Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem114 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem114 44535
Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem114.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem114.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourierdlem114.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem114.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fourierdlem114.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem114.gcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fourierdlem114.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourierdlem114.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fourierdlem114.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem114.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem114.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem114.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem114.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem114.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
fourierdlem114.p 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem114.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
fourierdlem114.h 𝐻 = ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
fourierdlem114.m 𝑀 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
fourierdlem114.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem114 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   π‘₯,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑖,𝐺,π‘₯   𝑔,𝐻   𝑖,𝐿,𝑛   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑄   𝑅,𝑖,𝑛   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   π‘₯,𝑋   πœ‘,𝑔   πœ‘,𝑖,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝐴(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑝)   𝐡(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑅(π‘₯,𝑔,𝑝)   𝑆(π‘₯,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(π‘₯,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐿(π‘₯,𝑔,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem114
StepHypRef Expression
1 fourierdlem114.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourierdlem114.t . 2 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fourierdlem114.per . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fourierdlem114.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem114.l . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
6 fourierdlem114.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
7 fourierdlem114.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
8 fourierdlem114.m . . 3 𝑀 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
9 2z 12542 . . . . . 6 2 ∈ β„€
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
11 fourierdlem114.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
12 tpfi 9274 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin)
14 pire 25831 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ
1514renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ∈ ℝ
1615rexri 11220 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ ℝ*
1714rexri 11220 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ*
18 negpilt0 43588 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ < 0
19 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < Ο€
20 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2115, 20, 14lttri 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ < 0 ∧ 0 < Ο€) β†’ -Ο€ < Ο€)
2218, 19, 21mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ < Ο€
2315, 14, 22ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ≀ Ο€
24 prunioo 13405 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) = (-Ο€[,]Ο€))
2516, 17, 23, 24mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) = (-Ο€[,]Ο€)
2625difeq1i 4083 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) βˆ– dom 𝐺) = ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)
27 difundir 4245 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€(,)Ο€) βˆͺ {-Ο€, Ο€}) βˆ– dom 𝐺) = (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺))
2826, 27eqtr3i 2767 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) = (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺))
29 fourierdlem114.dmdv . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
30 prfi 9273 . . . . . . . . . . . 12 {-Ο€, Ο€} ∈ Fin
31 diffi 9130 . . . . . . . . . . . 12 ({-Ο€, Ο€} ∈ Fin β†’ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
33 unfi 9123 . . . . . . . . . . 11 ((((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin) β†’ (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3429, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) βˆͺ ({-Ο€, Ο€} βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3528, 34eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
36 unfi 9123 . . . . . . . . 9 (({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ Fin ∧ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin) β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3713, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ Fin)
3811, 37eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Fin)
39 hashcl 14263 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•0)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•0)
4140nn0zd 12532 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„€)
4215, 22ltneii 11275 . . . . . . 7 -Ο€ β‰  Ο€
43 hashprg 14302 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2))
4415, 14, 43mp2an 691 . . . . . . 7 (-Ο€ β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2)
4542, 44mpbi 229 . . . . . 6 (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) = 2
4612elexi 3467 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∈ V
47 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]Ο€) ∈ V
48 difexg 5289 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€[,]Ο€) ∈ V β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ V)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ V
5046, 49unex 7685 . . . . . . . . 9 ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) ∈ V
5111, 50eqeltri 2834 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
52 negex 11406 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ V
5352tpid1 4734 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
5414elexi 3467 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ V
5554tpid2 4736 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
56 prssi 4786 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} ∧ Ο€ ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}) β†’ {-Ο€, Ο€} βŠ† {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)})
5753, 55, 56mp2an 691 . . . . . . . . 9 {-Ο€, Ο€} βŠ† {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
58 ssun1 4137 . . . . . . . . . 10 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺))
5958, 11sseqtrri 3986 . . . . . . . . 9 {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† 𝐻
6057, 59sstri 3958 . . . . . . . 8 {-Ο€, Ο€} βŠ† 𝐻
61 hashss 14316 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-Ο€, Ο€} βŠ† 𝐻) β†’ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»))
6251, 60, 61mp2an 691 . . . . . . 7 (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»)
6362a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{-Ο€, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π»))
6445, 63eqbrtrrid 5146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π»))
65 eluz2 12776 . . . . 5 ((β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π») ∈ β„€ ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π»)))
6610, 41, 64, 65syl3anbrc 1344 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
67 uz2m1nn 12855 . . . 4 ((β™―β€˜π») ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 1) ∈ β„•)
6866, 67syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 1) ∈ β„•)
698, 68eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7015a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
7114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
72 negpitopissre 25912 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† ℝ
7322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -Ο€ < Ο€)
