Theorem hovercncf 15872

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		ssid 3268	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
3		ax-resscn 8277	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		cncfmptid 15823	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
7		0red 8333	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
8	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9		cncfmptc 15822	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
11	6, 10	mincncf 15842	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
12		peano2rem 8600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 5866	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
15		resmpt 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)))
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1))
17		ax-1cn 8278	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1))
19	18	sub1cncf 15828	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21		rescncf 15807	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
23	16, 22	eqeltrri 2312	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
24		cncfcdm 15808	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ))
25	3, 23, 24	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
27	11, 26	maxcncf 15841	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
28	27	mptru 1411	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
29	1, 28	eqeltri 2311	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   ↦ cmpt 4193   ↾ cres 4778  ⟶wf 5376  (class class class)co 6088  supcsup 7328  infcinf 7329  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   < clt 8366   − cmin 8504  –cn→ccncf 15796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-addf 8307

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-cncf 15797

This theorem is used by:  ivthdichlem  15877