Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem114 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem114 42382
Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem114.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem114.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem114.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem114.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem114.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem114.gcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem114.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem114.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem114.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem114.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem114.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem114.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem114.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem114.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
fourierdlem114.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem114.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem114.h 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
fourierdlem114.m 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem114.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem114 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑥,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻   𝑖,𝐿,𝑛   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑄   𝑅,𝑖,𝑛   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑔   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑔,𝑖,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑔,𝑖,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑔,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑔,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem114
StepHypRef Expression
1 fourierdlem114.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem114.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem114.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem114.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem114.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
6 fourierdlem114.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
7 fourierdlem114.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
8 fourierdlem114.m . . 3 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
9 2z 12002 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
11 fourierdlem114.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
12 tpfi 8782 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin)
14 pire 24971 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
1514renegcli 10935 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
1615rexri 10687 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ*
1714rexri 10687 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ*
18 negpilt0 41422 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π < 0
19 pipos 24973 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
20 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2115, 20, 14lttri 10754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
2218, 19, 21mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 -π < π
2315, 14, 22ltleii 10751 . . . . . . . . . . . . 13 -π ≤ π
24 prunioo 12855 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π))
2516, 17, 23, 24mp3an 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π)
2625difeq1i 4092 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)
27 difundir 4254 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
2826, 27eqtr3i 2843 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
29 fourierdlem114.dmdv . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
30 prfi 8781 . . . . . . . . . . . 12 {-π, π} ∈ Fin
31 diffi 8738 . . . . . . . . . . . 12 ({-π, π} ∈ Fin → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
33 unfi 8773 . . . . . . . . . . 11 ((((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3429, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3528, 34eqeltrid 2914 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
36 unfi 8773 . . . . . . . . 9 (({-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin ∧ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3713, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3811, 37eqeltrid 2914 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
39 hashcl 13705 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
4140nn0zd 12073 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
4215, 22ltneii 10741 . . . . . . 7 -π ≠ π
43 hashprg 13744 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2))
4415, 14, 43mp2an 688 . . . . . . 7 (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2)
4542, 44mpbi 231 . . . . . 6 (♯‘{-π, π}) = 2
4612elexi 3511 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ V
47 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ∈ V
48 difexg 5222 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∈ V → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V
5046, 49unex 7458 . . . . . . . . 9 ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ V
5111, 50eqeltri 2906 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
52 negex 10872 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ V
5352tpid1 4696 . . . . . . . . . 10 -π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
5414elexi 3511 . . . . . . . . . . 11 π ∈ V
5554tpid2 4698 . . . . . . . . . 10 π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
56 prssi 4746 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)} ∧ π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}) → {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)})
5753, 55, 56mp2an 688 . . . . . . . . 9 {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)}
58 ssun1 4145 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
5958, 11sseqtrri 4001 . . . . . . . . 9 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ 𝐻
6057, 59sstri 3973 . . . . . . . 8 {-π, π} ⊆ 𝐻
61 hashss 13758 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-π, π} ⊆ 𝐻) → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6251, 60, 61mp2an 688 . . . . . . 7 (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻)
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6445, 63eqbrtrrid 5093 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐻))
65 eluz2 12237 . . . . 5 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝐻)))
6610, 41, 64, 65syl3anbrc 1335 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2))
67 uz2m1nn 12311 . . . 4 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
698, 68eqeltrid 2914 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7015a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
7114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → π ∈ ℝ)
72 negpitopissre 25051 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,]π) ⊆ ℝ
7322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π < π)
74 picn 24972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℂ
75742timesi 11763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) = (π + π)
7674, 74subnegi 10953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π − -π) = (π + π)
7775, 2, 763eqtr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (π − -π)
78 fourierdlem114.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
7970, 71, 73, 77, 78fourierdlem4 42273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸:ℝ⟶(-π(,]π))
