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Theorem etransclem48 44771
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime 𝑝 is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem48.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem48.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem48.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem48.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem48.c 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
etransclem48.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
etransclem48.i 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
etransclem48.t 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
etransclem48 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑛,𝑗   𝐶,𝑖,𝑛   𝑖,𝐼,𝑛   𝑗,𝑀,𝑘   𝑛,𝑀   𝑄,𝑗   𝑆,𝑖   𝑇,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑄(𝑖,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑛)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem48
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
21eldifad 3956 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
3 0zd 12552 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝑄)
54coef2 25674 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
62, 3, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
7 0nn0 12469 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
96, 8ffvelcdmd 7072 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
10 zabscl 15242 . . . . . . 7 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (deg‘𝑄)
13 dgrcl 25676 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
1512, 14eqeltrid 2836 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1615faccld 14226 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716nnzd 12567 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
18 ssrab2 4073 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℕ0
19 nn0ssz 12563 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℤ
2018, 19sstri 3987 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℤ
21 etransclem48.i . . . . . . . 8 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
22 nn0uz 12846 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2318, 22sseqtri 4014 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0)
24 1rp 12960 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
25 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝜑
26 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
27 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
29 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
3028, 29nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑆
31 nn0ex 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
3231mptex 7209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V)
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
35 fzfid 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
366adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
37 elfznn0 13576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38ffvelcdmd 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
4039zcnd 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
41 ere 16014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e ∈ ℝ
4241recni 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
44 elfzelz 13483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4544zcnd 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
4743, 46cxpcld 26145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
4840, 47mulcld 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
4948abscld 15365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
5049recnd 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
5115nn0cnd 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52 peano2nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 14093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
5551, 54mulcld 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5750, 56mulcld 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5835, 57fsumcl 15661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5934, 58eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
60 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶))
61 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐶 = 𝐶)
62 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6359adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
6460, 61, 62, 63fvmptd 6991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = 𝐶)
6522, 3, 33, 59, 64climconst 15469 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ⇝ 𝐶)
6631mptex 7209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
6728, 66eqeltri 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
69 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7069expfac 44146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
72 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7359adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
74 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
7574fvmpt2 6995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7672, 73, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7776, 73eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) ∈ ℂ)
78 ovex 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V
7969fvmpt2 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8078, 79mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8254adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8382, 72expcld 14093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) ∈ ℂ)
8472faccld 14226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8584nncnd 12210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
8684nnne0d 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ≠ 0)
8783, 85, 86divcld 11972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ ℂ)
8881, 87eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) ∈ ℂ)
89 ovex 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
9028fvmpt2 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9189, 90mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9376, 81oveq12d 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9492, 93eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)))
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 44093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⇝ (𝐶 · 0))
9659mul01d 11395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
9795, 96breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⇝ 0)
98 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑛))
9977, 88mulcld 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) ∈ ℂ)
10094, 99eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) ∈ ℂ)
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 44143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒))
10297, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒)
103 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 1 → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
104103rexralbidv 3219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
105104rspcva 3607 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒) → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
10624, 102, 105sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
107 rabn0 4381 . . . . . . . . . 10 ({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
108106, 107sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅)
109 infssuzcl 12898 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅) → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11023, 108, 109sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11121, 110eqeltrid 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11220, 111sselid 3976 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
113 tpssi 4832 . . . . . 6 (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
11411, 17, 112, 113syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
115 etransclem48.t . . . . . 6 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
116 xrltso 13102 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
117116a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
118 tpfi 9306 . . . . . . . 8 {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin)
12011tpnzd 4777 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅)
121 zssre 12547 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
122 ressxr 11240 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
123121, 122sstri 3987 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ*
124114, 123sstrdi 3990 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
125 fisupcl 9446 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅ ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)) → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
127115, 126eqeltrid 2836 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
128114, 127sseldd 3979 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
129 0red 11199 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13016nnred 12209 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
131128zred 12648 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
13216nngt0d 12243 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (!‘𝑀))
133 fvex 6891 . . . . . . . 8 (!‘𝑀) ∈ V
134133tpid2 4767 . . . . . . 7 (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
135 supxrub 13285 . . . . . . 7 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
136124, 134, 135sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
137136, 115breqtrrdi 5183 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 11356 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑇)
139 elnnz 12550 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ ↔ (𝑇 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇))
