Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolem0 GIF version

Theorem nconstwlpolem0 14433
Description: Lemma for nconstwlpo 14436. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
nconstwlpolem0.0 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 0)
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolem0 (𝜑𝐴 = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝜑,𝑖   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nconstwlpolem0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolem0.a . . 3 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
2 fveqeq2 5519 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ (𝐺𝑖) = 0))
3 nconstwlpolem0.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 0)
43adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 0)
5 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
62, 4, 5rspcdva 2846 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) = 0)
76oveq2d 5884 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
8 2nn 9056 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
98a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
105nnnn0d 9205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
119, 10nnexpcld 10648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
1211nnrecred 8942 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
1312recnd 7963 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
1413mul01d 8327 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
157, 14eqtrd 2210 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = 0)
1615sumeq2dv 11347 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
171, 16eqtrid 2222 . 2 (𝜑𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
18 1z 9255 . . . . 5 1 ∈ ℤ
19 nnuz 9539 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2019eqimssi 3211 . . . . 5 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
21 elnnuz 9540 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
2221biimpri 133 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
2322orcd 733 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
24 df-dc 835 . . . . . . 7 (DECID 𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
2523, 24sylibr 134 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → DECID 𝑗 ∈ ℕ)
2625rgen 2530 . . . . 5 𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ
2718, 20, 263pm3.2i 1175 . . . 4 (1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ)
2827orci 731 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin)
29 isumz 11368 . . 3 (((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0)
3028, 29ax-mp 5 . 2 Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0
3117, 30eqtrdi 2226 1 (𝜑𝐴 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  {cpr 3592  wf 5207  cfv 5211  (class class class)co 5868  Fincfn 6733  0cc0 7789  1c1 7790   · cmul 7794   / cdiv 8605  cn 8895  2c2 8946  cz 9229  cuz 9504  cexp 10492  Σcsu 11332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-ihash 10727  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333
This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  14435
  Copyright terms: Public domain W3C validator