8079, 4ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π(,]π))
8172, 80sseldi 3962 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8270, 71, 813jca 1120 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ))
83 fvex 6676 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝑋) ∈ V
8452, 54, 83tpss 4760 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) ↔ {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
8582, 84sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
86 iccssre 12806 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
8715, 14, 86mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) ⊆ ℝ
88 ssdifss 4109 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
9085, 89unssd 4159 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ ℝ)
9111, 90eqsstrid 4012 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
92 fourierdlem114.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9338, 91, 92, 8fourierdlem36 42305 . . . . . 6 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
94 isof1o 7065 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻)
95 f1of 6608 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9693, 94, 953syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9796, 91fssd 6521 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
98 reex 10616 . . . . 5 ℝ ∈ V
99 ovex 7178 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
10098, 99elmap 8424 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
10197, 100sylibr 235 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
102 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
103102adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
10497ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
105104leidd 11194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
106105adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
107103, 106eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
108 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
109108zred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
110109ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
111 elfzle1 12898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
112111ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
113 neqne 3021 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 0 = 𝑖 → 0 ≠ 𝑖)
114113necomd 3068 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 = 𝑖𝑖 ≠ 0)
115114adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ≠ 0)
116110, 112, 115ne0gt0d 10765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 < 𝑖)
117 nnssnn0 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ⊆ ℕ0
118 nn0uz 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
119117, 118sseqtri 4000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ⊆ (ℤ‘0)
120119, 69sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
121 eluzfz1 12902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
12396, 122ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ 𝐻)
12491, 123sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
125124ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
126104adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
127 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 0 < 𝑖)
12893ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
129122anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
130129adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
131 isorel 7068 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
132128, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
133127, 132mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) < (𝑄𝑖))
134125, 126, 133ltled 10776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
135116, 134syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
136107, 135pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
137136adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
138 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄𝑖) = -π)
139137, 138breqtrd 5083 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ -π)
14070rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
14171rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
142 lbicc2 12840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → -π ∈ (-π[,]π))
14316, 17, 23, 142mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ (-π[,]π)
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ (-π[,]π))
145 ubicc2 12841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → π ∈ (-π[,]π))
14616, 17, 23, 145mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ (-π[,]π)
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ (-π[,]π))
148 iocssicc 12813 . . . . . . . . . . . . 13 (-π(,]π) ⊆ (-π[,]π)
149148, 80sseldi 3962 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π))
150 tpssi 4761 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ (-π[,]π) ∧ π ∈ (-π[,]π) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π)) → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
151144, 147, 149, 150syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
152 difssd 4106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ (-π[,]π))
153151, 152unssd 4159 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ (-π[,]π))
15411, 153eqsstrid 4012 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ⊆ (-π[,]π))
155154, 123sseldd 3965 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π))
156 iccgelb 12781 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ (𝑄‘0))
157140, 141, 155, 156syl3anc 1363 . . . . . . 7 (𝜑 → -π ≤ (𝑄‘0))
158157ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ≤ (𝑄‘0))
159124ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
16015a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ∈ ℝ)
161159, 160letri3d 10770 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → ((𝑄‘0) = -π ↔ ((𝑄‘0) ≤ -π ∧ -π ≤ (𝑄‘0))))
162139, 158, 161mpbir2and 709 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) = -π)
16359, 53sselii 3961 . . . . . . 7 -π ∈ 𝐻
164 f1ofo 6615 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
16594, 164syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
166 forn 6586 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻 → ran 𝑄 = 𝐻)
16793, 165, 1663syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
168163, 167eleqtrrid 2917 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ran 𝑄)
169 ffn 6507 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
170 fvelrnb 6719 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
17196, 169, 1703syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
172168, 171mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π)
173162, 172r19.29a 3286 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
17459, 55sselii 3961 . . . . . . 7 π ∈ 𝐻
175174, 167eleqtrrid 2917 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ran 𝑄)
176 fvelrnb 6719 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
17796, 169, 1763syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
178175, 177mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π)
17996, 154fssd 6521 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
180 eluzfz2 12903 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
181120, 180syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
182179, 181ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π))
183 iccleub 12780 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π)) → (𝑄𝑀) ≤ π)
184140, 141, 182, 183syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≤ π)
1851843ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ≤ π)
