Theorem gsumws3 43506

Description: Valuation of a length 3 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumws3.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws3.1	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws3	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Proof of Theorem gsumws3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1s2 14877	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩))
3	2	oveq2d 7420	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝑆 ∈ 𝐵)
6	5	s1cld 14556	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		simprrl 778	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
8		simprrr 779	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9	7, 8	s2cld 14825	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵)
10		gsumws3.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		gsumws3.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12	10, 11	gsumccat 18763	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
13	4, 6, 9, 12	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
14	10	gsumws1 18760	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
15	14	ad2antrl 725	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
16	10, 11	gsumws2 18764	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
17	16	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
18	17	adantrl 713	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
19	15, 18	oveq12d 7422	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
20	3, 13, 19	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Word cword 14467   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14548  ⟨“cs2 14795  ⟨“cs3 14796  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203   Σ_g cgsu 17392  Mndcmnd 18664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-s2 14802  df-s3 14803  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711

This theorem is referenced by:  gsumws4  43507  amgm3d  43509