Theorem hovercncf 15637

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		ssid 3262	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
3		ax-resscn 8235	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		cncfmptid 15588	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
7		0red 8291	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
8	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9		cncfmptc 15587	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
11	6, 10	mincncf 15607	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
12		peano2rem 8556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 5837	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
15		resmpt 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)))
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1))
17		ax-1cn 8236	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1))
19	18	sub1cncf 15593	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21		rescncf 15572	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
23	16, 22	eqeltrri 2308	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
24		cncfcdm 15573	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ))
25	3, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
27	11, 26	maxcncf 15606	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
28	27	mptru 1407	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
29	1, 28	eqeltri 2307	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  {cpr 3695   ↦ cmpt 4176   ↾ cres 4756  ⟶wf 5353  (class class class)co 6058  supcsup 7286  infcinf 7287  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   < clt 8324   − cmin 8460  –cn→ccncf 15561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-addf 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244  df-cncf 15562

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15642