MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumtp 15639
Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumtp.e (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
sumtp.f (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
sumtp.g (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
sumtp.c (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
sumtp.v (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
sumtp.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumtp.2 (𝜑𝐴𝐶)
sumtp.3 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumtp (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumtp
StepHypRef Expression
1 sumtp.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
21necomd 2996 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
3 sumtp.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
43necomd 2996 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52, 4nelprd 4618 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
6 disjsn 4673 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
75, 6sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
8 df-tp 4592 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
10 tpfi 9270 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
12 sumtp.c . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
13 sumtp.v . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
14 sumtp.e . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1514eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
16 sumtp.f . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
1716eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐹 ∈ ℂ))
18 sumtp.g . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
1918eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐺 ∈ ℂ))
2015, 17, 19raltpg 4660 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2212, 21mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ)
2322r19.21bi 3233 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
247, 9, 11, 23fsumsplit 15631 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
25 3simpa 1149 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
2612, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
27 3simpa 1149 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
2813, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
29 sumtp.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
3014, 16, 26, 28, 29sumpr 15638 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 + 𝐹))
3113simp3d 1145 . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
3212simp3d 1145 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
3318sumsn 15636 . . . 4 ((𝐶𝑋𝐺 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3431, 32, 33syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3530, 34oveq12d 7376 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
3624, 35eqtrd 2773 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  cun 3909  cin 3910  c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cc 11054   + caddc 11059  Σcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  hgt750lemb  33326  tgoldbachgt  33333  nnsum4primesodd  46074  nnsum4primesoddALTV  46075
  Copyright terms: Public domain W3C validator