Theorem prfi 8785

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4562	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8586	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8586	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8777	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2907	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3932  {csn 4559  {cpr 4561  Fincfn 8501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-fin 8505

This theorem is referenced by:  tpfi  8786  fiint  8787  inelfi  8874  tskpr  10184  hashpw  13789  hashfun  13790  pr2pwpr  13829  hashtpg  13835  sumpr  15095  lcmfpr  15963  prmreclem2  16245  acsfn2  16926  isdrs2  17541  efmnd2hash  18051  symg2hash  18512  psgnprfval  18641  gsumpr  19067  znidomb  20700  m2detleib  21232  ovolioo  24161  i1f1  24283  itgioo  24408  limcun  24485  aannenlem2  24910  wilthlem2  25638  perfectlem2  25798  upgrex  26869  ex-hash  28224  prodpr  30535  linds2eq  30934  inelpisys  31406  coinfliplem  31729  coinflippv  31734  subfacp1lem1  32419  poimirlem9  34893  kelac2lem  39654  sumpair  41282  refsum2cnlem1  41284  climxlim2lem  42115  ibliooicc  42245  fourierdlem50  42431  fourierdlem51  42432  fourierdlem54  42435  fourierdlem70  42451  fourierdlem71  42452  fourierdlem76  42457  fourierdlem102  42483  fourierdlem103  42484  fourierdlem104  42485  fourierdlem114  42495  saluncl  42592  sge0pr  42666  meadjun  42734  omeunle  42788  perfectALTVlem2  43877  zlmodzxzel  44393  ldepspr  44518  zlmodzxzldeplem2  44546  rrx2line  44717  2sphere  44726