ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psrringfi Unicode version
Theorem psrringfi 15204
Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s |- S = ( I mPwSer R )
psrringfi.i |- ( ph -> I e. Fin )
psrring.r |- ( ph -> R e. Ring )
Assertion
Ref Expression
psrringfi |- ( ph -> S e. Ring )
Proof of Theorem psrringfi
Dummy variables x f y z r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2239 . 2 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
2 eqidd 2239 . 2 |- ( ph -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
3 eqidd 2239 . 2 |- ( ph -> ( .r ` S ) = ( .r ` S ) )
4 psrring.s . . 3 |- S = ( I mPwSer R )
5 psrringfi.i . . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
6 psrring.r . . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
76ringgrpd 14416 . . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
84, 5, 7psrgrp 15195 . 2 |- ( ph -> S e. Grp )
9 eqid 2238 . . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
10 eqid 2238 . . 3 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
1163ad2ant1 1049 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> R e. Ring )
1253ad2ant1 1049 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> I e. Fin )
13 simp2 1029 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
14 simp3 1030 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
154, 9, 10, 11, 12, 13, 14psrmulclfi 15190 . 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( .r ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
165adantr 276 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> I e. Fin )
176adantr 276 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> R e. Ring )
18 eqid 2238 . . 3 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
19 simpr1 1034 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
20 simpr2 1035 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
21 simpr3 1036 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> z e. ( Base ` S ) )
224, 16, 17, 18, 10, 9, 19, 20, 21psrass1fi 15201 . 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .r ` S ) z ) = ( x ( .r ` S ) ( y ( .r ` S ) z ) ) )
23 eqid 2238 . . 3 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
244, 16, 17, 18, 10, 9, 19, 20, 21, 23psrdifi 15202 . 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .r ` S ) ( y ( +g ` S ) z ) ) = ( ( x ( .r ` S ) y ) ( +g ` S ) ( x ( .r ` S ) z ) ) )
254, 16, 17, 18, 10, 9, 19, 20, 21, 23psrdirfi 15203 . 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( .r ` S ) z ) = ( ( x ( .r ` S ) z ) ( +g ` S ) ( y ( .r ` S ) z ) ) )
26 eqid 2238 . . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
27 eqid 2238 . . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
28 eqid 2238 . . 3 |- ( r e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( r = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( r e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( r = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
294, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 9psr1clfi 15198 . 2 |- ( ph -> ( r e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( r = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( Base ` S ) )
305adantr 276 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> I e. Fin )
316adantr 276 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> R e. Ring )
32 simpr 110 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
334, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 9, 10, 32psrlidmfi 15199 . 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( r e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( r = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ( .r ` S ) x ) = x )
344, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 9, 10, 32psrridmfi 15200 . 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( .r ` S ) ( r e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( r = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = x )
351, 2, 3, 8, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34isringd 14453 1 |- ( ph -> S e. Ring )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   ifcif 3638   {csn 3709   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   "cima 4779   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   0cc0 8185   NNcn 9313   NN0cn0 9574   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491   0gc0g 13669   1rcur 14369   Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-hom 13514  df-cco 13515  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-prds 14277  df-pws 14310  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-psr 15156
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator