Theorem prfi 8639

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4475	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8442	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8442	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8631	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 688	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2879	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   ∪ cun 3857  {csn 4472  {cpr 4474  Fincfn 8357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-fin 8361

This theorem is referenced by:  tpfi  8640  fiint  8641  inelfi  8728  tskpr  10038  hashpw  13645  hashfun  13646  pr2pwpr  13683  hashtpg  13689  sumpr  14936  lcmfpr  15800  prmreclem2  16082  acsfn2  16763  isdrs2  17378  symg2hash  18256  psgnprfval  18380  gsumpr  18795  znidomb  20390  m2detleib  20924  ovolioo  23852  i1f1  23974  itgioo  24099  limcun  24176  aannenlem2  24601  wilthlem2  25328  perfectlem2  25488  upgrex  26560  ex-hash  27924  prodpr  30226  linds2eq  30587  inelpisys  31030  coinfliplem  31353  coinflippv  31358  subfacp1lem1  32034  poimirlem9  34432  kelac2lem  39149  sumpair  40831  refsum2cnlem1  40833  climxlim2lem  41668  ibliooicc  41797  fourierdlem50  41983  fourierdlem51  41984  fourierdlem54  41987  fourierdlem70  42003  fourierdlem71  42004  fourierdlem76  42009  fourierdlem102  42035  fourierdlem103  42036  fourierdlem104  42037  fourierdlem114  42047  saluncl  42144  sge0pr  42218  meadjun  42286  omeunle  42340  perfectALTVlem2  43369  zlmodzxzel  43881  ldepspr  44008  zlmodzxzldeplem2  44036  rrx2line  44208  2sphere  44217