Theorem prfi 8946

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4544	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8721	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8721	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8850	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2834	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3864  {csn 4541  {cpr 4543  Fincfn 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1o 8202  df-en 8627  df-fin 8630

This theorem is referenced by:  tpfi  8947  fiint  8948  inelfi  9034  tskpr  10384  hashpw  14003  hashfun  14004  pr2pwpr  14045  hashtpg  14051  sumpr  15312  lcmfpr  16184  prmreclem2  16470  acsfn2  17166  isdrs2  17813  efmnd2hash  18321  symg2hash  18784  psgnprfval  18913  gsumpr  19340  znidomb  20526  m2detleib  21528  ovolioo  24465  i1f1  24587  itgioo  24713  limcun  24792  aannenlem2  25222  wilthlem2  25951  perfectlem2  26111  upgrex  27183  ex-hash  28536  prodpr  30860  linds2eq  31289  inelpisys  31834  coinfliplem  32157  coinflippv  32162  subfacp1lem1  32854  poimirlem9  35523  kelac2lem  40592  sumpair  42251  refsum2cnlem1  42253  climxlim2lem  43061  ibliooicc  43187  fourierdlem50  43372  fourierdlem51  43373  fourierdlem54  43376  fourierdlem70  43392  fourierdlem71  43393  fourierdlem76  43398  fourierdlem102  43424  fourierdlem103  43425  fourierdlem104  43426  fourierdlem114  43436  saluncl  43533  sge0pr  43607  meadjun  43675  omeunle  43729  perfectALTVlem2  44847  zlmodzxzel  45364  ldepspr  45487  zlmodzxzldeplem2  45515  rrx2line  45759  2sphere  45768