Theorem abscl 10928

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval 10878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
2		cjmulrcl 10764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
3		cjmulge0 10766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
4		resqrtcl 10906	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrd 2231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  ℝcr 7710  0cc0 7711   · cmul 7716   ≤ cle 7892  ∗ccj 10716  √csqrt 10873  abscabs 10874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876

This theorem is referenced by:  abs00  10941  absreim  10945  absdivap  10947  leabs  10951  absexp  10956  absexpzap  10957  sqabs  10959  absimle  10961  ltabs  10964  abslt  10965  absle  10966  abssubap0  10967  lenegsq  10972  releabs  10973  recvalap  10974  absidm  10975  absgt0ap  10976  abstri  10981  abs2dif  10983  abs2difabs  10985  absf  10987  abs3lem  10988  caubnd2  10994  abscli  11019  abscld  11058  mulcn2  11186  efcllemp  11532  efcllem  11533  cnbl0  12873  cnblcld  12874  dveflem  13026