Theorem mapsspm 6022

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by set.mm contributors, 15-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	⊢ (A ↑m B) ⊆ (A ↑pm B)

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variables x f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3580	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (A ↑pm B)
2		sseq1 3293	. . 3 ⊢ ((A ↑m B) = ∅ → ((A ↑m B) ⊆ (A ↑pm B) ↔ ∅ ⊆ (A ↑pm B)))
3	1, 2	mpbiri 224	. 2 ⊢ ((A ↑m B) = ∅ → (A ↑m B) ⊆ (A ↑pm B))
4		n0 3560	. . . 4 ⊢ ((A ↑m B) ≠ ∅ ↔ ∃x x ∈ (A ↑m B))
5		elovex12 5649	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (A ↑m B) → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
6	5	exlimiv 1634	. . . 4 ⊢ (∃x x ∈ (A ↑m B) → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
7	4, 6	sylbi 187	. . 3 ⊢ ((A ↑m B) ≠ ∅ → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
8		fssxp 5233	. . . . . . . . 9 ⊢ (f:B–→A → f ⊆ (B × A))
9		vex 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ f ∈ V
10	9	elpw 3729	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ∈ ℘(B × A) ↔ f ⊆ (B × A))
11	8, 10	sylibr 203	. . . . . . . 8 ⊢ (f:B–→A → f ∈ ℘(B × A))
12		ffun 5226	. . . . . . . 8 ⊢ (f:B–→A → Fun f)
13	11, 12	jca 518	. . . . . . 7 ⊢ (f:B–→A → (f ∈ ℘(B × A) ∧ Fun f))
14	13	ss2abi 3339	. . . . . 6 ⊢ {f ∣ f:B–→A} ⊆ {f ∣ (f ∈ ℘(B × A) ∧ Fun f)}
15		df-rab 2624	. . . . . 6 ⊢ {f ∈ ℘(B × A) ∣ Fun f} = {f ∣ (f ∈ ℘(B × A) ∧ Fun f)}
16	14, 15	sseqtr4i 3305	. . . . 5 ⊢ {f ∣ f:B–→A} ⊆ {f ∈ ℘(B × A) ∣ Fun f}
17	16	a1i 10	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → {f ∣ f:B–→A} ⊆ {f ∈ ℘(B × A) ∣ Fun f})
18		mapvalg 6010	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ↑m B) = {f ∣ f:B–→A})
19		pmvalg 6011	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ↑pm B) = {f ∈ ℘(B × A) ∣ Fun f})
20	17, 18, 19	3sstr4d 3315	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ↑m B) ⊆ (A ↑pm B))
21	7, 20	syl 15	. 2 ⊢ ((A ↑m B) ≠ ∅ → (A ↑m B) ⊆ (A ↑pm B))
22	3, 21	pm2.61ine 2593	1 ⊢ (A ↑m B) ⊆ (A ↑pm B)

Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339   ≠ wne 2517  {crab 2619  Vcvv 2860   ⊆ wss 3258  ∅c0 3551  ℘cpw 3723   × cxp 4771  Fun wfun 4776  –→wf 4778  (class class class)co 5526   ↑_m cmap 6000   ↑_pm cpm 6001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-map 6002  df-pm 6003

This theorem is referenced by: (None)