Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem114 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem114 45531
Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem114.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem114.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourierdlem114.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem114.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fourierdlem114.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem114.gcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fourierdlem114.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourierdlem114.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourierdlem114.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem114.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem114.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem114.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem114.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem114.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
fourierdlem114.p 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem114.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
fourierdlem114.h 𝐻 = ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
fourierdlem114.m 𝑀 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
fourierdlem114.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem114 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   π‘₯,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑖,𝐺,π‘₯   𝑔,𝐻   𝑖,𝐿,𝑛   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑄   𝑅,𝑖,𝑛   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑋   πœ‘,𝑔   πœ‘,𝑖,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝐴(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑝)   𝐡(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑅(π‘₯,𝑔,𝑝)   𝑆(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(π‘₯,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐿(π‘₯,𝑔,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem114
StepHypRef Expression
1 fourierdlem114.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourierdlem114.t . 2 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fourierdlem114.per . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fourierdlem114.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem114.l . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
6 fourierdlem114.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
7 fourierdlem114.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
8 fourierdlem114.m . . 3 𝑀 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
9 2z 12616 . . . . . 6 2 ∈ β„€
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
11 fourierdlem114.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
12 tpfi 9339 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin)
14 pire 26380 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ
1514renegcli 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ∈ ℝ
1615rexri 11294 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ ℝ*
1714rexri 11294 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ*
18 negpilt0 44585 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ < 0
19 pipos 26382 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < Ο€
20 0re 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2115, 20, 14lttri 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ < 0 ∧ 0 < Ο€) β†’ -Ο€ < Ο€)
2218, 19, 21mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ < Ο€
2315, 14, 22ltleii 11359 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ≀ Ο€
24 prunioo 13482 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) = (-Ο€[,]Ο€))
2516, 17, 23, 24mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) = (-Ο€[,]Ο€)
2625difeq1i 4114 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) βˆ– dom 𝐺) = ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)
27 difundir 4276 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) βˆ– dom 𝐺) = (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺))
2826, 27eqtr3i 2757 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) = (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺))
29 fourierdlem114.dmdv . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
30 prfi 9338 . . . . . . . . . . . 12 {-Ο€, Ο€} ∈ Fin
31 diffi 9195 . . . . . . . . . . . 12 ({-Ο€, Ο€} ∈ Fin β†’ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
33 unfi 9188 . . . . . . . . . . 11 ((((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin) β†’ (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3429, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3528, 34eqeltrid 2832 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
36 unfi 9188 . . . . . . . . 9 (({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin ∧ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin) β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3713, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3811, 37eqeltrid 2832 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Fin)
39 hashcl 14339 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•0)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•0)
4140nn0zd 12606 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„€)
4215, 22ltneii 11349 . . . . . . 7 -Ο€ β‰  Ο€
43 hashprg 14378 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2))
4415, 14, 43mp2an 691 . . . . . . 7 (-Ο€ β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2)
4542, 44mpbi 229 . . . . . 6 (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2
4612elexi 3489 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ V
47 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]Ο€) ∈ V
48 difexg 5323 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€[,]Ο€) ∈ V β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ V)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ V
5046, 49unex 7742 . . . . . . . . 9 ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ V
5111, 50eqeltri 2824 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
52 negex 11480 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ V
5352tpid1 4768 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
5414elexi 3489 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ V
5554tpid2 4770 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
56 prssi 4820 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∧ Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}) β†’ {-Ο€, Ο€} βŠ† {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)})
5753, 55, 56mp2an 691 . . . . . . . . 9 {-Ο€, Ο€} βŠ† {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
58 ssun1 4168 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
5958, 11sseqtrri 4015 . . . . . . . . 9 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† 𝐻
6057, 59sstri 3987 . . . . . . . 8 {-Ο€, Ο€} βŠ† 𝐻
61 hashss 14392 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-Ο€, Ο€} βŠ† 𝐻) β†’ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»))
6251, 60, 61mp2an 691 . . . . . . 7 (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»)
6362a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»))
6445, 63eqbrtrrid 5178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π»))
65 eluz2 12850 . . . . 5 ((β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π») ∈ β„€ ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π»)))
6610, 41, 64, 65syl3anbrc 1341 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
67 uz2m1nn 12929 . . . 4 ((β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 1) ∈ β„•)
6866, 67syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 1) ∈ β„•)
698, 68eqeltrid 2832 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7015a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
7114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
72 negpitopissre 26461 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† ℝ
7322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -Ο€ < Ο€)