74 picn 25832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ β„‚
75742timesi 12298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
7674, 74subnegi 11487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ο€ βˆ’ -Ο€) = (Ο€ + Ο€)
7775, 2, 763eqtr4i 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (Ο€ βˆ’ -Ο€)
78 fourierdlem114.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
7970, 71, 73, 77, 78fourierdlem4 44426 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„βŸΆ(-Ο€(,]Ο€))
8079, 4ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€(,]Ο€))
8172, 80sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
8270, 71, 813jca 1129 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ))
83 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (πΈβ€˜π‘‹) ∈ V
8452, 54, 83tpss 4800 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) ↔ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ℝ)
8582, 84sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† ℝ)
86 iccssre 13353 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
8715, 14, 86mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
88 ssdifss 4100 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† ℝ)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† ℝ)
9085, 89unssd 4151 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) βŠ† ℝ)
9111, 90eqsstrid 3997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ℝ)
92 fourierdlem114.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9338, 91, 92, 8fourierdlem36 44458 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
94 isof1o 7273 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) β†’ 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻)
95 f1of 6789 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻 β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
9693, 94, 953syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
9796, 91fssd 6691 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
98 reex 11149 . . . . 5 ℝ ∈ V
99 ovex 7395 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
10098, 99elmap 8816 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
10197, 100sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
102 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜π‘–))
103102adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜π‘–))
10497ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
105104leidd 11728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
106105adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
107103, 106eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
108 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
109108zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
111 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑖)
112111ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 0 ≀ 𝑖)
113 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 0 = 𝑖 β†’ 0 β‰  𝑖)
114113necomd 3000 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 0 = 𝑖 β†’ 𝑖 β‰  0)
115114adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 𝑖 β‰  0)
116110, 112, 115ne0gt0d 11299 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ 0 < 𝑖)
117 nnssnn0 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• βŠ† β„•0
118 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
119117, 118sseqtri 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
120119, 69sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
121 eluzfz1 13455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
12396, 122ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ 𝐻)
12491, 123sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
126104adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
127 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ 0 < 𝑖)
12893ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
129122anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
130129adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
131 isorel 7276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) β†’ (0 < 𝑖 ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–)))
132128, 130, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (0 < 𝑖 ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–)))
133127, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜π‘–))
134125, 126, 133ltled 11310 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
135116, 134syldan 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 0 = 𝑖) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
136107, 135pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
137136adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
138 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€)
139137, 138breqtrd 5136 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ -Ο€)
14070rexrd 11212 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
14171rexrd 11212 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
142 lbicc2 13388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
14316, 17, 23, 142mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€)
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
145 ubicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ Ο€) β†’ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
14616, 17, 23, 145mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€)
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
148 iocssicc 13361 . . . . . . . . . . . . 13 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
149148, 80sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
150 tpssi 4801 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Ο€ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
151144, 147, 149, 150syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
152 difssd 4097 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
153151, 152unssd 4151 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
15411, 153eqsstrid 3997 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
155154, 123sseldd 3950 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
156 iccgelb 13327 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜0) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
157140, 141, 155, 156syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
158157ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))
159124ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
16015a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
161159, 160letri3d 11304 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ ((π‘„β€˜0) = -Ο€ ↔ ((π‘„β€˜0) ≀ -Ο€ ∧ -Ο€ ≀ (π‘„β€˜0))))
162139, 158, 161mpbir2and 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€) β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
16359, 53sselii 3946 . . . . . . 7 -Ο€ ∈ 𝐻
164 f1ofo 6796 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto→𝐻 β†’ 𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻)
16594, 164syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) β†’ 𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻)
166 forn 6764 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto→𝐻 β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
16793, 165, 1663syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
168163, 167eleqtrrid 2845 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ran 𝑄)
169 ffn 6673 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻 β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
170 fvelrnb 6908 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (-Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€))
17196, 169, 1703syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€))
172168, 171mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = -Ο€)
173162, 172r19.29a 3160 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
17459, 55sselii 3946 . . . . . . 7 Ο€ ∈ 𝐻
175174, 167eleqtrrid 2845 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ran 𝑄)
176 fvelrnb 6908 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€))
17796, 169, 1763syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€ ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€))
178175, 177mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€)
