Theorem prfi 9348

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4633	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 9069	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 9069	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 9197	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2821	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3942  {csn 4630  {cpr 4632  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  tpfi  9349  fiint  9350  inelfi  9443  tskpr  10795  hashpw  14431  hashfun  14432  pr2pwpr  14476  hashtpg  14482  sumpr  15730  lcmfpr  16601  prmreclem2  16889  acsfn2  17646  isdrs2  18301  efmnd2hash  18854  symg2hash  19358  psgnprfval  19488  gsumpr  19922  znidomb  21512  m2detleib  22577  ovolioo  25541  i1f1  25663  itgioo  25789  limcun  25868  aannenlem2  26309  wilthlem2  27046  perfectlem2  27208  upgrex  28977  ex-hash  30335  prodpr  32674  linds2eq  33193  elrspunsn  33241  inelpisys  33904  coinfliplem  34229  coinflippv  34234  subfacp1lem1  34920  poimirlem9  37233  kelac2lem  42630  sumpair  44539  refsum2cnlem1  44541  climxlim2lem  45371  ibliooicc  45497  fourierdlem50  45682  fourierdlem51  45683  fourierdlem54  45686  fourierdlem70  45702  fourierdlem71  45703  fourierdlem76  45708  fourierdlem102  45734  fourierdlem103  45735  fourierdlem104  45736  fourierdlem114  45746  saluncl  45843  sge0pr  45920  meadjun  45988  omeunle  46042  perfectALTVlem2  47199  zlmodzxzel  47605  ldepspr  47727  zlmodzxzldeplem2  47755  rrx2line  47999  2sphere  48008