Theorem euclemma 12078

Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. Theorem 1.9 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
euclemma	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁)))

Proof of Theorem euclemma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprm 12076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑃 gcd 𝑀) = 1))
2	1	3adant3 1007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑃 gcd 𝑀) = 1))
3	2	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑀) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1)))
4		prmz 12043	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		coprmdvds 12024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1) → 𝑃 ∥ 𝑁))
6	4, 5	syl3an1 1261	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1) → 𝑃 ∥ 𝑁))
7	3, 6	sylbid 149	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∥ 𝑁))
8	7	expd 256	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 → 𝑃 ∥ 𝑁)))
9		prmnn 12042	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10	9	3ad2ant1 1008	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
11		simp2 988	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		dvdsdc 11738	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ 𝑀)
13	10, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ 𝑀)
14		dfordc 882	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑃 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 → 𝑃 ∥ 𝑁)))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 → 𝑃 ∥ 𝑁)))
16	8, 15	sylibrd 168	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁)))
17		ordvdsmul 11774	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
18	4, 17	syl3an1 1261	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
19	16, 18	impbid 128	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  1c1 7754   · cmul 7758  ℕcn 8857  ℤcz 9191   ∥ cdvds 11727   gcd cgcd 11875  ℙcprime 12039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-prm 12040

This theorem is referenced by:  isprm6  12079  prmdvdsexp  12080  prmfac1  12084  sqpweven  12107  2sqpwodd  12108  pcpremul  12225  lgslem1  13541  lgsdir2  13574  2sqlem4  13594  2sqlem6  13596