Theorem prfi 9318

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4630	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 9040	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 9040	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 9168	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2829	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945  {csn 4627  {cpr 4629  Fincfn 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-en 8936  df-fin 8939

This theorem is referenced by:  tpfi  9319  fiint  9320  inelfi  9409  tskpr  10761  hashpw  14392  hashfun  14393  pr2pwpr  14436  hashtpg  14442  sumpr  15690  lcmfpr  16560  prmreclem2  16846  acsfn2  17603  isdrs2  18255  efmnd2hash  18771  symg2hash  19253  psgnprfval  19383  gsumpr  19817  znidomb  21108  m2detleib  22124  ovolioo  25076  i1f1  25198  itgioo  25324  limcun  25403  aannenlem2  25833  wilthlem2  26562  perfectlem2  26722  upgrex  28341  ex-hash  29695  prodpr  32019  linds2eq  32485  elrspunsn  32535  inelpisys  33140  coinfliplem  33465  coinflippv  33470  subfacp1lem1  34158  poimirlem9  36485  kelac2lem  41791  sumpair  43704  refsum2cnlem1  43706  climxlim2lem  44547  ibliooicc  44673  fourierdlem50  44858  fourierdlem51  44859  fourierdlem54  44862  fourierdlem70  44878  fourierdlem71  44879  fourierdlem76  44884  fourierdlem102  44910  fourierdlem103  44911  fourierdlem104  44912  fourierdlem114  44922  saluncl  45019  sge0pr  45096  meadjun  45164  omeunle  45218  perfectALTVlem2  46376  zlmodzxzel  46984  ldepspr  47107  zlmodzxzldeplem2  47135  rrx2line  47379  2sphere  47388