Theorem exp0 10912

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 10913) , following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9594	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
2		0le0 9331	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 0)
4	3	olcd 742	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 0))
5		exp3val 10910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 0)) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
6	1, 4, 5	mpd3an23 1376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
7		eqid 2234	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	7	iftruei 3630	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
9	6, 8	eqtrdi 2283	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ifcif 3622  {csn 3691   class class class wbr 4111   × cxp 4749  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   · cmul 8137   < clt 8313   ≤ cle 8314  -cneg 8450   # cap 8860   / cdiv 8951  ℕcn 9242  ℤcz 9582  seqcseq 10816  ↑cexp 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by:  0exp0e1  10913  expp1  10915  expnegap0  10916  expcllem  10919  mulexp  10947  expadd  10950  expmul  10953  leexp1a  10963  exple1  10964  bernneq  11030  modqexp  11036  exp0d  11037  cjexp  11586  resqrexlemcalc3  11709  absexp  11772  binom  12178  ege2le3  12365  eft0val  12387  demoivreALT  12468  bits0  12642  0bits  12653  bitsinv1  12656  numexp0  13128  cnfldexp  14774  expcn  15483  expcncf  15523  dvexp  15625  dvexp2  15626  plyconst  15659  lgsquad2lem2  16004