Theorem prfi 9333

Description: An unordered pair is finite. For a shorter proof using ax-un 7727, see prfiALT 9334. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-11 2157, ax-un 7727. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4741	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
2		snfi 9055	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4		prprc2 4742	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5		snfi 9055	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6	4, 5	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		2onn 8652	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
8		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
10		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
11	8, 9, 10	enpr2d 9061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
13	12	rspcev 3601	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
14	7, 11, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
15		isfi 8988	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
17	16	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
18		dfsn2 4614	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
19		preq2 4710	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
20	18, 19	eqtr2id 2783	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21	20, 5	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
22	17, 21	pm2.61d2 181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
23	3, 6, 22	ecase 1033	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ωcom 7859  2_oc2o 8472   ≈ cen 8954  Fincfn 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-om 7860  df-1o 8478  df-2o 8479  df-en 8958  df-fin 8961

This theorem is referenced by:  tpfi  9335  fiint  9336  fiintOLD  9337  inelfi  9428  tskpr  10782  hashpw  14452  hashfun  14453  pr2pwpr  14495  hashtpg  14501  hash3tpexb  14510  sumpr  15762  lcmfpr  16644  prmreclem2  16935  acsfn2  17673  isdrs2  18316  efmnd2hash  18870  symg2hash  19371  psgnprfval  19500  gsumpr  19934  znidomb  21520  m2detleib  22567  ovolioo  25519  i1f1  25641  itgioo  25767  limcun  25846  aannenlem2  26287  wilthlem2  27029  perfectlem2  27191  upgrex  29017  ex-hash  30380  prodpr  32751  linds2eq  33342  elrspunsn  33390  constrfin  33726  constrllcllem  33732  constrlccllem  33733  inelpisys  34131  coinfliplem  34457  coinflippv  34462  subfacp1lem1  35147  poimirlem9  37599  kelac2lem  43035  sumpair  45007  refsum2cnlem1  45009  climxlim2lem  45822  ibliooicc  45948  fourierdlem50  46133  fourierdlem51  46134  fourierdlem54  46137  fourierdlem70  46153  fourierdlem71  46154  fourierdlem76  46159  fourierdlem102  46185  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fourierdlem114  46197  saluncl  46294  sge0pr  46371  meadjun  46439  omeunle  46493  perfectALTVlem2  47684  gpgorder  48011  zlmodzxzel  48278  ldepspr  48397  zlmodzxzldeplem2  48425  rrx2line  48668  2sphere  48677