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Theorem psrbagmaxlem1 15178
Description: Lemma for psrbagmax 15183. Existence of a bag which is greater than any element of a finite set of bags. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2026.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagmaxlem1.x |- ( ph -> X C_ ( NN0 ^m I ) )
psrbagmaxlem1.xfi |- ( ph -> X e. Fin )
psrbagmaxlem1.i |- ( ph -> I e. Fin )
Assertion
Ref Expression
psrbagmaxlem1 |- ( ph -> E. p ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. X ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
Distinct variable groups:   j, I, p, x   X, p, x   ph, j, x
Allowed substitution hints:   ph( p)   X( j)
Proof of Theorem psrbagmaxlem1
Dummy variables v y z w u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagmaxlem1.i . 2 |- ( ph -> I e. Fin )
2 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> A. x e. (/) ( x ` j ) <_ u ) )
32rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. u e. NN0 A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> E. u e. NN0 A. x e. (/) ( x ` j ) <_ u ) )
4 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = y -> ( A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> A. x e. y ( x ` j ) <_ u ) )
54rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = y -> ( E. u e. NN0 A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> E. u e. NN0 A. x e. y ( x ` j ) <_ u ) )
6 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ u ) )
76rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. u e. NN0 A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> E. u e. NN0 A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ u ) )
8 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = X -> ( A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> A. x e. X ( x ` j ) <_ u ) )
98rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = X -> ( E. u e. NN0 A. x e. w ( x ` j ) <_ u <-> E. u e. NN0 A. x e. X ( x ` j ) <_ u ) )
10 0nn0 9589 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
11 ral0 3629 . . . . . 6 |- A. x e. (/) ( x ` j ) <_ 0
12 brralrspcev 4190 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A. x e. (/) ( x ` j ) <_ 0 ) -> E. u e. NN0 A. x e. (/) ( x ` j ) <_ u )
1310, 11, 12mp2an 430 . . . . 5 |- E. u e. NN0 A. x e. (/) ( x ` j ) <_ u
1413a1i 9 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. I ) -> E. u e. NN0 A. x e. (/) ( x ` j ) <_ u )
15 breq2 4135 . . . . . . 7 |- ( u = v -> ( ( x ` j ) <_ u <-> ( x ` j ) <_ v ) )
1615ralbidv 2550 . . . . . 6 |- ( u = v -> ( A. x e. y ( x ` j ) <_ u <-> A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) )
1716cbvrexv 2787 . . . . 5 |- ( E. u e. NN0 A. x e. y ( x ` j ) <_ u <-> E. v e. NN0 A. x e. y ( x ` j ) <_ v )
18 simplr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> v e. NN0 )
19 psrbagmaxlem1.x . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X C_ ( NN0 ^m I ) )
2019ad5antr 500 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> X C_ ( NN0 ^m I ) )
21 simprr 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> z e. ( X \ y ) )
2221ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> z e. ( X \ y ) )
2322eldifad 3231 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> z e. X )
2420, 23sseldd 3249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> z e. ( NN0 ^m I ) )
25 nn0ex 9580 . . . . . . . . . . . 12 |- NN0 e. _V
2625a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> NN0 e. _V )
271ad5antr 500 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> I e. Fin )
2826, 27elmapd 6941 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> ( z e. ( NN0 ^m I ) <-> z : I --> NN0 ) )
2924, 28mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> z : I --> NN0 )
30 simp-5r 550 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> j e. I )
3129, 30ffvelcdmd 5847 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> ( z ` j ) e. NN0 )
32 nn0maxcl 12013 . . . . . . . 8 |- ( ( v e. NN0 /\ ( z ` j ) e. NN0 ) -> sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) e. NN0 )
3318, 31, 32syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) e. NN0 )
3419ad6antr 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> X C_ ( NN0 ^m I ) )
35 simprl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> y C_ X )
3635ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> y C_ X )
37 simplr 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> x e. y )
3836, 37sseldd 3249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> x e. X )
3934, 38sseldd 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
40 elmapi 6949 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( NN0 ^m I ) -> x : I --> NN0 )
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> x : I --> NN0 )
42 simp-6r 552 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> j e. I )
4341, 42ffvelcdmd 5847 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> ( x ` j ) e. NN0 )
4443nn0red 9630 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> ( x ` j ) e. RR )
45 simpllr 540 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> v e. NN0 )
4645nn0red 9630 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> v e. RR )
4719ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> X C_ ( NN0 ^m I ) )
