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Theorem etransclem48 46237
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime 𝑝 is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem48.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem48.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem48.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem48.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem48.c 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
etransclem48.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
etransclem48.i 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
etransclem48.t 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
etransclem48 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑛,𝑗   𝐶,𝑖,𝑛   𝑖,𝐼,𝑛   𝑗,𝑀,𝑘   𝑛,𝑀   𝑄,𝑗   𝑆,𝑖   𝑇,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑄(𝑖,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑛)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem48
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
21eldifad 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
3 0zd 12622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝑄)
54coef2 26284 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
62, 3, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
7 0nn0 12538 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
96, 8ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
10 zabscl 15348 . . . . . . 7 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (deg‘𝑄)
13 dgrcl 26286 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
1512, 14eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1615faccld 14319 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716nnzd 12637 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
18 ssrab2 4089 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℕ0
19 nn0ssz 12633 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℤ
2018, 19sstri 4004 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℤ
21 etransclem48.i . . . . . . . 8 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
22 nn0uz 12917 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2318, 22sseqtri 4031 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0)
24 1rp 13035 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
25 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝜑
26 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
27 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
29 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
3028, 29nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑆
31 nn0ex 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
3231mptex 7242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V)
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
35 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
366adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
37 elfznn0 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
4039zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
41 ere 16121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e ∈ ℝ
4241recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
44 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4544zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
4743, 46cxpcld 26764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
4840, 47mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
4948abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
5049recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
5115nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
5551, 54mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5750, 56mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5835, 57fsumcl 15765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5934, 58eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
60 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶))
61 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐶 = 𝐶)
62 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
6460, 61, 62, 63fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = 𝐶)
6522, 3, 33, 59, 64climconst 15575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ⇝ 𝐶)
6631mptex 7242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
6728, 66eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
69 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7069expfac 45612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
74 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
7574fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7672, 73, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7776, 73eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) ∈ ℂ)
78 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V
7969fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8078, 79mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8382, 72expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) ∈ ℂ)
8472faccld 14319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8584nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
8684nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ≠ 0)
8783, 85, 86divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ ℂ)
8881, 87eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) ∈ ℂ)
89 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
9028fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9189, 90mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9376, 81oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9492, 93eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)))
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 45559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⇝ (𝐶 · 0))
9659mul01d 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
9795, 96breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⇝ 0)
98 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑛))
9977, 88mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) ∈ ℂ)
10094, 99eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) ∈ ℂ)
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 45609 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒))
10297, 101mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒)
103 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 1 → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
104103rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
105104rspcva 3619 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒) → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
10624, 102, 105sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
107 rabn0 4394 . . . . . . . . . 10 ({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
108106, 107sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅)
109 infssuzcl 12971 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅) → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11023, 108, 109sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11121, 110eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11220, 111sselid 3992 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
113 tpssi 4842 . . . . . 6 (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
11411, 17, 112, 113syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
115 etransclem48.t . . . . . 6 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
116 xrltso 13179 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
117116a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
118 tpfi 9362 . . . . . . . 8 {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin)
12011tpnzd 4784 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅)
121 zssre 12617 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
122 ressxr 11302 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
123121, 122sstri 4004 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ*
124114, 123sstrdi 4007 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
125 fisupcl 9506 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅ ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)) → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
127115, 126eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
128114, 127sseldd 3995 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
129 0red 11261 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13016nnred 12278 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
131128zred 12719 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
13216nngt0d 12312 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (!‘𝑀))
133 fvex 6919 . . . . . . . 8 (!‘𝑀) ∈ V
134133tpid2 4774 . . . . . . 7 (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
135 supxrub 13362 . . . . . . 7 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
136124, 134, 135sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
137136, 115breqtrrdi 5189 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 11418 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑇)
