Theorem prfi 9250

Description: An unordered pair is finite. For a shorter proof using ax-un 7691, see prfiALT 9251. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-11 2158, ax-un 7691. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4725	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
2		snfi 8991	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4		prprc2 4726	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5		snfi 8991	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6	4, 5	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		2onn 8583	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
8		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
10		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
11	8, 9, 10	enpr2d 8997	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
13	12	rspcev 3585	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
14	7, 11, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
15		isfi 8924	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
17	16	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
18		dfsn2 4598	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
19		preq2 4694	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
20	18, 19	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21	20, 5	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
22	17, 21	pm2.61d2 181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
23	3, 6, 22	ecase 1033	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5102  ωcom 7822  2_oc2o 8405   ≈ cen 8892  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-om 7823  df-1o 8411  df-2o 8412  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  tpfi  9252  fiint  9253  fiintOLD  9254  inelfi  9345  tskpr  10699  hashpw  14377  hashfun  14378  pr2pwpr  14420  hashtpg  14426  hash3tpexb  14435  sumpr  15690  lcmfpr  16573  prmreclem2  16864  acsfn2  17600  isdrs2  18243  efmnd2hash  18797  symg2hash  19298  psgnprfval  19427  gsumpr  19861  znidomb  21447  m2detleib  22494  ovolioo  25445  i1f1  25567  itgioo  25693  limcun  25772  aannenlem2  26213  wilthlem2  26955  perfectlem2  27117  upgrex  28995  ex-hash  30355  prodpr  32724  linds2eq  33325  elrspunsn  33373  constrfin  33709  constrllcllem  33715  constrlccllem  33716  inelpisys  34117  coinfliplem  34443  coinflippv  34448  subfacp1lem1  35139  poimirlem9  37596  kelac2lem  43026  sumpair  45002  refsum2cnlem1  45004  climxlim2lem  45816  ibliooicc  45942  fourierdlem50  46127  fourierdlem51  46128  fourierdlem54  46131  fourierdlem70  46147  fourierdlem71  46148  fourierdlem76  46153  fourierdlem102  46179  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierdlem114  46191  saluncl  46288  sge0pr  46365  meadjun  46433  omeunle  46487  perfectALTVlem2  47696  gpgorder  48023  zlmodzxzel  48316  ldepspr  48435  zlmodzxzldeplem2  48463  rrx2line  48702  2sphere  48711