Theorem prfi 9213

Description: An unordered pair is finite. For a shorter proof using ax-un 7671, see prfiALT 9214. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-11 2158, ax-un 7671. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4717	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
2		snfi 8968	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4		prprc2 4718	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5		snfi 8968	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6	4, 5	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		2onn 8560	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
8		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
10		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
11	8, 9, 10	enpr2d 8974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12		breq2 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
13	12	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
14	7, 11, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
15		isfi 8901	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
17	16	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
18		dfsn2 4590	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
19		preq2 4686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
20	18, 19	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21	20, 5	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
22	17, 21	pm2.61d2 181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
23	3, 6, 22	ecase 1033	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3436  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5092  ωcom 7799  2_oc2o 8382   ≈ cen 8869  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-om 7800  df-1o 8388  df-2o 8389  df-en 8873  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  tpfi  9215  fiint  9216  fiintOLD  9217  inelfi  9308  tskpr  10664  hashpw  14343  hashfun  14344  pr2pwpr  14386  hashtpg  14392  hash3tpexb  14401  sumpr  15655  lcmfpr  16538  prmreclem2  16829  acsfn2  17569  isdrs2  18212  efmnd2hash  18768  symg2hash  19271  psgnprfval  19400  gsumpr  19834  znidomb  21468  m2detleib  22516  ovolioo  25467  i1f1  25589  itgioo  25715  limcun  25794  aannenlem2  26235  wilthlem2  26977  perfectlem2  27139  upgrex  29037  ex-hash  30397  prodpr  32772  linds2eq  33319  elrspunsn  33367  constrfin  33719  constrllcllem  33725  constrlccllem  33726  inelpisys  34127  coinfliplem  34453  coinflippv  34458  subfacp1lem1  35162  poimirlem9  37619  kelac2lem  43047  sumpair  45023  refsum2cnlem1  45025  climxlim2lem  45836  ibliooicc  45962  fourierdlem50  46147  fourierdlem51  46148  fourierdlem54  46151  fourierdlem70  46167  fourierdlem71  46168  fourierdlem76  46173  fourierdlem102  46199  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem114  46211  saluncl  46308  sge0pr  46385  meadjun  46453  omeunle  46507  perfectALTVlem2  47716  gpgorder  48053  zlmodzxzel  48349  ldepspr  48468  zlmodzxzldeplem2  48496  rrx2line  48735  2sphere  48744