186 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑖) = π)
187186eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖) = π → π = (𝑄𝑖))
1881873ad2ant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π = (𝑄𝑖))
189105adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
190 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
191190adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
192189, 191breqtrd 5083 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
193109ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
194 elfzel2 12894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
195194zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
196195ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
197 elfzle2 12899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖𝑀)
198197ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖𝑀)
199 neqne 3021 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 = 𝑀𝑖𝑀)
200199necomd 3068 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 = 𝑀𝑀𝑖)
201200adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀𝑖)
202193, 196, 198, 201leneltd 10782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
203104adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
20487, 182sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
205204ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
206 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
20793ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
208 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
209181adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
210208, 209jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
211210adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
212 isorel 7068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
213207, 211, 212syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
214206, 213mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀))
215203, 205, 214ltled 10776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
216202, 215syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
217192, 216pm2.61dan 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
2182173adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
219188, 218eqbrtrd 5079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ≤ (𝑄𝑀))
2202043ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
22114a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ∈ ℝ)
222220, 221letri3d 10770 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → ((𝑄𝑀) = π ↔ ((𝑄𝑀) ≤ π ∧ π ≤ (𝑄𝑀))))
223185, 219, 222mpbir2and 709 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) = π)
224223rexlimdv3a 3283 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑀) = π))
225178, 224mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
226 elfzoelz 13026 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
227226zred 12075 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
228227ltp1d 11558 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
229228adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
230 elfzofz 13041 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
231 fzofzp1 13122 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
232230, 231jca 512 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
233 isorel 7068 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23493, 232, 233syl2an 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
235229, 234mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
236235ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
237173, 225, 236jca31 515 . . 3 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2387fourierdlem2 42271 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23969, 238syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
240101, 237, 239mpbir2and 709 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
241 fourierdlem114.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
242241reseq1i 5842 . . . 4 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
24316a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
24417a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
245179adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
246 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
247243, 244, 245, 246fourierdlem27 42296 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
248247resabs1d 5877 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
249242, 248syl5req 2866 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
250 fourierdlem114.gcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
251250, 7, 69, 240, 11, 167fourierdlem38 42307 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
252249, 251eqeltrd 2910 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
253249oveq1d 7160 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
254250adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
255 fourierdlem114.rlim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
256255adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
257 fourierdlem114.llim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
258257adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
25993adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
260259, 94, 953syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
26181adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
262259, 165, 1663syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran 𝑄 = 𝐻)
263254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262fourierdlem46 42314 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅ ∧ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅))
264263simpld 495 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
265253, 264eqnetrd 3080 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
266249oveq1d 7160 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
267263simprd 496 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
268266, 267eqnetrd 3080 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
269 fourierdlem114.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
270 fourierdlem114.b . 2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
271 fourierdlem114.s . 2 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
27283tpid3 4701 . . . . 5 (𝐸𝑋) ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
273 elun1 4149 . . . . 5 ((𝐸𝑋) ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)} → (𝐸𝑋) ∈ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))
274272, 273mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))
275274, 11eleqtrrdi 2921 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ 𝐻)
276275, 167eleqtrrd 2913 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
2771, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276fourierdlem113 42381 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {cpr 4559  {ctp 4561   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cio 6305   Fn wfn 6343  wf 6344  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348   Isom wiso 6349  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  cfl 13148  seqcseq 13357  chash 13678  cli 14829  Σcsu 15030  sincsin 15405  cosccos 15406  πcpi 15408  cnccncf 23411  citg 24146   lim climc 24387   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-t1 21850  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-ditg 24372  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  fourierdlem115  42383
  Copyright terms: Public domain W3C validator