Theorem prmlem1 13251

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	|- N e. NN
prmlem1.gt	|- 1 < N
prmlem1.2	|- -. 2 || N
prmlem1.3	|- -. 3 || N
prmlem1.lt	|- N < ; 2 5

Assertion

Ref	Expression
prmlem1	|- N e. Prime

Proof of Theorem prmlem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. 2 |- N e. NN
2		prmlem1.gt	. 2 |- 1 < N
3		prmlem1.2	. 2 |- -. 2 || N
4		prmlem1.3	. 2 |- -. 3 || N
5		eluzelre 9948	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> x e. RR )
6	5	resqcld 11158	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
7		eluzle 9950	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ x )
8		5re 9392	. . . . . . . . 9 |- 5 e. RR
9		5nn0 9594	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. NN0
10	9	nn0ge0i 9601	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 5
11		le2sq2 11073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 5 e. RR /\ 0 <_ 5 ) /\ ( x e. RR /\ 5 <_ x ) ) -> ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
12	8, 10, 11	mpanl12 440	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 5 <_ x ) -> ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
13	5, 7, 12	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
14	1	nnrei 9322	. . . . . . . 8 |- N e. RR
15	8	resqcli 11082	. . . . . . . 8 |- ( 5 ^ 2 ) e. RR
16		prmlem1.lt	. . . . . . . . . 10 |- N < ; 2 5
17		5cn 9393	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. CC
18	17	sqvali 11077	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 ^ 2 ) = ( 5 x. 5 )
19		5t5e25 9895	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 x. 5 ) = ; 2 5
20	18, 19	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5
21	16, 20	breqtrri 4158	. . . . . . . . 9 |- N < ( 5 ^ 2 )
22		ltletr 8421	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ ( 5 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( N < ( 5 ^ 2 ) /\ ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
23	21, 22	mpani 434	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ ( 5 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
24	14, 15, 23	mp3an12 1368	. . . . . . 7 |- ( ( x ^ 2 ) e. RR -> ( ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
25	6, 13, 24	sylc 62	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> N < ( x ^ 2 ) )
26	1	nnzi 9676	. . . . . . 7 |- N e. ZZ
27		eluzelz 9947	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> x e. ZZ )
28		zsqcl 11068	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
30		zltnle 9701	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( x ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
31	26, 29, 30	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
32	25, 31	mpbid 147	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> -. ( x ^ 2 ) <_ N )
33	32	pm2.21d 628	. . . 4 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) )
34	33	adantld 278	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
35	34	adantl 277	. 2 |- ( ( -. 2 || 5 /\ x e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
36	1, 2, 3, 4, 35	prmlem1a 13250	1 |- N e. Prime

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   5c5 9367   ZZcz 9655  ;cdc 9788   ZZ>=cuz 9937   ^cexp 10996   || cdvds 12579   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  5prm  13252  7prm  13254  11prm  13258  13prm  13259  17prm  13260  19prm  13261  23prm  13262