Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem102 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem102 44523
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem102.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem102.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourierdlem102.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem102.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fourierdlem102.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem102.gcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fourierdlem102.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourierdlem102.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourierdlem102.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem102.p 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem102.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
fourierdlem102.h 𝐻 = ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
fourierdlem102.m 𝑀 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
fourierdlem102.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem102 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ∧ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑖,𝐺,π‘₯   𝑔,𝐻   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑄   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑋   πœ‘,𝑔   πœ‘,𝑖,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(π‘₯,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem102
StepHypRef Expression
1 fourierdlem102.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourierdlem102.t . 2 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fourierdlem102.per . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fourierdlem102.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem102.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem102.m . . 3 𝑀 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
7 2z 12542 . . . . . 6 2 ∈ β„€
87a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
9 fourierdlem102.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
10 tpfi 9274 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin)
12 pire 25831 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ
1312renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ∈ ℝ
1413rexri 11220 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ ℝ*
1512rexri 11220 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ*
16 negpilt0 43588 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ < 0
17 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < Ο€
18 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
1913, 18, 12lttri 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ < 0 ∧ 0 < Ο€) β†’ -Ο€ < Ο€)
2016, 17, 19mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ < Ο€
2113, 12, 20ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ≀ Ο€
22 prunioo 13405 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) = (-Ο€[,]Ο€))
2314, 15, 21, 22mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) = (-Ο€[,]Ο€)
2423difeq1i 4083 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) βˆ– dom 𝐺) = ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)
25 difundir 4245 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) βˆ– dom 𝐺) = (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺))
2624, 25eqtr3i 2767 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) = (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺))
27 fourierdlem102.dmdv . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
28 prfi 9273 . . . . . . . . . . . 12 {-Ο€, Ο€} ∈ Fin
29 diffi 9130 . . . . . . . . . . . 12 ({-Ο€, Ο€} ∈ Fin β†’ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
3028, 29mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
31 unfi 9123 . . . . . . . . . . 11 ((((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin) β†’ (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3227, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3326, 32eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
34 unfi 9123 . . . . . . . . 9 (({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin ∧ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin) β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3511, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
369, 35eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Fin)
37 hashcl 14263 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•0)
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•0)
3938nn0zd 12532 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„€)
4013, 20ltneii 11275 . . . . . . 7 -Ο€ β‰  Ο€
41 hashprg 14302 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2))
4213, 12, 41mp2an 691 . . . . . . 7 (-Ο€ β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2)
4340, 42mpbi 229 . . . . . 6 (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2
4410elexi 3467 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ V
45 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]Ο€) ∈ V
46 difexg 5289 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€[,]Ο€) ∈ V β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ V)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ V
4844, 47unex 7685 . . . . . . . . 9 ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ V
499, 48eqeltri 2834 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
50 negex 11406 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ V
5150tpid1 4734 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
5212elexi 3467 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ V
5352tpid2 4736 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
54 prssi 4786 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∧ Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}) β†’ {-Ο€, Ο€} βŠ† {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)})
5551, 53, 54mp2an 691 . . . . . . . . 9 {-Ο€, Ο€} βŠ† {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
56 ssun1 4137 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
5756, 9sseqtrri 3986 . . . . . . . . 9 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† 𝐻
5855, 57sstri 3958 . . . . . . . 8 {-Ο€, Ο€} βŠ† 𝐻
59 hashss 14316 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-Ο€, Ο€} βŠ† 𝐻) β†’ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»))
6049, 58, 59mp2an 691 . . . . . . 7 (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»)
6160a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»))
6243, 61eqbrtrrid 5146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π»))
63 eluz2 12776 . . . . 5 ((β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π») ∈ β„€ ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π»)))
648, 39, 62, 63syl3anbrc 1344 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
65 uz2m1nn 12855 . . . 4 ((β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 1) ∈ β„•)
6664, 65syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 1) ∈ β„•)
676, 66eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6813a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
6912a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
70 negpitopissre 25912 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† ℝ
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -Ο€ < Ο€)
72 picn 25832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ β„‚
73722timesi 12298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
7472, 72subnegi 11487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ο€ βˆ’ -Ο€) = (Ο€ + Ο€)
7573, 2, 743eqtr4i 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (Ο€ βˆ’ -Ο€)
76 fourierdlem102.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
7768, 69, 71, 75, 76fourierdlem4 44426 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„βŸΆ(-Ο€(,]Ο€))
7877, 4ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€(,]Ο€))
7970, 78sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
8068, 69, 793jca 1129 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ))
81 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (πΈβ€˜π‘‹) ∈ V
8250, 52, 81tpss 4800 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) ↔ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ℝ)
8380, 82sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ℝ)
84 iccssre 13353 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
8513, 12, 84mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
86 ssdifss 4100 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† ℝ)
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† ℝ)
8883, 87unssd 4151 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) βŠ† ℝ)
899, 88eqsstrid 3997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ℝ)
90 fourierdlem102.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9136, 89, 90, 6fourierdlem36 44458 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
92 isof1o 7273 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) β†’ 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻)
93 f1of 6789 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻 β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
9491, 92, 933syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
9594, 89fssd 6691 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
96 reex 11149 . . . . 5 ℝ ∈ V
97 ovex 7395 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
9896, 97elmap 8816 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
9995, 98sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
100 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜π‘–))
101100adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜π‘–))
10295ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
103102leidd 11728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
104103adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
105101, 104eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
106 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
107106zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
108107ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
109 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑖)
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 0 ≀ 𝑖)
111 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 0 = 𝑖 β†’ 0 β‰  𝑖)
112111necomd 3000 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 0 = 𝑖 β†’ 𝑖 β‰  0)
113112adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 𝑖 β‰  0)
114108, 110, 113ne0gt0d 11299 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 0 < 𝑖)
115 nnssnn0 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• βŠ† β„•0
116 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
117115, 116sseqtri 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
118117, 67sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
119 eluzfz1 13455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
12194, 120ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ 𝐻)
12289, 121sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
123122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
124102adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
125 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ 0 < 𝑖)
12691ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
