Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem102 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem102 40898
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem102.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem102.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem102.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem102.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem102.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem102.gcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem102.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem102.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem102.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem102.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem102.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem102.h 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
fourierdlem102.m 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem102.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem102 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑔   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem102
StepHypRef Expression
1 fourierdlem102.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem102.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem102.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem102.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem102.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem102.m . . 3 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
7 2z 11669 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
9 fourierdlem102.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
10 tpfi 8469 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin)
12 pire 24419 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
1312renegcli 10621 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
1413rexri 10376 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ*
1512rexri 10376 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ*
16 negpilt0 39968 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π < 0
17 pipos 24421 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
18 0re 10321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
1913, 18, 12lttri 10442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
2016, 17, 19mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . 14 -π < π
2113, 12, 20ltleii 10439 . . . . . . . . . . . . 13 -π ≤ π
22 prunioo 12518 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π))
2314, 15, 21, 22mp3an 1578 . . . . . . . . . . . 12 ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π)
2423difeq1i 3917 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)
25 difundir 4076 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
2624, 25eqtr3i 2826 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
27 fourierdlem102.dmdv . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
28 prfi 8468 . . . . . . . . . . . 12 {-π, π} ∈ Fin
29 diffi 8425 . . . . . . . . . . . 12 ({-π, π} ∈ Fin → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
3028, 29mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
31 unfi 8460 . . . . . . . . . . 11 ((((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3227, 30, 31syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3326, 32syl5eqel 2885 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
34 unfi 8460 . . . . . . . . 9 (({-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin ∧ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3511, 33, 34syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
369, 35syl5eqel 2885 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
37 hashcl 13359 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 11740 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
4013, 20ltneii 10429 . . . . . . 7 -π ≠ π
41 hashprg 13394 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2))
4213, 12, 41mp2an 675 . . . . . . 7 (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2)
4340, 42mpbi 221 . . . . . 6 (♯‘{-π, π}) = 2
4410elexi 3403 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ V
45 ovex 6900 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ∈ V
46 difexg 4997 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∈ V → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V
4844, 47unex 7180 . . . . . . . . 9 ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ V
499, 48eqeltri 2877 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
50 negex 10558 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ V
5150tpid1 4488 . . . . . . . . . 10 -π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
5212elexi 3403 . . . . . . . . . . 11 π ∈ V
5352tpid2 4489 . . . . . . . . . 10 π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
54 prssi 4536 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)} ∧ π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}) → {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)})
5551, 53, 54mp2an 675 . . . . . . . . 9 {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)}
56 ssun1 3969 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
5756, 9sseqtr4i 3829 . . . . . . . . 9 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ 𝐻
5855, 57sstri 3801 . . . . . . . 8 {-π, π} ⊆ 𝐻
59 hashss 13408 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-π, π} ⊆ 𝐻) → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6049, 58, 59mp2an 675 . . . . . . 7 (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻)
6160a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6243, 61syl5eqbrr 4873 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐻))
63 eluz2 11904 . . . . 5 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝐻)))
648, 39, 62, 63syl3anbrc 1436 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2))
65 uz2m1nn 11976 . . . 4 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
6664, 65syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
676, 66syl5eqel 2885 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6813a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
6912a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → π ∈ ℝ)
70 negpitopissre 24495 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,]π) ⊆ ℝ
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π < π)
72 picn 24420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℂ
73722timesi 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) = (π + π)
7472, 72subnegi 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π − -π) = (π + π)
7573, 2, 743eqtr4i 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (π − -π)
76 fourierdlem102.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
7768, 69, 71, 75, 76fourierdlem4 40801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸:ℝ⟶(-π(,]π))
7877, 4ffvelrnd 6576 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π(,]π))
7970, 78sseldi 3790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8068, 69, 793jca 1151 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ))
81 fvex 6415 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝑋) ∈ V
8250, 52, 81tpss 4550 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) ↔ {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
8380, 82sylib 209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
84 iccssre 12467 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
8513, 12, 84mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) ⊆ ℝ
86 ssdifss 3934 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8883, 87unssd 3982 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ ℝ)
899, 88syl5eqss 3840 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
90 fourierdlem102.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9136, 89, 90, 6fourierdlem36 40833 . . . . . 6 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
