New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nc0suc GIF version

Theorem nc0suc 6217
 Description: Any cardinal is either zero or the successor of a cardinal. Corollary of theorem XI.2.24 of [Rosser] p. 377. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nc0suc (N NC → (N = 0c m NC N = (m +c 1c)))
Distinct variable group:   m,N

Proof of Theorem nc0suc
StepHypRef Expression
1 nc0le1 6216 . 2 (N NC → (N = 0c 1cc N))
2 1cnc 6139 . . . 4 1c NC
3 dflec2 6210 . . . . 5 ((1c NC N NC ) → (1cc Nm NC N = (1c +c m)))
4 addccom 4406 . . . . . . 7 (1c +c m) = (m +c 1c)
54eqeq2i 2363 . . . . . 6 (N = (1c +c m) ↔ N = (m +c 1c))
65rexbii 2639 . . . . 5 (m NC N = (1c +c m) ↔ m NC N = (m +c 1c))
73, 6syl6bb 252 . . . 4 ((1c NC N NC ) → (1cc Nm NC N = (m +c 1c)))
82, 7mpan 651 . . 3 (N NC → (1cc Nm NC N = (m +c 1c)))
98orbi2d 682 . 2 (N NC → ((N = 0c 1cc N) ↔ (N = 0c m NC N = (m +c 1c))))
101, 9mpbid 201 1 (N NC → (N = 0c m NC N = (m +c 1c)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  1cc1c 4134  0cc0c 4374   +c cplc 4375   class class class wbr 4639   NC cncs 6088   ≤c clec 6089 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-nc 6101 This theorem is referenced by:  addceq0  6219  nclenn  6249  ncslesuc  6267
 Copyright terms: Public domain W3C validator