Theorem gfsumsn 16884

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gfsumsn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gfsumsn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem gfsumsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simp1 1024	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		elsni 3709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
4		gfsumsn.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝐴 = 𝐶)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
7		simpl3 1029	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8	6, 7	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5834	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶𝐵)
10		snfig 7058	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {𝑀} ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1046	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} ∈ Fin)
12		1z 9605	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝑉)
14		f1osng 5659	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
16		fmptsn 5875	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
17	12, 13, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
18	17	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀) = {⟨1, 𝑀⟩})
19		hashsng 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
20	19	oveq2d 6068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = (1...1))
21		fzsn 10403	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
23	20, 22	eqtrdi 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
24	23	3ad2ant2 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
25		eqidd 2235	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} = {𝑀})
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5610	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀})
28	1, 2, 9, 11, 27	gfsumval 16879	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))))
29		snidg 3720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ {𝑀})
30	29	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ {𝑀})
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {1}) → 𝑀 ∈ {𝑀})
32	9, 31	cofmpt 5848	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)))
33		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
34		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5773	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀) = 𝐶)
36	35	mpteq2dv 4203	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
37	32, 36	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
38	37	oveq2d 6068	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)))
39	2	cmnmndd 14042	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
40		1zzd 9606	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
41		eqidd 2235	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 1) → 𝐶 = 𝐶)
42		nfv 1577	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
43		nfcv 2386	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gsumfzsnfd 14079	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)) = 𝐶)
45	28, 38, 44	3eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3691  ⟨cop 3694   ↦ cmpt 4173   ∘ ccom 4755  –1-1-onto→wf1o 5353  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  1c1 8130  ℤcz 9579  ...cfz 10345  ♯chash 11142  Basecbs 13229   Σ_g cgsu 13487  CMndccmn 14018   Σ_gf cgfsu 16877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-ihash 11143  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-igsum 13489  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-minusg 13734  df-mulg 13854  df-cmn 14020  df-gfsum 16878

This theorem is referenced by: (None)