MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xleneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xleneg 12695
Description: Extended real version of leneg 11222. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleneg ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xleneg
StepHypRef Expression
1 xltneg 12694 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
21ancoms 462 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
32notbid 321 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
4 xrlenlt 10785 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 xnegcl 12690 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
6 xnegcl 12690 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7 xrlenlt 10785 . . 3 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
85, 6, 7syl2anr 600 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ ¬ -𝑒𝐴 < -𝑒𝐵))
93, 4, 83bitr4d 314 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2113   class class class wbr 5031  *cxr 10753   < clt 10754  cle 10755  -𝑒cxne 12588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-xneg 12591
This theorem is referenced by:  xle0neg1  12698  xle0neg2  12699  carsgclctunlem2  31856  monoord2xrv  42556  xlenegcon1  42559  xlenegcon2  42560  xlimpnfxnegmnf  42889
  Copyright terms: Public domain W3C validator