Theorem gfsumsn 14107

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumsn.b	|- B = ( Base ` G )
gfsumsn.s	|- ( k = M -> A = C )

Assertion

Ref	Expression
gfsumsn	|- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gfsumgf ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable groups:   B, k   C, k   k, G   k, M   k, V

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem gfsumsn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumsn.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		simp1 1024	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> G e. CMnd )
3		elsni 3712	. . . . . . 7 |- ( k e. { M } -> k = M )
4		gfsumsn.s	. . . . . . 7 |- ( k = M -> A = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> A = C )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> A = C )
7		simpl3 1029	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> C e. B )
8	6, 7	eqeltrd 2311	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> A e. B )
9	8	fmpttd 5837	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( k e. { M } |-> A ) : { M } --> B )
10		snfig 7069	. . . 4 |- ( M e. V -> { M } e. Fin )
11	10	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { M } e. Fin )
12		1z 9620	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
13		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> M e. V )
14		f1osng 5662	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
16		fmptsn 5878	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } = ( x e. { 1 } |-> M ) )
17	12, 13, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { <. 1 , M >. } = ( x e. { 1 } |-> M ) )
18	17	eqcomd 2240	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> M ) = { <. 1 , M >. } )
19		hashsng 11186	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> (♯ ` { M } ) = 1 )
20	19	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = ( 1 ... 1 ) )
21		fzsn 10421	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
23	20, 22	eqtrdi 2283	. . . . . 6 |- ( M e. V -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = { 1 } )
24	23	3ad2ant2 1046	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = { 1 } )
25		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { M } = { M } )
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5613	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( x e. { 1 } |-> M ) : ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> M ) : ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) -1-1-onto-> { M } )
28	1, 2, 9, 11, 27	gfsumval 14102	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gfsumgf ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gsumg ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) ) )
29		snidg 3723	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> M e. { M } )
30	29	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> M e. { M } )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ x e. { 1 } ) -> M e. { M } )
32	9, 31	cofmpt 5851	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) = ( x e. { 1 } |-> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) ) )
33		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> A )
34		simp3 1026	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> C e. B )
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5776	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) = C )
36	35	mpteq2dv 4206	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) ) = ( x e. { 1 } |-> C ) )
37	32, 36	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) = ( x e. { 1 } |-> C ) )
38	37	oveq2d 6074	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) ) = ( G gsumg ( x e. { 1 } |-> C ) ) )
39	2	cmnmndd 14061	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> G e. Mnd )
40		1zzd 9621	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> 1 e. ZZ )
41		eqidd 2235	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ x = 1 ) -> C = C )
42		nfv 1577	. . 3 |- F/ x ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B )
43		nfcv 2386	. . 3 |- F/_ x C
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gsumfzsnfd 14098	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( x e. { 1 } |-> C ) ) = C )
45	28, 38, 44	3eqtrd 2271	1 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gfsumgf ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694   <.cop 3697   |-> cmpt 4176   o. ccom 4758   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   1c1 8144   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ♯chash 11163   Basecbs 13296   gsum_g cgsu 13554  CMndccmn 14037   gfsum_gf cgfsu 14100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-igsum 13556  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-minusg 13759  df-mulg 13873  df-cmn 14039  df-gfsum 14101

This theorem is referenced by: (None)