Theorem sumtp 15800

Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumtp.e	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
sumtp.f	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
sumtp.g	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
sumtp.c	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
sumtp.v	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
sumtp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
sumtp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
sumtp.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumtp	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumtp.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2	1	necomd 3019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
3		sumtp.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
4	3	necomd 3019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
5	2, 4	nelprd 4628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
6		disjsn 4682	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
8		df-tp 4599	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
10		tpfi 9285	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
12		sumtp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
13		sumtp.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
14		sumtp.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
15	14	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
16		sumtp.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
17	16	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐹 ∈ ℂ))
18		sumtp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
19	18	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐺 ∈ ℂ))
20	15, 17, 19	raltpg 4669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
21	13, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
22	12, 21	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ)
23	22	r19.21bi 3263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
24	7, 9, 11, 23	fsumsplit 15792	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
25		3simpa 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
26	12, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
27		3simpa 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
28	13, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
29		sumtp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	14, 16, 26, 28, 29	sumpr 15799	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 + 𝐹))
31	13	simp3d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
32	12	simp3d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
33	18	sumsn 15797	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
34	31, 32, 33	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
35	30, 34	oveq12d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
36	24, 35	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  ℂcc 11098   + caddc 11103  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem3  34119  hgt750lemb  34988  tgoldbachgt  34995  nnsum4primesodd  48484  nnsum4primesoddALTV  48485