Theorem sumtp 15684

Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumtp.e	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
sumtp.f	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
sumtp.g	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
sumtp.c	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
sumtp.v	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
sumtp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
sumtp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
sumtp.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumtp	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumtp.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2	1	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
3		sumtp.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
4	3	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
5	2, 4	nelprd 4616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
6		disjsn 4670	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
8		df-tp 4587	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
10		tpfi 9238	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
12		sumtp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
13		sumtp.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
14		sumtp.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
15	14	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
16		sumtp.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
17	16	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐹 ∈ ℂ))
18		sumtp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
19	18	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐺 ∈ ℂ))
20	15, 17, 19	raltpg 4657	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
21	13, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
22	12, 21	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ)
23	22	r19.21bi 3230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
24	7, 9, 11, 23	fsumsplit 15676	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
25		3simpa 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
26	12, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
27		3simpa 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
28	13, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
29		sumtp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	14, 16, 26, 28, 29	sumpr 15683	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 + 𝐹))
31	13	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
32	12	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
33	18	sumsn 15681	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
34	31, 32, 33	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
35	30, 34	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
36	24, 35	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036   + caddc 11041  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem3  33961  hgt750lemb  34833  tgoldbachgt  34840  nnsum4primesodd  48150  nnsum4primesoddALTV  48151