Theorem gfsumsn 16836

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gfsumsn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gfsumsn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem gfsumsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simp1 1024	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		elsni 3700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
4		gfsumsn.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝐴 = 𝐶)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
7		simpl3 1029	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8	6, 7	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5823	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶𝐵)
10		snfig 7047	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {𝑀} ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1046	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} ∈ Fin)
12		1z 9589	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝑉)
14		f1osng 5648	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
16		fmptsn 5864	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
17	12, 13, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
18	17	eqcomd 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀) = {⟨1, 𝑀⟩})
19		hashsng 11146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
20	19	oveq2d 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = (1...1))
21		fzsn 10386	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
23	20, 22	eqtrdi 2281	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
24	23	3ad2ant2 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
25		eqidd 2233	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} = {𝑀})
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5599	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀})
28	1, 2, 9, 11, 27	gfsumval 16831	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))))
29		snidg 3711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ {𝑀})
30	29	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ {𝑀})
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {1}) → 𝑀 ∈ {𝑀})
32	9, 31	cofmpt 5837	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)))
33		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
34		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5762	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀) = 𝐶)
36	35	mpteq2dv 4194	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
37	32, 36	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
38	37	oveq2d 6057	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)))
39	2	cmnmndd 13999	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
40		1zzd 9590	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
41		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 1) → 𝐶 = 𝐶)
42		nfv 1577	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
43		nfcv 2384	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gsumfzsnfd 14036	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)) = 𝐶)
45	28, 38, 44	3eqtrd 2269	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3682  ⟨cop 3685   ↦ cmpt 4164   ∘ ccom 4744  –1-1-onto→wf1o 5342  ‘cfv 5343  (class class class)co 6041  Fincfn 6966  1c1 8116  ℤcz 9563  ...cfz 10328  ♯chash 11123  Basecbs 13186   Σ_g cgsu 13444  CMndccmn 13975   Σ_gf cgfsu 16829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-1o 6638  df-er 6758  df-en 6967  df-dom 6968  df-fin 6969  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844  df-inn 9226  df-2 9284  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-fz 10329  df-fzo 10463  df-seqfrec 10796  df-ihash 11124  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-plusg 13277  df-0g 13445  df-igsum 13446  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-minusg 13691  df-mulg 13811  df-cmn 13977  df-gfsum 16830

This theorem is referenced by: (None)