Theorem hovercncf 15314

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		ssid 3244	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
3		ax-resscn 8087	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		cncfmptid 15265	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
7		0red 8143	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
8	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9		cncfmptc 15264	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
11	6, 10	mincncf 15284	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
12		peano2rem 8409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 5789	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
15		resmpt 5052	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)))
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1))
17		ax-1cn 8088	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1))
19	18	sub1cncf 15270	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21		rescncf 15249	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
23	16, 22	eqeltrri 2303	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
24		cncfcdm 15250	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ))
25	3, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
27	11, 26	maxcncf 15283	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
28	27	mptru 1404	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
29	1, 28	eqeltri 2302	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   ↦ cmpt 4144   ↾ cres 4720  ⟶wf 5313  (class class class)co 6000  supcsup 7145  infcinf 7146  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   < clt 8177   − cmin 8313  –cn→ccncf 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-addf 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-map 6795  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15319