)
147146, 78sselid 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π))
148 tpssi 4845 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ (-π[,]π) ∧ π ∈ (-π[,]π) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π)) → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
149142, 145, 147, 148syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
150 difssd 4132 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ (-π[,]π))
151149, 150unssd 4187 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ (-π[,]π))
1529, 151eqsstrid 4028 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ⊆ (-π[,]π))
153152, 121sseldd 3980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π))
154 iccgelb 13434 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ (𝑄‘0))
155138, 139, 153, 154syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → -π ≤ (𝑄‘0))
156155ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ≤ (𝑄‘0))
157122ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
15813a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ∈ ℝ)
159157, 158letri3d 11406 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → ((𝑄‘0) = -π ↔ ((𝑄‘0) ≤ -π ∧ -π ≤ (𝑄‘0))))
160137, 156, 159mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) = -π)
16157, 51sselii 3976 . . . . . . 7 -π ∈ 𝐻
162 f1ofo 6850 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
16392, 162syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
164 forn 6818 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻 → ran 𝑄 = 𝐻)
16591, 163, 1643syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
166161, 165eleqtrrid 2833 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ran 𝑄)
167 ffn 6728 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
168 fvelrnb 6963 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
16994, 167, 1683syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
170166, 169mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π)
171160, 170r19.29a 3152 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
17257, 53sselii 3976 . . . . . . 7 π ∈ 𝐻
173172, 165eleqtrrid 2833 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ran 𝑄)
174 fvelrnb 6963 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
17594, 167, 1743syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
176173, 175mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π)
17794, 152fssd 6745 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
178 eluzfz2 13563 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
179118, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
180177, 179ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π))
181 iccleub 13433 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π)) → (𝑄𝑀) ≤ π)
182138, 139, 180, 181syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≤ π)
1831823ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ≤ π)
184 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑖) = π)
185184eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖) = π → π = (𝑄𝑖))
1861853ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π = (𝑄𝑖))
187103adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
188 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
189188adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
190187, 189breqtrd 5179 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
191107ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
192 elfzel2 13553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
193192zred 12718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
194193ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
195 elfzle2 13559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖𝑀)
196195ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖𝑀)
197 neqne 2938 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 = 𝑀𝑖𝑀)
198197necomd 2986 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 = 𝑀𝑀𝑖)
199198adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀𝑖)
200191, 194, 196, 199leneltd 11418 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
201102adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
20285, 180sselid 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
203202ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
204 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
20591ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
206 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
207179adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
208206, 207jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
209208adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
210 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
211205, 209, 210syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
212204, 211mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀))
213201, 203, 212ltled 11412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
214200, 213syldan 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
215190, 214pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
2162153adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
217186, 216eqbrtrd 5175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ≤ (𝑄𝑀))
2182023ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
21912a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ∈ ℝ)
220218, 219letri3d 11406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → ((𝑄𝑀) = π ↔ ((𝑄𝑀) ≤ π ∧ π ≤ (𝑄𝑀))))
221183, 217, 220mpbir2and 711 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) = π)
222221rexlimdv3a 3149 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑀) = π))
223176, 222mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
224 elfzoelz 13686 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
225224zred 12718 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
226225ltp1d 12196 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
227226adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
228 elfzofz 13702 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
229 fzofzp1 13784 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
230228, 229jca 510 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
231 isorel 7338 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23291, 230, 231syl2an 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
233227, 232mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
234233ralrimiva 3136 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
235171, 223, 234jca31 513 . . 3 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2365fourierdlem2 45730 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23767, 236syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23899, 235, 237mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
239 fourierdlem102.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
240239reseq1i 5985 . . . 4 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
24114a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
24215a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
243177adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
244 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
245241, 242, 243, 244fourierdlem27 45755 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
246245resabs1d 6017 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
247240, 246eqtr2id 2779 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
248 fourierdlem102.gcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
249248, 5, 67, 238, 9, 165fourierdlem38 45766 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
250247, 249eqeltrd 2826 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
251247oveq1d 7439 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
252248adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
253 fourierdlem102.rlim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
254253adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
255 fourierdlem102.llim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
256255adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
25791adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
258257, 92, 933syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
25979adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
260257, 163, 1643syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran 𝑄 = 𝐻)
261252, 254, 256, 257, 258, 244, 233, 245, 259, 9, 260fourierdlem46 45773 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅ ∧ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅))
262261simpld 493 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
263251, 262eqnetrd 2998 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
264247oveq1d 7439 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
265261simprd 494 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
266264, 265eqnetrd 2998 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
2671, 2, 3, 4, 5, 67, 238, 250, 263, 266fourierdlem94 45821 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  c0 4325  {cpr 4635  {ctp 4637   class class class wbr 5153  cmpt 5236  dom cdm 5682  ran crn 5683  cres 5684  cio 6504   Fn wfn 6549  wf 6550  ontowfo 6552  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554   Isom wiso 6555  (class class class)co 7424  m cmap 8855  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  [,)cico 13380  [,]cicc 13381  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  cfl 13810  chash 14347  πcpi 16068  cnccncf 24887   lim climc 25882   D cdv 25883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887
This theorem is referenced by:  fourierdlem106  45833
  Copyright terms: Public domain W3C validator