Theorem prfi 9133

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4568	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8869	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8869	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8993	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2833	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3890  {csn 4565  {cpr 4567  Fincfn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-om 7745  df-1o 8328  df-en 8765  df-fin 8768

This theorem is referenced by:  tpfi  9134  fiint  9135  inelfi  9221  tskpr  10572  hashpw  14196  hashfun  14197  pr2pwpr  14238  hashtpg  14244  sumpr  15505  lcmfpr  16377  prmreclem2  16663  acsfn2  17417  isdrs2  18069  efmnd2hash  18578  symg2hash  19044  psgnprfval  19174  gsumpr  19601  znidomb  20814  m2detleib  21825  ovolioo  24777  i1f1  24899  itgioo  25025  limcun  25104  aannenlem2  25534  wilthlem2  26263  perfectlem2  26423  upgrex  27507  ex-hash  28862  prodpr  31185  linds2eq  31620  inelpisys  32167  coinfliplem  32490  coinflippv  32495  subfacp1lem1  33186  poimirlem9  35830  kelac2lem  40927  sumpair  42616  refsum2cnlem1  42618  climxlim2lem  43435  ibliooicc  43561  fourierdlem50  43746  fourierdlem51  43747  fourierdlem54  43750  fourierdlem70  43766  fourierdlem71  43767  fourierdlem76  43772  fourierdlem102  43798  fourierdlem103  43799  fourierdlem104  43800  fourierdlem114  43810  saluncl  43907  sge0pr  43982  meadjun  44050  omeunle  44104  perfectALTVlem2  45232  zlmodzxzel  45749  ldepspr  45872  zlmodzxzldeplem2  45900  rrx2line  46144  2sphere  46153