Theorem nconstwlpolem0 16667

Description: Lemma for nconstwlpo 16670. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
nconstwlpolem0.0	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝜑,𝑖   𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
2		fveqeq2 5648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐺‘𝑥) = 0 ↔ (𝐺‘𝑖) = 0))
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
6	2, 4, 5	rspcdva 2915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑖) = 0)
7	6	oveq2d 6033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
8		2nn 9304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
10	5	nnnn0d 9454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nnexpcld 10956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
12	11	nnrecred 9189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 8571	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
15	7, 14	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = 0)
16	15	sumeq2dv 11928	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
17	1, 16	eqtrid 2276	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
18		1z 9504	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		nnuz 9791	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	19	eqimssi 3283	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
21		elnnuz 9792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
23	22	orcd 740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
24		df-dc 842	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → DECID 𝑗 ∈ ℕ)
26	25	rgen 2585	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1201	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	orci 738	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin)
29		isumz 11949	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2280	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  {cpr 3670  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Fincfn 6908  0cc0 8031  1c1 8032   · cmul 8036   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ↑cexp 10799  Σcsu 11913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  16669