92 isof1o 6791 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻)
93 f1of 6347 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9491, 92, 933syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9594, 89fssd 6264 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
96 reex 10306 . . . . 5 ℝ ∈ V
97 ovex 6900 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
9896, 97elmap 8115 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9995, 98sylibr 225 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
100 fveq2 6402 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
101100adantl 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
10295ffvelrnda 6575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
103102leidd 10873 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
104103adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
105101, 104eqbrtrd 4859 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
106 elfzelz 12559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
107106zred 11742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
108107ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
109 elfzle1 12561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
110109ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
111 neqne 2982 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 0 = 𝑖 → 0 ≠ 𝑖)
112111necomd 3029 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 = 𝑖𝑖 ≠ 0)
113112adantl 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ≠ 0)
114108, 110, 113ne0gt0d 10453 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 < 𝑖)
115 nnssnn0 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ⊆ ℕ0
116 nn0uz 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
117115, 116sseqtri 3828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ⊆ (ℤ‘0)
118117, 67sseldi 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
119 eluzfz1 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
12194, 120ffvelrnd 6576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ 𝐻)
12289, 121sseldd 3793 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
123122ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
124102adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
125 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 0 < 𝑖)
12691ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
127120anim1i 604 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
128127adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
129 isorel 6794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
130126, 128, 129syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
131125, 130mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) < (𝑄𝑖))
132123, 124, 131ltled 10464 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
133114, 132syldan 581 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
134105, 133pm2.61dan 838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
135134adantr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
136 simpr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄𝑖) = -π)
137135, 136breqtrd 4863 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ -π)
13868rexrd 10368 . . . . . . . 8 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
13969rexrd 10368 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
140 lbicc2 12502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → -π ∈ (-π[,]π))
14114, 15, 21, 140mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ (-π[,]π)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ (-π[,]π))
143 ubicc2 12503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → π ∈ (-π[,]π))
14414, 15, 21, 143mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ (-π[,]π)
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ (-π[,]π))
146 iocssicc 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (-π(,]π) ⊆ (-π[,]π)
147146, 78sseldi 3790 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π))
148 tpssi 4551 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ (-π[,]π) ∧ π ∈ (-π[,]π) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π)) → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
149142, 145, 147, 148syl3anc 1483 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
150 difssd 3931 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ (-π[,]π))
151149, 150unssd 3982 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ (-π[,]π))
1529, 151syl5eqss 3840 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ⊆ (-π[,]π))
153152, 121sseldd 3793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π))
154 iccgelb 12442 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ (𝑄‘0))
155138, 139, 153, 154syl3anc 1483 . . . . . . 7 (𝜑 → -π ≤ (𝑄‘0))
156155ad2antrr 708 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ≤ (𝑄‘0))
157122ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
15813a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ∈ ℝ)
159157, 158letri3d 10458 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → ((𝑄‘0) = -π ↔ ((𝑄‘0) ≤ -π ∧ -π ≤ (𝑄‘0))))
160137, 156, 159mpbir2and 695 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) = -π)
16157, 51sselii 3789 . . . . . . 7 -π ∈ 𝐻
162 f1ofo 6354 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
16392, 162syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
164 forn 6328 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻 → ran 𝑄 = 𝐻)
16591, 163, 1643syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
166161, 165syl5eleqr 2888 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ran 𝑄)
167 ffn 6250 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
168 fvelrnb 6458 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
16994, 167, 1683syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
170166, 169mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π)
171160, 170r19.29a 3262 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
17257, 53sselii 3789 . . . . . . 7 π ∈ 𝐻
173172, 165syl5eleqr 2888 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ran 𝑄)
174 fvelrnb 6458 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
17594, 167, 1743syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
176173, 175mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π)
17794, 152fssd 6264 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
178 eluzfz2 12566 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
179118, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
180177, 179ffvelrnd 6576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π))
181 iccleub 12441 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π)) → (𝑄𝑀) ≤ π)
182138, 139, 180, 181syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≤ π)
1831823ad2ant1 1156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ≤ π)
184 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑖) = π)
185184eqcomd 2808 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖) = π → π = (𝑄𝑖))
1861853ad2ant3 1158 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π = (𝑄𝑖))
187103adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
188 fveq2 6402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
189188adantl 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
190187, 189breqtrd 4863 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
191107ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
192 elfzel2 12557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
193192zred 11742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
194193ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
195 elfzle2 12562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖𝑀)
196195ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖𝑀)
197 neqne 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 = 𝑀𝑖𝑀)