17996, 154fssd 6691 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
180 eluzfz2 13456 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
181120, 180syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
182179, 181ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
183 iccleub 13326 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
184140, 141, 182, 183syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
1851843ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€)
186 id 22 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€)
187186eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ Ο€ = (π‘„β€˜π‘–))
1881873ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ = (π‘„β€˜π‘–))
189105adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
190 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
191190adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
192189, 191breqtrd 5136 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
193109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
194 elfzel2 13446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
195194zred 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
196195ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
197 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
198197ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
199 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑖 = 𝑀 β†’ 𝑖 β‰  𝑀)
200199necomd 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑖 = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  𝑖)
201200adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑀 β‰  𝑖)
202193, 196, 198, 201leneltd 11316 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
203104adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
20487, 182sselid 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
205204ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
206 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
20793ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
208 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
209181adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
210208, 209jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
211210adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
212 isorel 7276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€)))
213207, 211, 212syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€)))
214206, 213mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘€))
215203, 205, 214ltled 11310 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
216202, 215syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
217192, 216pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
2182173adant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
219188, 218eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ ≀ (π‘„β€˜π‘€))
2202043ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
22114a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
222220, 221letri3d 11304 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ ((π‘„β€˜π‘€) = Ο€ ↔ ((π‘„β€˜π‘€) ≀ Ο€ ∧ Ο€ ≀ (π‘„β€˜π‘€))))
223185, 219, 222mpbir2and 712 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
224223rexlimdv3a 3157 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = Ο€ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€))
225178, 224mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
226 elfzoelz 13579 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
227226zred 12614 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
228227ltp1d 12092 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
229228adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
230 elfzofz 13595 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
231 fzofzp1 13676 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
232230, 231jca 513 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
233 isorel 7276 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
23493, 232, 233syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
235229, 234mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
236235ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
237173, 225, 236jca31 516 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
2387fourierdlem2 44424 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
23969, 238syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
240101, 237, 239mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
241 fourierdlem114.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
242241reseq1i 5938 . . . 4 (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
24316a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
24417a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
245179adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
246 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
247243, 244, 245, 246fourierdlem27 44449 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€(,)Ο€))
248247resabs1d 5973 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
249242, 248eqtr2id 2790 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
250 fourierdlem114.gcn . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
251250, 7, 69, 240, 11, 167fourierdlem38 44460 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
252249, 251eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
253249oveq1d 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
254250adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
255 fourierdlem114.rlim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
256255adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
257 fourierdlem114.llim . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
258257adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
25993adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
260259, 94, 953syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢𝐻)
26181adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
262259, 165, 1663syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ran 𝑄 = 𝐻)
263254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262fourierdlem46 44467 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ… ∧ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…))
264263simpld 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ…)
265253, 264eqnetrd 3012 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) β‰  βˆ…)
266249oveq1d 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
267263simprd 497 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…)
268266, 267eqnetrd 3012 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β‰  βˆ…)
269 fourierdlem114.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
270 fourierdlem114.b . 2 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
271 fourierdlem114.s . 2 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
27283tpid3 4739 . . . . 5 (πΈβ€˜π‘‹) ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)}
273 elun1 4141 . . . . 5 ((πΈβ€˜π‘‹) ∈ {-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)))
274272, 273mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ({-Ο€, Ο€, (πΈβ€˜π‘‹)} βˆͺ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)))
275274, 11eleqtrrdi 2849 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ 𝐻)
276275, 167eleqtrrd 2841 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝑄)
2771, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276fourierdlem113 44534 1 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {cpr 4593  {ctp 4595   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β„©cio 6451   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501   Isom wiso 6502  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  (,)cioo 13271  (,]cioc 13272  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β™―chash 14237   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  sincsin 15953  cosccos 15954  Ο€cpi 15956  β€“cnβ†’ccncf 24255  βˆ«citg 24998   limβ„‚ climc 25242   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ditg 25227  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem115  44536
  Copyright terms: Public domain W3C validator