74 picn 26381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ β„‚
75742timesi 12372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
7674, 74subnegi 11561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ο€ βˆ’ -Ο€) = (Ο€ + Ο€)
7775, 2, 763eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (Ο€ βˆ’ -Ο€)
78 fourierdlem114.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
7970, 71, 73, 77, 78fourierdlem4 45422 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„βŸΆ(-Ο€(,]Ο€))
8079, 4ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€(,]Ο€))
8172, 80sselid 3976 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
8270, 71, 813jca 1126 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ))
83 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (πΈβ€˜π‘‹) ∈ V
8452, 54, 83tpss 4834 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) ↔ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ℝ)
8582, 84sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ℝ)
86 iccssre 13430 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
8715, 14, 86mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
88 ssdifss 4131 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† ℝ)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† ℝ)
9085, 89unssd 4182 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) βŠ† ℝ)
9111, 90eqsstrid 4026 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ℝ)
92 fourierdlem114.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9338, 91, 92, 8fourierdlem36 45454 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
94 isof1o 7325 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) β†’ 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻)
95 f1of 6833 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻 β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
9693, 94, 953syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
9796, 91fssd 6734 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
98 reex 11221 . . . . 5 ℝ ∈ V
99 ovex 7447 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
10098, 99elmap 8881 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
10197, 100sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
102 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜π‘–))
103102adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜π‘–))
10497ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
105104leidd 11802 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
106105adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
107103, 106eqbrtrd 5164 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
108 elfzelz 13525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
109108zred 12688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
111 elfzle1 13528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑖)
112111ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 0 ≀ 𝑖)
113 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 0 = 𝑖 β†’ 0 β‰  𝑖)
114113necomd 2991 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 0 = 𝑖 β†’ 𝑖 β‰  0)
115114adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 𝑖 β‰  0)
116110, 112, 115ne0gt0d 11373 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 0 < 𝑖)
117 nnssnn0 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• βŠ† β„•0
118 nn0uz 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
119117, 118sseqtri 4014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
120119, 69sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
121 eluzfz1 13532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
12396, 122ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ 𝐻)
12491, 123sseldd 3979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
126104adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
127 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ 0 < 𝑖)
12893ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
129122anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
131 isorel 7328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) β†’ (0 < 𝑖 ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–)))
132128, 130, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (0 < 𝑖 ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–)))
133127, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–))
134125, 126, 133ltled 11384 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
135116, 134syldan 590 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
136107, 135pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
137136adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
138 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€)
139137, 138breqtrd 5168 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ -Ο€)
14070rexrd 11286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
14171rexrd 11286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
142 lbicc2 13465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
14316, 17, 23, 142mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€)
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
145 ubicc2 13466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
14616, 17, 23, 145mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€)
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
148 iocssicc 13438 . . . . . . . . . . . . 13 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
149148, 80sselid 3976 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
150 tpssi 4835 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
151144, 147, 149, 150syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
152 difssd 4128 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
153151, 152unssd 4182 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
15411, 153eqsstrid 4026 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
155154, 123sseldd 3979 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
156 iccgelb 13404 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜0) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
157140, 141, 155, 156syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
158157ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
159124ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
16015a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
161159, 160letri3d 11378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ ((π‘„β€˜0) = -Ο€ ↔ ((π‘„β€˜0) ≀ -Ο€ ∧ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))))
162139, 158, 161mpbir2and 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
16359, 53sselii 3975 . . . . . . 7 -Ο€ ∈ 𝐻
164 f1ofo 6840 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻 β†’ 𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻)
16594, 164syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) β†’ 𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻)
166 forn 6808 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻 β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
16793, 165, 1663syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
168163, 167eleqtrrid 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ran 𝑄)
169 ffn 6716 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻 β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
170 fvelrnb 6953 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (-Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€))
17196, 169, 1703syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€))
172168, 171mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€)
173162, 172r19.29a 3157 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
17459, 55sselii 3975 . . . . . . 7 Ο€ ∈ 𝐻
175174, 167eleqtrrid 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ran 𝑄)
176 fvelrnb 6953 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€))
17796, 169, 1763syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€))
178175, 177mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€)
17996, 154fssd 6734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
