Theorem etransclem48 45483

Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime 𝑝 is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem48.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem48.qe0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem48.a	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem48.a0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem48.m	⊢ 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem48.c	⊢ 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
etransclem48.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
etransclem48.i	⊢ 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
etransclem48.t	⊢ 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )

Assertion

Ref	Expression
etransclem48	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑛,𝑗   𝐶,𝑖,𝑛   𝑖,𝐼,𝑛   𝑗,𝑀,𝑘   𝑛,𝑀   𝑄,𝑗   𝑆,𝑖   𝑇,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑄(𝑖,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑛)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem48

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem48.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
2	1	eldifad 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
3		0zd 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4		etransclem48.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝑄)
5	4	coef2 26085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
6	2, 3, 5	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
7		0nn0 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
9	6, 8	ffvelcdmd 7077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
10		zabscl 15257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
12		etransclem48.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝑄)
13		dgrcl 26087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
15	12, 14	eqeltrid 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
16	15	faccld 14241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
18		ssrab2 4069	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆ ℕ0
19		nn0ssz 12578	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
20	18, 19	sstri 3983	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆ ℤ
21		etransclem48.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
22		nn0uz 12861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
23	18, 22	sseqtri 4010	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ≥‘0)
24		1rp 12975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
25		nfv 1909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
26		nfmpt1 5246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
27		nfmpt1 5246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28		etransclem48.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
29		nfmpt1 5246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
30	28, 29	nfcxfr 2893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝑆
31		nn0ex 12475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 ∈ V
32	31	mptex 7216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ V)
34		etransclem48.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
35		fzfid 13935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
36	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
37		elfznn0 13591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
39	36, 38	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
41		ere 16029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ e ∈ ℝ
42	41	recni 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ e ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
44		elfzelz 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
45	44	zcnd 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
47	43, 46	cxpcld 26558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
48	40, 47	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
49	48	abscld 15380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
51	15	nn0cnd 12531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
52		peano2nn0 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
53	15, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
54	51, 53	expcld 14108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
55	51, 54	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
57	50, 56	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
58	35, 57	fsumcl 15676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
59	34, 58	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
60		eqidd 2725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶))
61		eqidd 2725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐶 = 𝐶)
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
63	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
64	60, 61, 62, 63	fvmptd 6995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑖) = 𝐶)
65	22, 3, 33, 59, 64	climconst 15484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐶)
66	31	mptex 7216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
67	28, 66	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
69		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
70	69	expfac 44858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
71	54, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
72		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
74		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
75	74	fvmpt2 6999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
76	72, 73, 75	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
77	76, 73	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) ∈ ℂ)
78		ovex 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V
79	69	fvmpt2 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
80	78, 79	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
82	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
83	82, 72	expcld 14108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) ∈ ℂ)
84	72	faccld 14241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
85	84	nncnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
86	84	nnne0d 12259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ≠ 0)
87	83, 85, 86	divcld 11987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ ℂ)
88	81, 87	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) ∈ ℂ)
89		ovex 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
90	28	fvmpt2 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V) → (𝑆‘𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
91	89, 90	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆‘𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
93	76, 81	oveq12d 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
94	92, 93	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)))
95	25, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94	climmulf 44805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝐶 · 0))
96	59	mul01d 11410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
97	95, 96	breqtrd 5164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ 0)
98		eqidd 2725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑛))
99	77, 88	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) ∈ ℂ)
100	94, 99	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) ∈ ℂ)
101	30, 22, 3, 68, 98, 100	clim0cf 44855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒))
102	97, 101	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒)
103		breq2 5142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 1 → ((abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1))
104	103	rexralbidv 3212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1))
105	104	rspcva 3602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)
106	24, 102, 105	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)
107		rabn0 4377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)
108	106, 107	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ≠ ∅)
109		infssuzcl 12913	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ≠ ∅) → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1})
110	23, 108, 109	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1})
111	21, 110	eqeltrid 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1})
112	20, 111	sselid 3972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
113		tpssi 4831	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
114	11, 17, 112, 113	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
115		etransclem48.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
116		xrltso 13117	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
118		tpfi 9319	. . . . . . . 8 ⊢ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin)
120	11	tpnzd 4776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅)
121		zssre 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
122		ressxr 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
123	121, 122	sstri 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
124	114, 123	sstrdi 3986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
125		fisupcl 9460	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅ ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)) → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
126	117, 119, 120, 124, 125	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
127	115, 126	eqeltrid 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
128	114, 127	sseldd 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
129		0red 11214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
130	16	nnred 12224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
131	128	zred 12663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
132	16	nngt0d 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (!‘𝑀))
133		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘𝑀) ∈ V
134	133	tpid2 4766	. . . . . . 7 ⊢ (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
135		supxrub 13300	. . . . . . 7 ⊢ (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
