Theorem gfsumsn 16745

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gfsumsn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gfsumsn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem gfsumsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simp1 1023	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		elsni 3687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
4		gfsumsn.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝐴 = 𝐶)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
7		simpl3 1028	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8	6, 7	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5803	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶𝐵)
10		snfig 6992	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {𝑀} ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1045	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} ∈ Fin)
12		1z 9508	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		simp2 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝑉)
14		f1osng 5627	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
16		fmptsn 5844	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
17	12, 13, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
18	17	eqcomd 2237	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀) = {⟨1, 𝑀⟩})
19		hashsng 11064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
20	19	oveq2d 6037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = (1...1))
21		fzsn 10304	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
23	20, 22	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
24	23	3ad2ant2 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
25		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} = {𝑀})
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5578	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀})
28	1, 2, 9, 11, 27	gfsumval 16740	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))))
29		snidg 3698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ {𝑀})
30	29	3ad2ant2 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ {𝑀})
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {1}) → 𝑀 ∈ {𝑀})
32	9, 31	cofmpt 5817	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)))
33		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
34		simp3 1025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5741	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀) = 𝐶)
36	35	mpteq2dv 4180	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
37	32, 36	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
38	37	oveq2d 6037	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)))
39	2	cmnmndd 13916	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
40		1zzd 9509	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
41		eqidd 2232	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 1) → 𝐶 = 𝐶)
42		nfv 1576	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
43		nfcv 2374	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gsumfzsnfd 13953	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)) = 𝐶)
45	28, 38, 44	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {csn 3669  ⟨cop 3672   ↦ cmpt 4150   ∘ ccom 4729  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  Fincfn 6912  1c1 8036  ℤcz 9482  ...cfz 10246  ♯chash 11041  Basecbs 13103   Σ_g cgsu 13361  CMndccmn 13892   Σ_gf cgfsu 16738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-1o 6585  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-inn 9147  df-2 9205  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-seqfrec 10714  df-ihash 11042  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-plusg 13194  df-0g 13362  df-igsum 13363  df-mgm 13460  df-sgrp 13506  df-mnd 13521  df-minusg 13608  df-mulg 13728  df-cmn 13894  df-gfsum 16739

This theorem is referenced by: (None)