ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  euclemma GIF version

Theorem euclemma 12148
Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. Theorem 1.9 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
euclemma ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)))

Proof of Theorem euclemma
StepHypRef Expression
1 coprm 12146 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘€) = 1))
213adant3 1017 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘€) = 1))
32anbi2d 464 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘€) = 1)))
4 prmz 12113 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
5 coprmdvds 12094 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
64, 5syl3an1 1271 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
73, 6sylbid 150 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
87expd 258 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)))
9 prmnn 12112 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1093ad2ant1 1018 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
11 simp2 998 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
12 dvdsdc 11807 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€)
1310, 11, 12syl2anc 411 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€)
14 dfordc 892 . . . 4 (DECID ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)))
1513, 14syl 14 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)))
168, 15sylibrd 169 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)))
17 ordvdsmul 11843 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
184, 17syl3an1 1271 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
1916, 18impbid 129 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  1c1 7814   ยท cmul 7818  โ„•cn 8921  โ„คcz 9255   โˆฅ cdvds 11796   gcd cgcd 11945  โ„™cprime 12109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110
This theorem is referenced by:  isprm6  12149  prmdvdsexp  12150  prmfac1  12154  sqpweven  12177  2sqpwodd  12178  pcpremul  12295  lgslem1  14486  lgsdir2  14519  2sqlem4  14550  2sqlem6  14552
  Copyright terms: Public domain W3C validator