Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolem0 GIF version

Theorem nconstwlpolem0 13582
 Description: Lemma for nconstwlpo 13585. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
nconstwlpolem0.0 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 0)
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolem0 (𝜑𝐴 = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝜑,𝑖   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nconstwlpolem0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolem0.a . . 3 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
2 fveqeq2 5470 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ (𝐺𝑖) = 0))
3 nconstwlpolem0.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 0)
43adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 0)
5 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
62, 4, 5rspcdva 2818 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) = 0)
76oveq2d 5830 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
8 2nn 8973 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
98a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
105nnnn0d 9122 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
119, 10nnexpcld 10550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
1211nnrecred 8859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
1312recnd 7885 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
1413mul01d 8247 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
157, 14eqtrd 2187 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = 0)
1615sumeq2dv 11242 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
171, 16syl5eq 2199 . 2 (𝜑𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ 0)
18 1z 9172 . . . . 5 1 ∈ ℤ
19 nnuz 9453 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2019eqimssi 3180 . . . . 5 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
21 elnnuz 9454 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
2221biimpri 132 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
2322orcd 723 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
24 df-dc 821 . . . . . . 7 (DECID 𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
2523, 24sylibr 133 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → DECID 𝑗 ∈ ℕ)
2625rgen 2507 . . . . 5 𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ
2718, 20, 263pm3.2i 1160 . . . 4 (1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ)
2827orci 721 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin)
29 isumz 11263 . . 3 (((1 ∈ ℤ ∧ ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘1)DECID 𝑗 ∈ ℕ) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0)
3028, 29ax-mp 5 . 2 Σ𝑖 ∈ ℕ 0 = 0
3117, 30eqtrdi 2203 1 (𝜑𝐴 = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432   ⊆ wss 3098  {cpr 3557  ⟶wf 5159  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  Fincfn 6674  0cc0 7711  1c1 7712   · cmul 7716   / cdiv 8524  ℕcn 8812  2c2 8863  ℤcz 9146  ℤ≥cuz 9418  ↑cexp 10396  Σcsu 11227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228 This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  13584
 Copyright terms: Public domain W3C validator