4821eldifad 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> z e. X )
4947, 48sseldd 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> z e. ( NN0 ^m I ) )
50 elmapi 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( NN0 ^m I ) -> z : I --> NN0 )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> z : I --> NN0 )
52 simpllr 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> j e. I )
5351, 52ffvelcdmd 5847 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> ( z ` j ) e. NN0 )
5453ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> ( z ` j ) e. NN0 )
5554nn0red 9630 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> ( z ` j ) e. RR )
56 maxcl 11998 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. RR /\ ( z ` j ) e. RR ) -> sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) e. RR )
5746, 55, 56syl2anc 415 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) e. RR )
58 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> ( x ` j ) <_ v )
59 maxle1 11999 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. RR /\ ( z ` j ) e. RR ) -> v <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) )
6046, 55, 59syl2anc 415 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> v <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) )
6144, 46, 57, 58, 60letrd 8457 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) /\ ( x ` j ) <_ v ) -> ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) )
6261ex 115 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ x e. y ) -> ( ( x ` j ) <_ v -> ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) ) )
6362ralimdva 2617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) -> ( A. x e. y ( x ` j ) <_ v -> A. x e. y ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) ) )
6463imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> A. x e. y ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) )
6518nn0red 9630 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> v e. RR )
6631nn0red 9630 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> ( z ` j ) e. RR )
67 maxle2 12000 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. RR /\ ( z ` j ) e. RR ) -> ( z ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) )
6865, 66, 67syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> ( z ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) )
69 fveq1 5697 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ` j ) = ( z ` j ) )
7069breq1d 4141 . . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) <-> ( z ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) ) )
7170ralunsn 3923 . . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) <-> ( A. x e. y ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) /\ ( z ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) ) ) )
7271elv 2825 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) <-> ( A. x e. y ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) /\ ( z ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) ) )
7364, 68, 72sylanbrc 421 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) )
74 brralrspcev 4190 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) e. NN0 /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ sup ( { v , ( z ` j ) } , RR , < ) ) -> E. u e. NN0 A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ u )
7533, 73, 74syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) /\ v e. NN0 ) /\ A. x e. y ( x ` j ) <_ v ) -> E. u e. NN0 A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ u )
7675rexlimdva2 2671 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> ( E. v e. NN0 A. x e. y ( x ` j ) <_ v -> E. u e. NN0 A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ u ) )
7717, 76biimtrid 152 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ j e. I ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ X /\ z e. ( X \ y ) ) ) -> ( E. u e. NN0 A. x e. y ( x ` j ) <_ u -> E. u e. NN0 A. x e. ( y u. { z } ) ( x ` j ) <_ u ) )
78 psrbagmaxlem1.xfi . . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
7978adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. I ) -> X e. Fin )
803, 5, 7, 9, 14, 77, 79findcard2sd 7202 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. I ) -> E. u e. NN0 A. x e. X ( x ` j ) <_ u )
8180ralrimiva 2623 . 2 |- ( ph -> A. j e. I E. u e. NN0 A. x e. X ( x ` j ) <_ u )
82 breq2 4135 . . . 4 |- ( u = ( p ` j ) -> ( ( x ` j ) <_ u <-> ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
8382ralbidv 2550 . . 3 |- ( u = ( p ` j ) -> ( A. x e. X ( x ` j ) <_ u <-> A. x e. X ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
8483ac6sfi 7208 . 2 |- ( ( I e. Fin /\ A. j e. I E. u e. NN0 A. x e. X ( x ` j ) <_ u ) -> E. p ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. X ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
851, 81, 84syl2anc 415 1 |- ( ph -> E. p ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. X ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4131   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6927   Fincfn 7028   supcsup 7328   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   <_ cle 8367   NN0cn0 9574
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-rp 10071  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786
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