Theorem prfi 9279

Description: An unordered pair is finite. For a shorter proof using ax-un 7732, see prfiALT 9280. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-11 2192, ax-un 7732. (Revised by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4731	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
2		snfi 9036	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2871	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4		prprc2 4732	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5		snfi 9036	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6	4, 5	eqeltrdi 2871	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		2onn 8624	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
8		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
10		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
11	8, 9, 10	enpr2d 9041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
13	12	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
14	7, 11, 13	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
15		isfi 8968	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴, 𝐵} ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
17	16	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin))
18		dfsn2 4602	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
19		preq2 4700	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
20	18, 19	eqtr2id 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21	20, 5	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
22	17, 21	pm2.61d2 183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
23	3, 6, 22	ecase 1049	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ωcom 7858  2_oc2o 8443   ≈ cen 8936  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-om 7859  df-1o 8449  df-2o 8450  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  tpfi  9281  fiint  9282  inelfi  9374  tskpr  10750  hashpw  14469  hashfun  14470  pr2pwpr  14512  hashtpg  14518  hash3tpexb  14527  sumpr  15795  lcmfpr  16680  prmreclem2  16972  acsfn2  17714  isdrs2  18357  efmnd2hash  18948  symg2hash  19457  psgnprfval  19586  gsumpr  20020  znidomb  21711  m2detleib  22788  ovolioo  25727  i1f1  25849  itgioo  25975  limcun  26054  aannenlem2  26492  wilthlem2  27233  perfectlem2  27394  upgrex  29442  ex-hash  30804  prodpr  33170  linds2eq  33694  elrspunsn  33737  constrfin  34136  constrllcllem  34142  constrlccllem  34143  inelpisys  34544  coinfliplem  34869  coinflippv  34874  subfacp1lem1  35671  poimirlem9  38300  kelac2lem  43811  sumpair  45775  refsum2cnlem1  45777  climxlim2lem  46579  ibliooicc  46705  fourierdlem50  46890  fourierdlem51  46891  fourierdlem54  46894  fourierdlem70  46910  fourierdlem71  46911  fourierdlem76  46916  fourierdlem102  46942  fourierdlem103  46943  fourierdlem104  46944  fourierdlem114  46954  saluncl  47051  sge0pr  47128  meadjun  47196  omeunle  47250  perfectALTVlem2  48507  gpgorder  48844  zlmodzxzel  49155  ldepspr  49273  zlmodzxzldeplem2  49301  rrx2line  49540  2sphere  49549