MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumtp 15697
Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumtp.e (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
sumtp.f (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
sumtp.g (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
sumtp.c (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
sumtp.v (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
sumtp.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumtp.2 (𝜑𝐴𝐶)
sumtp.3 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumtp (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumtp
StepHypRef Expression
1 sumtp.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
21necomd 2988 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
3 sumtp.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
43necomd 2988 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52, 4nelprd 4652 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
6 disjsn 4708 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
75, 6sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
8 df-tp 4626 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
10 tpfi 9320 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
12 sumtp.c . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
13 sumtp.v . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
14 sumtp.e . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1514eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
16 sumtp.f . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
1716eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐹 ∈ ℂ))
18 sumtp.g . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
1918eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐺 ∈ ℂ))
2015, 17, 19raltpg 4695 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2212, 21mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ)
2322r19.21bi 3240 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
247, 9, 11, 23fsumsplit 15689 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
25 3simpa 1145 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
2612, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
27 3simpa 1145 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
2813, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
29 sumtp.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
3014, 16, 26, 28, 29sumpr 15696 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 + 𝐹))
3113simp3d 1141 . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
3212simp3d 1141 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
3318sumsn 15694 . . . 4 ((𝐶𝑋𝐺 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3431, 32, 33syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3530, 34oveq12d 7420 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
3624, 35eqtrd 2764 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  cun 3939  cin 3940  c0 4315  {csn 4621  {cpr 4623  {ctp 4625  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  cc 11105   + caddc 11110  Σcsu 15634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  hgt750lemb  34187  tgoldbachgt  34194  nnsum4primesodd  47010  nnsum4primesoddALTV  47011
  Copyright terms: Public domain W3C validator