180 eluzfz2 13533 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
181120, 180syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
182179, 181ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
183 iccleub 13403 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
184140, 141, 182, 183syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
1851843ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
186 id 22 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€)
187186eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ Ο€ = (π‘„β€˜π‘–))
1881873ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ = (π‘„β€˜π‘–))
189105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
190 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
191190adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
192189, 191breqtrd 5168 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
193109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
194 elfzel2 13523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
195194zred 12688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
196195ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
197 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
198197ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
199 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑖 = 𝑀 β†’ 𝑖 β‰  𝑀)
200199necomd 2991 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑖 = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  𝑖)
201200adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑀 β‰  𝑖)
202193, 196, 198, 201leneltd 11390 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
203104adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
20487, 182sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
205204ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
206 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
20793ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
208 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
209181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
210208, 209jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
211210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
212 isorel 7328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€)))
213207, 211, 212syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€)))
214206, 213mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€))
215203, 205, 214ltled 11384 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
216202, 215syldan 590 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
217192, 216pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
2182173adant3 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
219188, 218eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ ≀ (π‘„β€˜π‘€))
2202043ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
22114a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
222220, 221letri3d 11378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ ((π‘„β€˜π‘€) = Ο€ ↔ ((π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€ ∧ Ο€ ≀ (π‘„β€˜π‘€))))
223185, 219, 222mpbir2and 712 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
224223rexlimdv3a 3154 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€))
225178, 224mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
226 elfzoelz 13656 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
227226zred 12688 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
228227ltp1d 12166 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
229228adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
230 elfzofz 13672 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
231 fzofzp1 13753 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
232230, 231jca 511 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
233 isorel 7328 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
23493, 232, 233syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
235229, 234mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
236235ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
237173, 225, 236jca31 514 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
2387fourierdlem2 45420 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
23969, 238syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
240101, 237, 239mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
241 fourierdlem114.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
242241reseq1i 5975 . . . 4 (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
24316a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
24417a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
245179adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
246 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
247243, 244, 245, 246fourierdlem27 45445 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€(,)Ο€))
248247resabs1d 6010 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
249242, 248eqtr2id 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
250 fourierdlem114.gcn . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
251250, 7, 69, 240, 11, 167fourierdlem38 45456 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
252249, 251eqeltrd 2828 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
253249oveq1d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
254250adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
255 fourierdlem114.rlim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
256255adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
257 fourierdlem114.llim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
258257adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
25993adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
260259, 94, 953syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
26181adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
262259, 165, 1663syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
263254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262fourierdlem46 45463 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ… ∧ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…))
264263simpld 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ…)
265253, 264eqnetrd 3003 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ…)
266249oveq1d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
267263simprd 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…)
268266, 267eqnetrd 3003 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…)
269 fourierdlem114.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
270 fourierdlem114.b . 2 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
271 fourierdlem114.s . 2 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
27283tpid3 4773 . . . . 5 (πΈβ€˜π‘‹) ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
273 elun1 4172 . . . . 5 ((πΈβ€˜π‘‹) ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)))
274272, 273mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)))
275274, 11eleqtrrdi 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ 𝐻)
276275, 167eleqtrrd 2831 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝑄)
2771, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276fourierdlem113 45530 1 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  {cpr 4626  {ctp 4628   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β„©cio 6492   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  (,)cioo 13348  (,]cioc 13349  [,)cico 13350  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  βŒŠcfl 13779  seqcseq 13990  β™―chash 14313   ⇝ cli 15452  Ξ£csu 15656  sincsin 16031  cosccos 16032  Ο€cpi 16034  β€“cnβ†’ccncf 24783  βˆ«citg 25534   limβ„‚ climc 25778   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-t1 23205  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-ditg 25763  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem115  45532
  Copyright terms: Public domain W3C validator