MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0cni 12358
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by NM, 14-May-2003.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0rei.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0cni 𝐴 ∈ ℂ

Proof of Theorem nn0cni
StepHypRef Expression
1 nn0sscn 12351 . 2 0 ⊆ ℂ
2 nn0rei.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ0
31, 2sselii 3939 1 𝐴 ∈ ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  cc 10982  0cn0 12346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-mulcl 11046  ax-i2m1 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-nn 12087  df-n0 12347
This theorem is referenced by:  nn0le2xi  12400  num0u  12561  num0h  12562  numsuc  12564  numsucc  12590  numma  12594  nummac  12595  numma2c  12596  numadd  12597  numaddc  12598  nummul1c  12599  nummul2c  12600  decrmanc  12607  decrmac  12608  decaddi  12610  decaddci  12611  decsubi  12613  decmul1  12614  decmulnc  12617  11multnc  12618  decmul10add  12619  6p5lem  12620  4t3lem  12647  7t3e21  12660  7t6e42  12663  8t3e24  12666  8t4e32  12667  8t8e64  12671  9t3e27  12673  9t4e36  12674  9t5e45  12675  9t6e54  12676  9t7e63  12677  9t11e99  12680  decbin0  12690  decbin2  12691  sq10  14091  3dec  14093  nn0le2msqi  14094  nn0opthlem1  14095  nn0opthi  14097  nn0opth2i  14098  faclbnd4lem1  14120  cats1fvn  14678  bpoly4  15876  fsumcube  15877  3dvdsdec  16148  3dvds2dec  16149  divalglem2  16211  3lcm2e6  16541  phiprmpw  16582  dec5dvds  16870  dec5dvds2  16871  dec2nprm  16873  modxai  16874  mod2xi  16875  mod2xnegi  16877  modsubi  16878  gcdi  16879  decexp2  16881  numexp0  16882  numexp1  16883  numexpp1  16884  numexp2x  16885  decsplit0b  16886  decsplit0  16887  decsplit1  16888  decsplit  16889  karatsuba  16890  2exp8  16895  prmlem2  16926  83prm  16929  139prm  16930  163prm  16931  631prm  16933  1259lem1  16937  1259lem2  16938  1259lem3  16939  1259lem4  16940  1259lem5  16941  1259prm  16942  2503lem1  16943  2503lem2  16944  2503lem3  16945  2503prm  16946  4001lem1  16947  4001lem2  16948  4001lem3  16949  4001lem4  16950  4001prm  16951  log2ublem1  26218  log2ublem2  26219  log2ublem3  26220  log2ub  26221  birthday  26226  ppidif  26434  bpos1lem  26552  9p10ne21  29212  dfdec100  31520  dp20u  31528  dp20h  31529  dpmul10  31545  dpmul100  31547  dp3mul10  31548  dpmul1000  31549  dpexpp1  31558  0dp2dp  31559  dpadd2  31560  dpadd  31561  dpmul  31563  dpmul4  31564  lmatfvlem  32169  ballotlemfp1  32864  ballotth  32910  reprlt  33005  hgt750lemd  33034  hgt750lem2  33038  subfacp1lem1  33546  poimirlem26  35999  poimirlem28  36001  420gcd8e4  40358  lcmeprodgcdi  40359  12lcm5e60  40360  60lcm7e420  40362  3exp7  40405  3lexlogpow5ineq1  40406  3lexlogpow5ineq5  40412  aks4d1p1p7  40426  aks4d1p1  40428  decaddcom  40666  sqn5i  40667  decpmulnc  40669  decpmul  40670  sqdeccom12  40671  sq3deccom12  40672  235t711  40673  ex-decpmul  40674  resqrtvalex  41679  imsqrtvalex  41680  inductionexd  42191  unitadd  42232  fmtno5lem4  45497  257prm  45502  fmtno4prmfac  45513  fmtno5fac  45523  139prmALT  45537  127prm  45540  m11nprm  45542  11t31e341  45673  2exp340mod341  45674  ackval3012  46527
  Copyright terms: Public domain W3C validator