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Theorem etransclem48 46297
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime 𝑝 is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem48.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem48.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem48.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem48.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem48.c 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
etransclem48.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
etransclem48.i 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
etransclem48.t 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
etransclem48 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑛,𝑗   𝐶,𝑖,𝑛   𝑖,𝐼,𝑛   𝑗,𝑀,𝑘   𝑛,𝑀   𝑄,𝑗   𝑆,𝑖   𝑇,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑄(𝑖,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑛)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem48
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
21eldifad 3963 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
3 0zd 12625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝑄)
54coef2 26270 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
62, 3, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
7 0nn0 12541 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
96, 8ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
10 zabscl 15352 . . . . . . 7 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (deg‘𝑄)
13 dgrcl 26272 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
1512, 14eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1615faccld 14323 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
18 ssrab2 4080 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℕ0
19 nn0ssz 12636 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℤ
2018, 19sstri 3993 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℤ
21 etransclem48.i . . . . . . . 8 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
22 nn0uz 12920 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2318, 22sseqtri 4032 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0)
24 1rp 13038 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
25 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝜑
26 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
27 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
29 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
3028, 29nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑆
31 nn0ex 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
3231mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V)
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
35 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
366adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
37 elfznn0 13660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
4039zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
41 ere 16125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e ∈ ℝ
4241recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
44 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4544zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
4743, 46cxpcld 26750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
4840, 47mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
4948abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
5049recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
5115nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
5551, 54mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5750, 56mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5835, 57fsumcl 15769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5934, 58eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
60 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶))
61 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐶 = 𝐶)
62 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
6460, 61, 62, 63fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = 𝐶)
6522, 3, 33, 59, 64climconst 15579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ⇝ 𝐶)
6631mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
6728, 66eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
69 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7069expfac 45672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
74 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
7574fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7672, 73, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7776, 73eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) ∈ ℂ)
78 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V
7969fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8078, 79mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8382, 72expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) ∈ ℂ)
8472faccld 14323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8584nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
8684nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ≠ 0)
8783, 85, 86divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ ℂ)
8881, 87eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) ∈ ℂ)
89 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
9028fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9189, 90mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9376, 81oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9492, 93eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)))
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 45619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⇝ (𝐶 · 0))
9659mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
9795, 96breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⇝ 0)
98 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑛))
9977, 88mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) ∈ ℂ)
10094, 99eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) ∈ ℂ)
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 45669 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒))
10297, 101mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒)
103 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 1 → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
104103rexralbidv 3223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
105104rspcva 3620 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒) → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
10624, 102, 105sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
107 rabn0 4389 . . . . . . . . . 10 ({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
108106, 107sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅)
109 infssuzcl 12974 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅) → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11023, 108, 109sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11121, 110eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11220, 111sselid 3981 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
113 tpssi 4838 . . . . . 6 (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
11411, 17, 112, 113syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
115 etransclem48.t . . . . . 6 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
116 xrltso 13183 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
117116a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
118 tpfi 9365 . . . . . . . 8 {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin)
12011tpnzd 4780 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅)
121 zssre 12620 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
122 ressxr 11305 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
123121, 122sstri 3993 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ*
124114, 123sstrdi 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
125 fisupcl 9509 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅ ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)) → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
127115, 126eqeltrid 2845 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
128114, 127sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
129 0red 11264 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13016nnred 12281 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
131128zred 12722 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
13216nngt0d 12315 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (!‘𝑀))
133 fvex 6919 . . . . . . . 8 (!‘𝑀) ∈ V
134133tpid2 4770 . . . . . . 7 (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
135 supxrub 13366 . . . . . . 7 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
136124, 134, 135sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
137136, 115breqtrrdi 5185 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 11421 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑇)
139 elnnz 12623 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ ↔ (𝑇 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇))
140128, 138, 139sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ)
141 prmunb 16952 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
142140, 141syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
14313ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
144 etransclem48.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
1451443ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑄‘e) = 0)
146 etransclem48.a0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
1471463ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ≠ 0)
148 simp2 1138 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
1499zcnd 12723 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
1501493ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
151150abscld 15475 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℝ)
1521313ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 ∈ ℝ)
153 prmz 16712 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
154153zred 12722 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1551543ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
156124adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
157 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ V
158157tpid1 4768 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
159 supxrub 13366 . . . . . . . 8 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
160156, 158, 159sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
161160, 115breqtrrdi 5185 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
1621613adant3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
163 simp3 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 < 𝑝)
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 11419 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑝)
1651303ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
1661373ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 11419 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) < 𝑝)
16834a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
169 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)))
170 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑝 − 1)))
171169, 170oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))
172168, 171oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
173 prmnn 16711 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
174 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
176175adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
17758adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
17854adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
179178, 176expcld 14186 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
180175faccld 14323 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℕ)
181180nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
182181adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
183180nnne0d 12316 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
184183adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
185179, 182, 184divcld 12043 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℂ)
186177, 185mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℂ)
18728, 172, 176, 186fvmptd3 7039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
188187eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1891883adant3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1901123ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℤ)
191 1zzd 12648 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
192153, 191zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
1931923ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
194190zred 12722 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℝ)
195 tpid3g 4772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
196112, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
197 supxrub 13366 . . . . . . . . . . . . . 14 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
198124, 196, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
199198, 115breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑇)
2001993ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼𝑇)
201194, 152, 155, 200, 163lelttrd 11419 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 < 𝑝)
2021533ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℤ)
203 zltlem1 12670 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
204190, 202, 203syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
205201, 204mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))
206 eluz2 12884 . . . . . . . . 9 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
207190, 193, 205, 206syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼))
2081113ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
209 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝐼))
210209raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
211210elrab 3692 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
212208, 211sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
213212simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
214 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑛abs
215 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑝 − 1)
21630, 215nffv 6916 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑆‘(𝑝 − 1))
217214, 216nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1)))
218 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛 <
219 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛1
220217, 218, 219nfbr 5190 . . . . . . . . 9 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1
221 2fveq3 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (abs‘(𝑆𝑛)) = (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))))
222221breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
223220, 222rspc 3610 . . . . . . . 8 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
224207, 213, 223sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)
225171oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
226 ovexd 7466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V)
22728, 225, 176, 226fvmptd3 7039 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
22815nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
229228, 53reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
230228, 229remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
231230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
23249, 231remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23335, 232fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23434, 233eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
235234adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐶 ∈ ℝ)
236229adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
237236, 176reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
238180nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
239238adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
240237, 239, 184redivcld 12095 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℝ)
241235, 240remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℝ)
242227, 241eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
2432423adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
244 1red 11262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 1 ∈ ℝ)
245243, 244absltd 15468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ((abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 ↔ (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)))
246224, 245mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1))
247246simprd 495 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)
248189, 247eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) < 1)
249 etransclem6 46255 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑝)))
250 eqid 2737 . . . 4 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥)
251 eqid 2737 . . . 4 𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1)))
252143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 248, 249, 250, 251etransclem47 46296 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
253252rexlimdv3a 3159 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)))
254142, 253mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {ctp 4630   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722  cprod 15939  eceu 16098  cprime 16708  citg 25653  0𝑝c0p 25704  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903  df-ply 26227  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-log 26598  df-cxp 26599
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