Theorem exp0 10982

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 10983) , following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9658	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
2		0le0 9394	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 0)
4	3	olcd 746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 0))
5		exp3val 10980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 0)) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
6	1, 4, 5	mpd3an23 1380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
7		eqid 2238	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	7	iftruei 3646	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
9	6, 8	eqtrdi 2287	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4130   × cxp 4772  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360   ≤ cle 8361  -cneg 8498   # cap 8910   / cdiv 9003  ℕcn 9305  ℤcz 9646  seqcseq 10886  ↑cexp 10977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-seqfrec 10887  df-exp 10978

This theorem is used by:  0exp0e1  10983  expp1  10985  expnegap0  10986  expcllem  10989  mulexp  11017  expadd  11020  expmul  11023  leexp1a  11033  exple1  11034  bernneq  11100  modqexp  11106  exp0d  11107  cjexp  11660  resqrexlemcalc3  11784  absexp  11847  binom  12253  ege2le3  12440  eft0val  12462  demoivreALT  12543  bits0  12717  0bits  12728  bitsinv1  12731  numexp0  13203  cnfldexp  14916  expcn  15672  expcncf  15712  dvexp  15814  dvexp2  15815  plyconst  15848  log2ublem3  16091  lgsquad2lem2  16213