Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumws3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws3 44186
Description: Valuation of a length 3 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumws3.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws3.1 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Proof of Theorem gsumws3
StepHypRef Expression
1 s1s2 14959 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩))
32oveq2d 7447 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
4 simpl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5 simprl 771 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑆𝐵)
65s1cld 14638 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 simprrl 781 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑇𝐵)
8 simprrr 782 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑈𝐵)
97, 8s2cld 14907 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵)
10 gsumws3.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 gsumws3.1 . . . 4 + = (+g𝐺)
1210, 11gsumccat 18867 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
134, 6, 9, 12syl3anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
1410gsumws1 18864 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1514ad2antrl 728 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1610, 11gsumws2 18868 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
17163expb 1119 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵)) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1817adantrl 716 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1915, 18oveq12d 7449 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
203, 13, 193eqtrd 2779 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  ⟨“cs2 14877  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810
This theorem is referenced by:  gsumws4  44187  amgm3d  44189
  Copyright terms: Public domain W3C validator