Theorem exp0 10798

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 10799) , following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9484	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
2		0le0 9225	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 0)
4	3	olcd 739	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 0))
5		exp3val 10796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 0)) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
6	1, 4, 5	mpd3an23 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
7		eqid 2229	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	7	iftruei 3609	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
9	6, 8	eqtrdi 2278	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3603  {csn 3667   class class class wbr 4086   × cxp 4721  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   · cmul 8030   < clt 8207   ≤ cle 8208  -cneg 8344   # cap 8754   / cdiv 8845  ℕcn 9136  ℤcz 9472  seqcseq 10702  ↑cexp 10793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-seqfrec 10703  df-exp 10794

This theorem is referenced by:  0exp0e1  10799  expp1  10801  expnegap0  10802  expcllem  10805  mulexp  10833  expadd  10836  expmul  10839  leexp1a  10849  exple1  10850  bernneq  10915  modqexp  10921  exp0d  10922  cjexp  11447  resqrexlemcalc3  11570  absexp  11633  binom  12038  ege2le3  12225  eft0val  12247  demoivreALT  12328  bits0  12502  0bits  12513  bitsinv1  12516  numexp0  12988  cnfldexp  14584  expcn  15286  expcncf  15326  dvexp  15428  dvexp2  15429  plyconst  15462  lgsquad2lem2  15804