127120anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
129 isorel 7276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) β†’ (0 < 𝑖 ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–)))
130126, 128, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (0 < 𝑖 ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–)))
131125, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–))
132123, 124, 131ltled 11310 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
133114, 132syldan 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
134105, 133pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
135134adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
136 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€)
137135, 136breqtrd 5136 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ -Ο€)
13868rexrd 11212 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
13969rexrd 11212 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
140 lbicc2 13388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
14114, 15, 21, 140mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
143 ubicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
14414, 15, 21, 143mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€)
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
146 iocssicc 13361 . . . . . . . . . . . . 13 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
147146, 78sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
148 tpssi 4801 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
149142, 145, 147, 148syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
150 difssd 4097 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
151149, 150unssd 4151 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
1529, 151eqsstrid 3997 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
153152, 121sseldd 3950 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
154 iccgelb 13327 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜0) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
155138, 139, 153, 154syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
156155ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
157122ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
15813a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
159157, 158letri3d 11304 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ ((π‘„β€˜0) = -Ο€ ↔ ((π‘„β€˜0) ≀ -Ο€ ∧ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))))
160137, 156, 159mpbir2and 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
16157, 51sselii 3946 . . . . . . 7 -Ο€ ∈ 𝐻
162 f1ofo 6796 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻 β†’ 𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻)
16392, 162syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) β†’ 𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻)
164 forn 6764 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻 β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
16591, 163, 1643syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
166161, 165eleqtrrid 2845 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ran 𝑄)
167 ffn 6673 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻 β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
168 fvelrnb 6908 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (-Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€))
16994, 167, 1683syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€))
170166, 169mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€)
171160, 170r19.29a 3160 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
17257, 53sselii 3946 . . . . . . 7 Ο€ ∈ 𝐻
173172, 165eleqtrrid 2845 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ran 𝑄)
174 fvelrnb 6908 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€))
17594, 167, 1743syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€))
176173, 175mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€)
17794, 152fssd 6691 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
178 eluzfz2 13456 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
179118, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
180177, 179ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
181 iccleub 13326 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
182138, 139, 180, 181syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
1831823ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
184 id 22 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€)
185184eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ Ο€ = (π‘„β€˜π‘–))
1861853ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ = (π‘„β€˜π‘–))
187103adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
188 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
189188adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
190187, 189breqtrd 5136 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
191107ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
192 elfzel2 13446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
193192zred 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
194193ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
195 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
196195ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
197 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑖 = 𝑀 β†’ 𝑖 β‰  𝑀)
198197necomd 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑖 = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  𝑖)
199198adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑀 β‰  𝑖)
200191, 194, 196, 199leneltd 11316 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
201102adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
20285, 180sselid 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
203202ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
204 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
20591ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
206 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
207179adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
208206, 207jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
209208adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
210 isorel 7276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€)))
211205, 209, 210syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€)))
212204, 211mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€))
213201, 203, 212ltled 11310 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
214200, 213syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
215190, 214pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
2162153adant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
217186, 216eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ ≀ (π‘„β€˜π‘€))
2182023ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
21912a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
220218, 219letri3d 11304 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ ((π‘„β€˜π‘€) = Ο€ ↔ ((π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€ ∧ Ο€ ≀ (π‘„β€˜π‘€))))
221183, 217, 220mpbir2and 712 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
222221rexlimdv3a 3157 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€))
223176, 222mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
224 elfzoelz 13579 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
225224zred 12614 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
226225ltp1d 12092 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
227226adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
228 elfzofz 13595 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
229 fzofzp1 13676 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
230228, 229jca 513 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
231 isorel 7276 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
23291, 230, 231syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
233227, 232mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
234233ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
235171, 223, 234jca31 516 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
2365fourierdlem2 44424 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
23767, 236syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
23899, 235, 237mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
239 fourierdlem102.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
240239reseq1i 5938 . . . 4 (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
24114a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
24215a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
243177adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
244 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
245241, 242, 243, 244fourierdlem27 44449 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€(,)Ο€))
246245resabs1d 5973 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
247240, 246eqtr2id 2790 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
248 fourierdlem102.gcn . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
249248, 5, 67, 238, 9, 165fourierdlem38 44460 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
250247, 249eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
251247oveq1d 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
252248adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
253 fourierdlem102.rlim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
254253adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
255 fourierdlem102.llim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
256255adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
25791adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
258257, 92, 933syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
25979adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
260257, 163, 1643syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
261252, 254, 256, 257, 258, 244, 233, 245, 259, 9, 260fourierdlem46 44467 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ… ∧ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…))
262261simpld 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ…)
263251, 262eqnetrd 3012 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ…)
264247oveq1d 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
265261simprd 497 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…)
266264, 265eqnetrd 3012 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…)
2671, 2, 3, 4, 5, 67, 238, 250, 263, 266fourierdlem94 44515 1 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ… ∧ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {cpr 4593  {ctp 4595   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β„©cio 6451   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501   Isom wiso 6502  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  (,)cioo 13271  (,]cioc 13272  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702  β™―chash 14237  Ο€cpi 15956  β€“cnβ†’ccncf 24255   limβ„‚ climc 25242   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem106  44527
  Copyright terms: Public domain W3C validator