Theorem prfi 9050

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4569	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8804	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8804	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8920	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 688	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2836	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3889  {csn 4566  {cpr 4568  Fincfn 8707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-om 7701  df-1o 8281  df-en 8708  df-fin 8711

This theorem is referenced by:  tpfi  9051  fiint  9052  inelfi  9138  tskpr  10510  hashpw  14132  hashfun  14133  pr2pwpr  14174  hashtpg  14180  sumpr  15441  lcmfpr  16313  prmreclem2  16599  acsfn2  17353  isdrs2  18005  efmnd2hash  18514  symg2hash  18980  psgnprfval  19110  gsumpr  19537  znidomb  20750  m2detleib  21761  ovolioo  24713  i1f1  24835  itgioo  24961  limcun  25040  aannenlem2  25470  wilthlem2  26199  perfectlem2  26359  upgrex  27443  ex-hash  28796  prodpr  31119  linds2eq  31554  inelpisys  32101  coinfliplem  32424  coinflippv  32429  subfacp1lem1  33120  poimirlem9  35765  kelac2lem  40869  sumpair  42531  refsum2cnlem1  42533  climxlim2lem  43340  ibliooicc  43466  fourierdlem50  43651  fourierdlem51  43652  fourierdlem54  43655  fourierdlem70  43671  fourierdlem71  43672  fourierdlem76  43677  fourierdlem102  43703  fourierdlem103  43704  fourierdlem104  43705  fourierdlem114  43715  saluncl  43812  sge0pr  43886  meadjun  43954  omeunle  44008  perfectALTVlem2  45126  zlmodzxzel  45643  ldepspr  45766  zlmodzxzldeplem2  45794  rrx2line  46038  2sphere  46047