136	124, 134, 135	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
137	136, 115	breqtrrdi 5180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
138	129, 130, 131, 132, 137	ltletrd 11371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
139		elnnz 12565	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ ↔ (𝑇 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇))
140	128, 138, 139	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)
141		prmunb 16846	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
142	140, 141	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
143	1	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
144		etransclem48.qe0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
145	144	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑄‘e) = 0)
146		etransclem48.a0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
147	146	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ≠ 0)
148		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
149	9	zcnd 12664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
150	149	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
151	150	abscld 15380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℝ)
152	131	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 ∈ ℝ)
153		prmz 16609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
154	153	zred 12663	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
155	154	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
156	124	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
157		fvex 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ V
158	157	tpid1 4764	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
159		supxrub 13300	. . . . . . . 8 ⊢ (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
160	156, 158, 159	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
161	160, 115	breqtrrdi 5180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
162	161	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
163		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 < 𝑝)
164	151, 152, 155, 162, 163	lelttrd 11369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑝)
165	130	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
166	137	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
167	165, 152, 155, 166, 163	lelttrd 11369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) < 𝑝)
168	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
169		oveq2 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)))
170		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑝 − 1)))
171	169, 170	oveq12d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))
172	168, 171	oveq12d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
173		prmnn 16608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
174		nnm1nn0 12510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
176	175	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
177	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
178	54	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
179	178, 176	expcld 14108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
180	175	faccld 14241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℕ)
181	180	nncnd 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
182	181	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
183	180	nnne0d 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
184	183	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
185	179, 182, 184	divcld 11987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℂ)
186	177, 185	mulcld 11231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℂ)
187	28, 172, 176, 186	fvmptd3 7011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
188	187	eqcomd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
189	188	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
190	112	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℤ)
191		1zzd 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
192	153, 191	zsubcld 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
193	192	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
194	190	zred 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℝ)
195		tpid3g 4768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
196	112, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
197		supxrub 13300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
198	124, 196, 197	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
199	198, 115	breqtrrdi 5180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑇)
200	199	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ 𝑇)
201	194, 152, 155, 200, 163	lelttrd 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 < 𝑝)
202	153	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℤ)
203		zltlem1 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑝 ↔ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
204	190, 202, 203	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 < 𝑝 ↔ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
205	201, 204	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))
206		eluz2 12825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
207	190, 193, 205, 206	syl3anbrc 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
208	111	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1})
209		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝐼))
210	209	raleqdv 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1))
211	210	elrab 3675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1))
212	208, 211	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1))
213	212	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)
214		nfcv 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛abs
215		nfcv 2895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑝 − 1)
216	30, 215	nffv 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑆‘(𝑝 − 1))
217	214, 216	nffv 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1)))
218		nfcv 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 <
219		nfcv 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛1
220	217, 218, 219	nfbr 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1
221		2fveq3 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (abs‘(𝑆‘𝑛)) = (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))))
222	221	breq1d 5148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1 ↔ (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
223	220, 222	rspc 3592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1 → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
224	207, 213, 223	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)
225	171	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
226		ovexd 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V)
227	28, 225, 176, 226	fvmptd3 7011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
228	15	nn0red 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
229	228, 53	reexpcld 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
230	228, 229	remulcld 11241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
231	230	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
232	49, 231	remulcld 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
233	35, 232	fsumrecl 15677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
234	34, 233	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐶 ∈ ℝ)
236	229	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
237	236, 176	reexpcld 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
238	180	nnred 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
239	238	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
240	237, 239, 184	redivcld 12039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℝ)
241	235, 240	remulcld 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℝ)
242	227, 241	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
243	242	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
244		1red 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 1 ∈ ℝ)
245	243, 244	absltd 15373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ((abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 ↔ (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)))
246	224, 245	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1))
247	246	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)
248	189, 247	eqbrtrd 5160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) < 1)
249		etransclem6 45441	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑝)))
250		eqid 2724	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥)
251		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1)))
252	143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 248, 249, 250, 251	etransclem47 45482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
253	252	rexlimdv3a 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)))
254	142, 253	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  {csn 4620  {ctp 4624   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Or wor 5577  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8935  supcsup 9431  infcinf 9432  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  ℝ⁺crp 12971  (,)cioo 13321  ...cfz 13481  ↑cexp 14024  !cfa 14230  abscabs 15178   ⇝ cli 15425  Σcsu 15629  ∏cprod 15846  eceu 16003  ℙcprime 16605  ∫citg 25469  0_𝑝c0p 25520  Polycply 26038  coeffccoe 26040  degcdgr 26041  ↑_𝑐ccxp 26406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-symdif 4234  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-prod 15847  df-ef 16008  df-e 16009  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-ovol 25315  df-vol 25316  df-mbf 25470  df-itg1 25471  df-itg2 25472  df-ibl 25473  df-itg 25474  df-0p 25521  df-limc 25717  df-dv 25718  df-dvn 25719  df-ply 26042  df-coe 26044  df-dgr 26045  df-log 26407  df-cxp 26408

This theorem is referenced by:  etransc  45484