Theorem prfi 9290

Description: An unordered pair is finite. For a shorter proof using ax-un 7742, see prfiALT 9291. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-11 2195, ax-un 7742. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4733	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
2		snfi 9047	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2873	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4		prprc2 4734	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5		snfi 9047	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6	4, 5	eqeltrdi 2873	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		2onn 8634	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
8		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
10		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
11	8, 9, 10	enpr2d 9052	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12		breq2 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
13	12	rspcev 3583	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
14	7, 11, 13	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
15		isfi 8978	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
17	16	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
18		dfsn2 4604	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
19		preq2 4702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
20	18, 19	eqtr2id 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21	20, 5	eqeltrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
22	17, 21	pm2.61d2 183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
23	3, 6, 22	ecase 1049	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5111  ωcom 7868  2_oc2o 8453   ≈ cen 8946  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-om 7869  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8950  df-fin 8953

This theorem is used by:  tpfi  9292  fiint  9293  inelfi  9385  tskpr  10772  hashpw  14493  hashfun  14494  pr2pwpr  14536  hashtpg  14542  hash3tpexb  14551  sumpr  15824  lcmfpr  16709  prmreclem2  17001  acsfn2  17743  isdrs2  18386  efmnd2hash  18992  symg2hash  19508  psgnprfval  19637  gsumpr  20071  znidomb  21763  m2detleib  22840  ovolioo  25780  i1f1  25902  itgioo  26028  limcun  26107  aannenlem2  26545  wilthlem2  27286  perfectlem2  27447  upgrex  29499  ex-hash  30877  prodpr  33242  linds2eq  33760  elrspunsn  33803  constrfin  34202  constrllcllem  34208  constrlccllem  34209  inelpisys  34611  coinfliplem  34936  coinflippv  34941  subfacp1lem1  35710  poimirlem9  38339  kelac2lem  43851  sumpair  45815  refsum2cnlem1  45817  climxlim2lem  46619  ibliooicc  46745  fourierdlem50  46930  fourierdlem51  46931  fourierdlem54  46934  fourierdlem70  46950  fourierdlem71  46951  fourierdlem76  46956  fourierdlem102  46982  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984  fourierdlem114  46994  saluncl  47091  sge0pr  47168  meadjun  47236  omeunle  47290  perfectALTVlem2  48547  gpgorder  48884  zlmodzxzel  49194  ldepspr  49312  zlmodzxzldeplem2  49340  rrx2line  49579  2sphere  49588