Theorem nconstwlpolem0 15623

Description: Lemma for nconstwlpo 15626. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
nconstwlpolem0.0	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝜑,𝑖   𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
2		fveqeq2 5564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐺‘𝑥) = 0 ↔ (𝐺‘𝑖) = 0))
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) = 0)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
6	2, 4, 5	rspcdva 2870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑖) = 0)
7	6	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
8		2nn 9146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
10	5	nnnn0d 9296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nnexpcld 10769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
12	11	nnrecred 9031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 8414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
15	7, 14	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = 0)
16	15	sumeq2dv 11514	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
17	1, 16	eqtrid 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
18		1z 9346	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		nnuz 9631	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	19	eqimssi 3236	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
21		elnnuz 9632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
23	22	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
24		df-dc 836	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → DECID 𝑗 ∈ ℕ)
26	25	rgen 2547	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	orci 732	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin)
29		isumz 11535	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2242	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3154  {cpr 3620  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Fincfn 6796  0cc0 7874  1c1 7875   · cmul 7879   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ↑cexp 10612  Σcsu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  15625