Theorem prmlem1 13245

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	|- N e. NN
prmlem1.gt	|- 1 < N
prmlem1.2	|- -. 2 || N
prmlem1.3	|- -. 3 || N
prmlem1.lt	|- N < ; 2 5

Assertion

Ref	Expression
prmlem1	|- N e. Prime

Proof of Theorem prmlem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. 2 |- N e. NN
2		prmlem1.gt	. 2 |- 1 < N
3		prmlem1.2	. 2 |- -. 2 || N
4		prmlem1.3	. 2 |- -. 3 || N
5		eluzelre 9942	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> x e. RR )
6	5	resqcld 11152	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
7		eluzle 9944	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ x )
8		5re 9386	. . . . . . . . 9 |- 5 e. RR
9		5nn0 9588	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. NN0
10	9	nn0ge0i 9595	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 5
11		le2sq2 11067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 5 e. RR /\ 0 <_ 5 ) /\ ( x e. RR /\ 5 <_ x ) ) -> ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
12	8, 10, 11	mpanl12 440	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 5 <_ x ) -> ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
13	5, 7, 12	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
14	1	nnrei 9316	. . . . . . . 8 |- N e. RR
15	8	resqcli 11076	. . . . . . . 8 |- ( 5 ^ 2 ) e. RR
16		prmlem1.lt	. . . . . . . . . 10 |- N < ; 2 5
17		5cn 9387	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. CC
18	17	sqvali 11071	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 ^ 2 ) = ( 5 x. 5 )
19		5t5e25 9889	. . . . . . . . . . 11 |- ( 5 x. 5 ) = ; 2 5
20	18, 19	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5
21	16, 20	breqtrri 4157	. . . . . . . . 9 |- N < ( 5 ^ 2 )
22		ltletr 8416	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ ( 5 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( N < ( 5 ^ 2 ) /\ ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
23	21, 22	mpani 434	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ ( 5 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
24	14, 15, 23	mp3an12 1368	. . . . . . 7 |- ( ( x ^ 2 ) e. RR -> ( ( 5 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
25	6, 13, 24	sylc 62	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> N < ( x ^ 2 ) )
26	1	nnzi 9670	. . . . . . 7 |- N e. ZZ
27		eluzelz 9941	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> x e. ZZ )
28		zsqcl 11062	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
30		zltnle 9695	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( x ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
31	26, 29, 30	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
32	25, 31	mpbid 147	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> -. ( x ^ 2 ) <_ N )
33	32	pm2.21d 628	. . . 4 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) )
34	33	adantld 278	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
35	34	adantl 277	. 2 |- ( ( -. 2 || 5 /\ x e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
36	1, 2, 3, 4, 35	prmlem1a 13244	1 |- N e. Prime

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   x. cmul 8185   < clt 8361   <_ cle 8362   NNcn 9307   2c2 9358   3c3 9359   5c5 9361   ZZcz 9649  ;cdc 9782   ZZ>=cuz 9931   ^cexp 10990   || cdvds 12573   Primecprime 12904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-prm 12905

This theorem is used by:  5prm  13246  7prm  13248  11prm  13252  13prm  13253  17prm  13254  19prm  13255  23prm  13256