Theorem decaddc 12140

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decaddc.e	⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
decaddc.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decaddc.2	⊢ (𝐵 + 𝐷) = ;1𝐹

Assertion

Ref	Expression
decaddc	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12103	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12088	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2844	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12088	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2844	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decaddc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
13		decaddc.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
14		decaddc.2	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = ;1𝐹
15		dfdec10 12088	. . . 4 ⊢ ;1𝐹 = ((;10 · 1) + 𝐹)
16	14, 15	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = ((;10 · 1) + 𝐹)
17	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16	numaddc 12133	. 2 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
18		dfdec10 12088	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
19	17, 18	eqtr4i 2847	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7142  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528  ℕ₀cn0 11884  ;cdc 12085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-ltxr 10666  df-sub 10858  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-dec 12086

This theorem is referenced by:  decaddc2  12141  decaddci  12146  2exp16  16407  prmlem2  16436  37prm  16437  1259lem1  16447  1259lem4  16450  2503lem2  16454  4001lem1  16457  threehalves  30577  1mhdrd  30578  hgt750lem2  31930  fmtno5lem4  43803  fmtno4nprmfac193  43821  fmtno5fac  43829