Theorem gsumws3 44942

Description: Valuation of a length 3 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumws3.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws3.1	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws3	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Proof of Theorem gsumws3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1s2 14956	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩))
3	2	oveq2d 7426	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝑆 ∈ 𝐵)
6	5	s1cld 14637	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		simprrl 792	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
8		simprrr 793	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9	7, 8	s2cld 14904	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵)
10		gsumws3.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		gsumws3.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12	10, 11	gsumccat 18895	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
13	4, 6, 9, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
14	10	gsumws1 18892	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
15	14	ad2antrl 740	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
16	10, 11	gsumws2 18896	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
17	16	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
18	17	adantrl 728	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
19	15, 18	oveq12d 7428	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
20	3, 13, 19	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Word cword 14546   ++ cconcat 14603  ⟨“cs1 14629  ⟨“cs2 14874  ⟨“cs3 14875  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305   Σ_g cgsu 17488  Mndcmnd 18787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837

This theorem is referenced by:  gsumws4  44943  amgm3d  44945