Theorem nconstwlpolem0 15866

Description: Lemma for nconstwlpo 15869. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
nconstwlpolem0.0	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝜑,𝑖   𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
2		fveqeq2 5579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐺‘𝑥) = 0 ↔ (𝐺‘𝑖) = 0))
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
6	2, 4, 5	rspcdva 2881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑖) = 0)
7	6	oveq2d 5950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
8		2nn 9180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
10	5	nnnn0d 9330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nnexpcld 10821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
12	11	nnrecred 9065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 8447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
15	7, 14	eqtrd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = 0)
16	15	sumeq2dv 11598	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
17	1, 16	eqtrid 2249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
18		1z 9380	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		nnuz 9666	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	19	eqimssi 3248	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
21		elnnuz 9667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
23	22	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
24		df-dc 836	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → DECID 𝑗 ∈ ℕ)
26	25	rgen 2558	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	orci 732	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin)
29		isumz 11619	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2253	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   ⊆ wss 3165  {cpr 3633  ⟶wf 5264  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Fincfn 6817  0cc0 7907  1c1 7908   · cmul 7912   / cdiv 8727  ℕcn 9018  2c2 9069  ℤcz 9354  ℤ_≥cuz 9630  ↑cexp 10664  Σcsu 11583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-ihash 10902  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-sumdc 11584

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  15868