140128, 138, 139sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ)
141 prmunb 16829 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
142140, 141syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
14313ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
144 etransclem48.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
1451443ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑄‘e) = 0)
146 etransclem48.a0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
1471463ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ≠ 0)
148 simp2 1137 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
1499zcnd 12649 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
1501493ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
151150abscld 15365 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℝ)
1521313ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 ∈ ℝ)
153 prmz 16594 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
154153zred 12648 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1551543ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
156124adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
157 fvex 6891 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ V
158157tpid1 4765 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
159 supxrub 13285 . . . . . . . 8 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
160156, 158, 159sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
161160, 115breqtrrdi 5183 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
1621613adant3 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
163 simp3 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 < 𝑝)
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 11354 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑝)
1651303ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
1661373ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 11354 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) < 𝑝)
16834a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
169 oveq2 7401 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)))
170 fveq2 6878 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑝 − 1)))
171169, 170oveq12d 7411 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))
172168, 171oveq12d 7411 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
173 prmnn 16593 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
174 nnm1nn0 12495 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
176175adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
17758adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
17854adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
179178, 176expcld 14093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
180175faccld 14226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℕ)
181180nncnd 12210 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
182181adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
183180nnne0d 12244 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
184183adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
185179, 182, 184divcld 11972 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℂ)
186177, 185mulcld 11216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℂ)
18728, 172, 176, 186fvmptd3 7007 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
188187eqcomd 2737 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1891883adant3 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1901123ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℤ)
191 1zzd 12575 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
192153, 191zsubcld 12653 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
1931923ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
194190zred 12648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℝ)
195 tpid3g 4769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
196112, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
197 supxrub 13285 . . . . . . . . . . . . . 14 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
198124, 196, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
199198, 115breqtrrdi 5183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑇)
2001993ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼𝑇)
201194, 152, 155, 200, 163lelttrd 11354 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 < 𝑝)
2021533ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℤ)
203 zltlem1 12597 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
204190, 202, 203syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
205201, 204mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))
206 eluz2 12810 . . . . . . . . 9 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
207190, 193, 205, 206syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼))
2081113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
209 fveq2 6878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝐼))
210209raleqdv 3324 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
211210elrab 3679 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
212208, 211sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
213212simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
214 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑛abs
215 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑝 − 1)
21630, 215nffv 6888 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑆‘(𝑝 − 1))
217214, 216nffv 6888 . . . . . . . . . 10 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1)))
218 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑛 <
219 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑛1
220217, 218, 219nfbr 5188 . . . . . . . . 9 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1
221 2fveq3 6883 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (abs‘(𝑆𝑛)) = (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))))
222221breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
223220, 222rspc 3597 . . . . . . . 8 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
224207, 213, 223sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)
225171oveq2d 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
226 ovexd 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V)
22728, 225, 176, 226fvmptd3 7007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
22815nn0red 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
229228, 53reexpcld 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
230228, 229remulcld 11226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
231230adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
23249, 231remulcld 11226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23335, 232fsumrecl 15662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23434, 233eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
235234adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐶 ∈ ℝ)
236229adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
237236, 176reexpcld 14110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
238180nnred 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
239238adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
240237, 239, 184redivcld 12024 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℝ)
241235, 240remulcld 11226 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℝ)
242227, 241eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
2432423adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
244 1red 11197 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 1 ∈ ℝ)
245243, 244absltd 15358 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ((abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 ↔ (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)))
246224, 245mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1))
247246simprd 496 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)
248189, 247eqbrtrd 5163 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) < 1)
249 etransclem6 44729 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑝)))
250 eqid 2731 . . . 4 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥)
251 eqid 2731 . . . 4 𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1)))
252143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 248, 249, 250, 251etransclem47 44770 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
253252rexlimdv3a 3158 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)))
254142, 253mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  cdif 3941  wss 3944  c0 4318  {csn 4622  {ctp 4626   class class class wbr 5141  cmpt 5224   Or wor 5580  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  Fincfn 8922  supcsup 9417  infcinf 9418  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426  -cneg 11427   / cdiv 11853  cn 12194  0cn0 12454  cz 12540  cuz 12804  +crp 12956  (,)cioo 13306  ...cfz 13466  cexp 14009  !cfa 14215  abscabs 15163  cli 15410  Σcsu 15614  cprod 15831  eceu 15988  cprime 16590  citg 25064  0𝑝c0p 25115  Polycply 25627  coeffccoe 25629  degcdgr 25630  𝑐ccxp 25993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-acn 9919  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-prod 15832  df-ef 15993  df-e 15994  df-sin 15995  df-cos 15996  df-tan 15997  df-pi 15998  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-cmp 22820  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-ovol 24910  df-vol 24911  df-mbf 25065  df-itg1 25066  df-itg2 25067  df-ibl 25068  df-itg 25069  df-0p 25116  df-limc 25312  df-dv 25313  df-dvn 25314  df-ply 25631  df-coe 25633  df-dgr 25634  df-log 25994  df-cxp 25995
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