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Theorem etransclem48 44513
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime 𝑝 is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem48.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem48.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem48.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem48.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem48.c 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
etransclem48.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
etransclem48.i 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
etransclem48.t 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
etransclem48 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑛,𝑗   𝐶,𝑖,𝑛   𝑖,𝐼,𝑛   𝑗,𝑀,𝑘   𝑛,𝑀   𝑄,𝑗   𝑆,𝑖   𝑇,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑄(𝑖,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑛)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem48
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
21eldifad 3922 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
3 0zd 12511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝑄)
54coef2 25592 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
62, 3, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
7 0nn0 12428 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
96, 8ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
10 zabscl 15198 . . . . . . 7 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (deg‘𝑄)
13 dgrcl 25594 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
1512, 14eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1615faccld 14184 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716nnzd 12526 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
18 ssrab2 4037 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℕ0
19 nn0ssz 12522 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℤ
2018, 19sstri 3953 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℤ
21 etransclem48.i . . . . . . . 8 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
22 nn0uz 12805 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2318, 22sseqtri 3980 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0)
24 1rp 12919 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
25 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝜑
26 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
27 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
29 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
3028, 29nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑆
31 nn0ex 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
3231mptex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V)
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
35 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
366adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
37 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
4039zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
41 ere 15971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e ∈ ℝ
4241recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
44 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4544zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
4743, 46cxpcld 26063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
4840, 47mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
4948abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
5049recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
5115nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
5551, 54mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5750, 56mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5835, 57fsumcl 15618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5934, 58eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
60 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶))
61 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐶 = 𝐶)
62 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6359adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
6460, 61, 62, 63fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = 𝐶)
6522, 3, 33, 59, 64climconst 15425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ⇝ 𝐶)
6631mptex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
6728, 66eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
69 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7069expfac 43888 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
72 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7359adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
74 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
7574fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7672, 73, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7776, 73eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) ∈ ℂ)
78 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V
7969fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8078, 79mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8254adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8382, 72expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) ∈ ℂ)
8472faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8584nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
8684nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ≠ 0)
8783, 85, 86divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ ℂ)
8881, 87eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) ∈ ℂ)
89 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
9028fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9189, 90mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9376, 81oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9492, 93eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)))
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 43835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⇝ (𝐶 · 0))
9659mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
9795, 96breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⇝ 0)
98 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑛))
9977, 88mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) ∈ ℂ)
10094, 99eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) ∈ ℂ)
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 43885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒))
10297, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒)
103 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 1 → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
104103rexralbidv 3214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
105104rspcva 3579 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒) → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
10624, 102, 105sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
107 rabn0 4345 . . . . . . . . . 10 ({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
108106, 107sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅)
109 infssuzcl 12857 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅) → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11023, 108, 109sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11121, 110eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11220, 111sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
113 tpssi 4796 . . . . . 6 (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
11411, 17, 112, 113syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
115 etransclem48.t . . . . . 6 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
116 xrltso 13060 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
117116a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
118 tpfi 9267 . . . . . . . 8 {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin)
12011tpnzd 4741 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅)
121 zssre 12506 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
122 ressxr 11199 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
123121, 122sstri 3953 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ*
124114, 123sstrdi 3956 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
125 fisupcl 9405 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅ ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)) → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
127115, 126eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
128114, 127sseldd 3945 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
129 0red 11158 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13016nnred 12168 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
131128zred 12607 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
13216nngt0d 12202 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (!‘𝑀))
133 fvex 6855 . . . . . . . 8 (!‘𝑀) ∈ V
134133tpid2 4731 . . . . . . 7 (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
135 supxrub 13243 . . . . . . 7 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
136124, 134, 135sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
137136, 115breqtrrdi 5147 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 11315 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑇)
139 elnnz 12509 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ ↔ (𝑇 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇))
140128, 138, 139sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ)
141 prmunb 16786 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
142140, 141syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
14313ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
144 etransclem48.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
1451443ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑄‘e) = 0)
146 etransclem48.a0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
1471463ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ≠ 0)
148 simp2 1137 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
1499zcnd 12608 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
1501493ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
151150abscld 15321 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℝ)
1521313ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 ∈ ℝ)
153 prmz 16551 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
154153zred 12607 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1551543ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
156124adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
157 fvex 6855 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ V
158157tpid1 4729 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
159 supxrub 13243 . . . . . . . 8 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
160156, 158, 159sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
161160, 115breqtrrdi 5147 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
1621613adant3 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
163 simp3 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 < 𝑝)
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 11313 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑝)
1651303ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
1661373ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 11313 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) < 𝑝)
16834a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
169 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)))
170 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑝 − 1)))
171169, 170oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))
172168, 171oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
173 prmnn 16550 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
174 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
176175adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
17758adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
17854adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
179178, 176expcld 14051 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
180175faccld 14184 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℕ)
181180nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
182181adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
183180nnne0d 12203 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
184183adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
185179, 182, 184divcld 11931 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℂ)
186177, 185mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℂ)
18728, 172, 176, 186fvmptd3 6971 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
188187eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1891883adant3 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1901123ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℤ)
191 1zzd 12534 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
192153, 191zsubcld 12612 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
1931923ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
194190zred 12607 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℝ)
195 tpid3g 4733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
196112, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
197 supxrub 13243 . . . . . . . . . . . . . 14 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
198124, 196, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
199198, 115breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑇)
2001993ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼𝑇)
201194, 152, 155, 200, 163lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 < 𝑝)
2021533ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℤ)
203 zltlem1 12556 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
204190, 202, 203syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
205201, 204mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))
206 eluz2 12769 . . . . . . . . 9 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
207190, 193, 205, 206syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼))
2081113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
209 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝐼))
210209raleqdv 3313 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
211210elrab 3645 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
212208, 211sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
213212simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
214 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛abs
215 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑝 − 1)
21630, 215nffv 6852 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑆‘(𝑝 − 1))
217214, 216nffv 6852 . . . . . . . . . 10 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1)))
218 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛 <
219 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛1
220217, 218, 219nfbr 5152 . . . . . . . . 9 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1
221 2fveq3 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (abs‘(𝑆𝑛)) = (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))))
222221breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
223220, 222rspc 3569 . . . . . . . 8 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
224207, 213, 223sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)
225171oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
226 ovexd 7392 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V)
22728, 225, 176, 226fvmptd3 6971 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
22815nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
229228, 53reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
230228, 229remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
231230adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
23249, 231remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23335, 232fsumrecl 15619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23434, 233eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
235234adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐶 ∈ ℝ)
236229adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
237236, 176reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
238180nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
239238adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
240237, 239, 184redivcld 11983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℝ)
241235, 240remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℝ)
242227, 241eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
2432423adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
244 1red 11156 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 1 ∈ ℝ)
245243, 244absltd 15314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ((abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 ↔ (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)))
246224, 245mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1))
247246simprd 496 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)
248189, 247eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) < 1)
249 etransclem6 44471 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑝)))
250 eqid 2736 . . . 4 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥)
251 eqid 2736 . . . 4 𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1)))
252143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 248, 249, 250, 251etransclem47 44512 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
253252rexlimdv3a 3156 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)))
254142, 253mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  {ctp 4590   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Or wor 5544  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  cexp 13967  !cfa 14173  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  cprod 15788  eceu 15945  cprime 16547  citg 24982  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-log 25912  df-cxp 25913
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