Theorem nconstwlpolem0 15794

Description: Lemma for nconstwlpo 15797. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
nconstwlpolem0.0	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝜑,𝑖   𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
2		fveqeq2 5570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐺‘𝑥) = 0 ↔ (𝐺‘𝑖) = 0))
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
6	2, 4, 5	rspcdva 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑖) = 0)
7	6	oveq2d 5941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
8		2nn 9169	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
10	5	nnnn0d 9319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nnexpcld 10804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
12	11	nnrecred 9054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 8436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
15	7, 14	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = 0)
16	15	sumeq2dv 11550	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
17	1, 16	eqtrid 2241	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
18		1z 9369	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		nnuz 9654	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	19	eqimssi 3240	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
21		elnnuz 9655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
23	22	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
24		df-dc 836	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → DECID 𝑗 ∈ ℕ)
26	25	rgen 2550	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	orci 732	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin)
29		isumz 11571	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2245	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  {cpr 3624  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  0cc0 7896  1c1 7897   · cmul 7901   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ↑cexp 10647  Σcsu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  15796