Theorem prfi 9067

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4570	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8817	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8817	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8937	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 689	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2837	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3890  {csn 4567  {cpr 4569  Fincfn 8716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-om 7707  df-1o 8288  df-en 8717  df-fin 8720

This theorem is referenced by:  tpfi  9068  fiint  9069  inelfi  9155  tskpr  10527  hashpw  14149  hashfun  14150  pr2pwpr  14191  hashtpg  14197  sumpr  15458  lcmfpr  16330  prmreclem2  16616  acsfn2  17370  isdrs2  18022  efmnd2hash  18531  symg2hash  18997  psgnprfval  19127  gsumpr  19554  znidomb  20767  m2detleib  21778  ovolioo  24730  i1f1  24852  itgioo  24978  limcun  25057  aannenlem2  25487  wilthlem2  26216  perfectlem2  26376  upgrex  27460  ex-hash  28813  prodpr  31136  linds2eq  31571  inelpisys  32118  coinfliplem  32441  coinflippv  32446  subfacp1lem1  33137  poimirlem9  35782  kelac2lem  40886  sumpair  42548  refsum2cnlem1  42550  climxlim2lem  43357  ibliooicc  43483  fourierdlem50  43668  fourierdlem51  43669  fourierdlem54  43672  fourierdlem70  43688  fourierdlem71  43689  fourierdlem76  43694  fourierdlem102  43720  fourierdlem103  43721  fourierdlem104  43722  fourierdlem114  43732  saluncl  43829  sge0pr  43903  meadjun  43971  omeunle  44025  perfectALTVlem2  45143  zlmodzxzel  45660  ldepspr  45783  zlmodzxzldeplem2  45811  rrx2line  46055  2sphere  46064