198197necomd 3029 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 = 𝑀𝑀𝑖)
199198adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀𝑖)
200191, 194, 196, 199leneltd 10470 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
201102adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
20285, 180sseldi 3790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
203202ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
204 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
20591ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
206 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
207179adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
208206, 207jca 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
209208adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
210 isorel 6794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
211205, 209, 210syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
212204, 211mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀))
213201, 203, 212ltled 10464 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
214200, 213syldan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
215190, 214pm2.61dan 838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
2162153adant3 1155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
217186, 216eqbrtrd 4859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ≤ (𝑄𝑀))
2182023ad2ant1 1156 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
21912a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ∈ ℝ)
220218, 219letri3d 10458 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → ((𝑄𝑀) = π ↔ ((𝑄𝑀) ≤ π ∧ π ≤ (𝑄𝑀))))
221183, 217, 220mpbir2and 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) = π)
222221rexlimdv3a 3217 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑀) = π))
223176, 222mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
224 elfzoelz 12688 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
225224zred 11742 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
226225ltp1d 11233 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
227226adantl 469 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
228 elfzofz 12703 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
229 fzofzp1 12783 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
230228, 229jca 503 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
231 isorel 6794 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23291, 230, 231syl2an 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
233227, 232mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
234233ralrimiva 3150 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
235171, 223, 234jca31 506 . . 3 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2365fourierdlem2 40799 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23767, 236syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23899, 235, 237mpbir2and 695 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
239 fourierdlem102.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
240239reseq1i 5587 . . . 4 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
24114a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
24215a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
243177adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
244 simpr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
245241, 242, 243, 244fourierdlem27 40824 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
246245resabs1d 5625 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
247240, 246syl5req 2849 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
248 fourierdlem102.gcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
249248, 5, 67, 238, 9, 165fourierdlem38 40835 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
250247, 249eqeltrd 2881 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
251247oveq1d 6883 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
252248adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
253 fourierdlem102.rlim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
254253adantlr 697 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
255 fourierdlem102.llim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
256255adantlr 697 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
25791adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
258257, 92, 933syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
25979adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
260257, 163, 1643syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran 𝑄 = 𝐻)
261252, 254, 256, 257, 258, 244, 233, 245, 259, 9, 260fourierdlem46 40842 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅ ∧ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅))
262261simpld 484 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
263251, 262eqnetrd 3041 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
264247oveq1d 6883 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
265261simprd 485 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
266264, 265eqnetrd 3041 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
2671, 2, 3, 4, 5, 67, 238, 250, 263, 266fourierdlem94 40890 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  wrex 3093  {crab 3096  Vcvv 3387  cdif 3760  cun 3761  wss 3763  c0 4110  {cpr 4366  {ctp 4368   class class class wbr 4837  cmpt 4916  dom cdm 5305  ran crn 5306  cres 5307  cio 6056   Fn wfn 6090  wf 6091  ontowfo 6093  1-1-ontowf1o 6094  cfv 6095   Isom wiso 6096  (class class class)co 6868  𝑚 cmap 8086  Fincfn 8186  cc 10213  cr 10214  0cc0 10215  1c1 10216   + caddc 10218   · cmul 10220  +∞cpnf 10350  -∞cmnf 10351  *cxr 10352   < clt 10353  cle 10354  cmin 10545  -cneg 10546   / cdiv 10963  cn 11299  2c2 11350  0cn0 11553  cz 11637  cuz 11898  (,)cioo 12387  (,]cioc 12388  [,)cico 12389  [,]cicc 12390  ...cfz 12543  ..^cfzo 12683  cfl 12809  chash 13331  πcpi 15011  cnccncf 22886   lim climc 23834   D cdv 23835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293  ax-addf 10294  ax-mulf 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-supp 7524  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-2o 7791  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-pm 8089  df-ixp 8140  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fsupp 8509  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-cda 9269  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-xnn0 11624  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-ioo 12391  df-ioc 12392  df-ico 12393  df-icc 12394  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-fl 12811  df-seq 13019  df-exp 13078  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14024  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-limsup 14419  df-clim 14436  df-rlim 14437  df-sum 14634  df-ef 15012  df-sin 15014  df-cos 15015  df-pi 15017  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-sca 16163  df-vsca 16164  df-ip 16165  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-hom 16171  df-cco 16172  df-rest 16282  df-topn 16283  df-0g 16301  df-gsum 16302  df-topgen 16303  df-pt 16304  df-prds 16307  df-xrs 16361  df-qtop 16366  df-imas 16367  df-xps 16369  df-mre 16445  df-mrc 16446  df-acs 16448  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17945  df-cmn 18390  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20906  df-topon 20923  df-topsp 20945  df-bases 20958  df-cld 21031  df-ntr 21032  df-cls 21033  df-nei 21110  df-lp 21148  df-perf 21149  df-cn 21239  df-cnp 21240  df-haus 21327  df-cmp 21398  df-tx 21573  df-hmeo 21766  df-fil 21857  df-fm 21949  df-flim 21950  df-flf 21951  df-xms 22332  df-ms 22333  df-tms 22334  df-cncf 22888  df-limc 23838  df-dv 23839
This theorem is referenced by:  fourierdlem106  40902
  Copyright terms: Public domain W3C validator