Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumws3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws3 44209
Description: Valuation of a length 3 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumws3.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws3.1 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Proof of Theorem gsumws3
StepHypRef Expression
1 s1s2 14962 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩))
32oveq2d 7447 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
4 simpl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5 simprl 771 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑆𝐵)
65s1cld 14641 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 simprrl 781 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑇𝐵)
8 simprrr 782 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑈𝐵)
97, 8s2cld 14910 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵)
10 gsumws3.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 gsumws3.1 . . . 4 + = (+g𝐺)
1210, 11gsumccat 18854 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
134, 6, 9, 12syl3anc 1373 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
1410gsumws1 18851 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1514ad2antrl 728 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1610, 11gsumws2 18855 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
17163expb 1121 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵)) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1817adantrl 716 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1915, 18oveq12d 7449 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
203, 13, 193eqtrd 2781 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633  ⟨“cs2 14880  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797
This theorem is referenced by:  gsumws4  44210  amgm3d  44212
  Copyright terms: Public domain W3C validator