Theorem prmlem1a 13250

Description: Lemma for prmlem1 13251 and prmlem2 13263. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	|- N e. NN
prmlem1.gt	|- 1 < N
prmlem1.2	|- -. 2 || N
prmlem1.3	|- -. 3 || N
prmlem1a.x	|- ( ( -. 2 || 5 /\ x e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )

Assertion

Ref	Expression
prmlem1a	|- N e. Prime

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem prmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. . 3 |- N e. NN
2		prmlem1.gt	. . 3 |- 1 < N
3		eluz2b2 10019	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	. 2 |- N e. ( ZZ>= ` 2 )
5		prmlem1.2	. . . . . 6 |- -. 2 || N
6	5	2a1i 27	. . . . 5 |- ( x e. Prime -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. 2 || N ) )
7		breq1 4134	. . . . . . 7 |- ( x = 2 -> ( x || N <-> 2 || N ) )
8	7	notbid 677	. . . . . 6 |- ( x = 2 -> ( -. x || N <-> -. 2 || N ) )
9	8	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = 2 -> ( ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) <-> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. 2 || N ) ) )
10	6, 9	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( x e. Prime -> ( x = 2 -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) ) )
11		prmnn 12913	. . . . . . 7 |- ( x e. Prime -> x e. NN )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) -> x e. NN )
13		eldifsn 3841	. . . . . . 7 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) )
14		n2dvds1 12704	. . . . . . . . . 10 |- -. 2 || 1
15		prmlem1a.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || 5 /\ x e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
16		prmlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 3 || N
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 e. Prime -> -. 3 || N )
18		3p2e5 9455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 + 2 ) = 5
19	15, 17, 18	prmlem0 13249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || 3 /\ x e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
20		1nprm 12917	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 1 e. Prime
21	20	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. Prime -> -. 1 || N )
22		1p2e3 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 2 ) = 3
23	19, 21, 22	prmlem0 13249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || 1 /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
24	14, 23	mpan 428	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
25		nnuz 9974	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26	24, 25	eleq2s 2333	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
27	26	expd 258	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( x e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) ) )
28	13, 27	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) ) )
29	12, 28	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) )
30	29	ex 115	. . . 4 |- ( x e. Prime -> ( x =/= 2 -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) ) )
31		prmz 12914	. . . . . 6 |- ( x e. Prime -> x e. ZZ )
32		2z 9683	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
33		zdceq 9731	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID x = 2 )
34	31, 32, 33	sylancl 417	. . . . 5 |- ( x e. Prime -> DECID x = 2 )
35		dcne 2431	. . . . 5 |- (DECID x = 2 <-> ( x = 2 \/ x =/= 2 ) )
36	34, 35	sylib 122	. . . 4 |- ( x e. Prime -> ( x = 2 \/ x =/= 2 ) )
37	10, 30, 36	mpjaod 730	. . 3 |- ( x e. Prime -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) )
38	37	rgen 2603	. 2 |- A. x e. Prime ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N )
39		isprm5 12946	. 2 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. Prime ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) ) )
40	4, 38, 39	mpbir2an 955	1 |- N e. Prime

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   < clt 8366   <_ cle 8367   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   5c5 9367   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ^cexp 10996   || cdvds 12579   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  prmlem1  13251  prmlem2  13263