Theorem hovercncf 15233

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		ssid 3221	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
3		ax-resscn 8052	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		cncfmptid 15184	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
7		0red 8108	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
8	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9		cncfmptc 15183	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
11	6, 10	mincncf 15203	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
12		peano2rem 8374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 5758	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
15		resmpt 5026	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)))
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1))
17		ax-1cn 8053	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		eqid 2207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1))
19	18	sub1cncf 15189	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21		rescncf 15168	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 1)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
23	16, 22	eqeltrri 2281	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
24		cncfcdm 15169	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ))
25	3, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)):ℝ⟶ℝ)
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 − 1)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
27	11, 26	maxcncf 15202	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
28	27	mptru 1382	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < )) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
29	1, 28	eqeltri 2280	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174  {cpr 3644   ↦ cmpt 4121   ↾ cres 4695  ⟶wf 5286  (class class class)co 5967  supcsup 7110  infcinf 7111  ℂcc 7958  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   < clt 8142   − cmin 8278  –cn→ccncf 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-addf 8082

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840  df-cncf 15158

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15238