139 elnnz 12620 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ ↔ (𝑇 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇))
140128, 138, 139sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ)
141 prmunb 16947 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
142140, 141syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
14313ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
144 etransclem48.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
1451443ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑄‘e) = 0)
146 etransclem48.a0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
1471463ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ≠ 0)
148 simp2 1136 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
1499zcnd 12720 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
1501493ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
151150abscld 15471 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℝ)
1521313ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 ∈ ℝ)
153 prmz 16708 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
154153zred 12719 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1551543ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
156124adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
157 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ V
158157tpid1 4772 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
159 supxrub 13362 . . . . . . . 8 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
160156, 158, 159sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
161160, 115breqtrrdi 5189 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
1621613adant3 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
163 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 < 𝑝)
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 11416 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑝)
1651303ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
1661373ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 11416 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) < 𝑝)
16834a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
169 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)))
170 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑝 − 1)))
171169, 170oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))
172168, 171oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
173 prmnn 16707 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
174 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
176175adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
17758adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
17854adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
179178, 176expcld 14182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
180175faccld 14319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℕ)
181180nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
182181adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
183180nnne0d 12313 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
184183adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
185179, 182, 184divcld 12040 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℂ)
186177, 185mulcld 11278 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℂ)
18728, 172, 176, 186fvmptd3 7038 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
188187eqcomd 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1891883adant3 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1901123ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℤ)
191 1zzd 12645 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
192153, 191zsubcld 12724 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
1931923ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
194190zred 12719 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℝ)
195 tpid3g 4776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
196112, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
197 supxrub 13362 . . . . . . . . . . . . . 14 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
198124, 196, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
199198, 115breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑇)
2001993ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼𝑇)
201194, 152, 155, 200, 163lelttrd 11416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 < 𝑝)
2021533ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℤ)
203 zltlem1 12667 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
204190, 202, 203syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
205201, 204mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))
206 eluz2 12881 . . . . . . . . 9 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
207190, 193, 205, 206syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼))
2081113ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
209 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝐼))
210209raleqdv 3323 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
211210elrab 3694 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
212208, 211sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
213212simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
214 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑛abs
215 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑝 − 1)
21630, 215nffv 6916 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑆‘(𝑝 − 1))
217214, 216nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1)))
218 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑛 <
219 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑛1
220217, 218, 219nfbr 5194 . . . . . . . . 9 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1
221 2fveq3 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (abs‘(𝑆𝑛)) = (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))))
222221breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
223220, 222rspc 3609 . . . . . . . 8 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
224207, 213, 223sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)
225171oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
226 ovexd 7465 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V)
22728, 225, 176, 226fvmptd3 7038 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
22815nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
229228, 53reexpcld 14199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
230228, 229remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
231230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
23249, 231remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23335, 232fsumrecl 15766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23434, 233eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
235234adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐶 ∈ ℝ)
236229adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
237236, 176reexpcld 14199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
238180nnred 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
239238adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
240237, 239, 184redivcld 12092 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℝ)
241235, 240remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℝ)
242227, 241eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
2432423adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
244 1red 11259 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 1 ∈ ℝ)
245243, 244absltd 15464 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ((abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 ↔ (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)))
246224, 245mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1))
247246simprd 495 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)
248189, 247eqbrtrd 5169 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) < 1)
249 etransclem6 46195 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑝)))
250 eqid 2734 . . . 4 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥)
251 eqid 2734 . . . 4 𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1)))
252143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 248, 249, 250, 251etransclem47 46236 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
253252rexlimdv3a 3156 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)))
254142, 253mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {ctp 4634   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5595  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  supcsup 9477  infcinf 9478  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  (,)cioo 13383  ...cfz 13543  cexp 14098  !cfa 14308  abscabs 15269  cli 15516  Σcsu 15718  cprod 15935  eceu 16094  cprime 16704  citg 25666  0𝑝c0p 25717  Polycply 26237  coeffccoe 26239  degcdgr 26240  𝑐ccxp 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-dvn 25917  df-ply 26241  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-log 26612  df-cxp 26613
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