Theorem psrlidmfi 15208

Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrringfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psr1cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr1cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
psr1cl.o	|- .1. = ( 1r ` R )
psr1cl.u	|- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
psr1cl.b	|- B = ( Base ` S )
psrlidm.t	|- .x. = ( .r ` S )
psrlidm.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrlidmfi	|- ( ph -> ( U .x. X ) = X )

Distinct variable groups:   x, f, .0.   f, I, x   x, B   R, f, x   x, D   f, X, x   ph, x   x, .x.   x, S   x, .1.

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .x. ( f)   U( x, f)   .1. ( f)

Proof of Theorem psrlidmfi

Dummy variables y z g p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr1cl.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4		psr1cl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
5		psrlidm.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` S )
6		psrring.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
7		psrringfi.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
8		psr1cl.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
9		psr1cl.o	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` R )
10		psr1cl.u	. . . . . 6 |- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
11	1, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4	psr1clfi 15207	. . . . 5 |- ( ph -> U e. B )
12		psrlidm.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
13	1, 4, 5, 6, 7, 11, 12	psrmulclfi 15199	. . . 4 |- ( ph -> ( U .x. X ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 15188	. . 3 |- ( ph -> ( U .x. X ) : D --> ( Base ` R ) )
15	14	ffnd 5537	. 2 |- ( ph -> ( U .x. X ) Fn D )
16	1, 2, 3, 4, 12	psrelbas 15188	. . 3 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
17	16	ffnd 5537	. 2 |- ( ph -> X Fn D )
18		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
19	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> U e. B )
20	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> X e. B )
21		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y e. D )
22	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> I e. Fin )
23	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. Ring )
24	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21, 22, 23	psrmulvalfi 15197	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U .x. X ) ` y ) = ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
25		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( g = ( I X. { 0 } ) -> ( g oR <_ y <-> ( I X. { 0 } ) oR <_ y ) )
26		fconstmpt 4824	. . . . . . . . . 10 |- ( I X. { 0 } ) = ( x e. I |-> 0 )
27	3	fczpsrbag 15169	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. Fin -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )
28	7, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )
29	26, 28	eqeltrid 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I X. { 0 } ) e. D )
30	29	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) e. D )
31	3	psrbagf 15164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D -> y : I --> NN0 )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y : I --> NN0 )
33	32	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> ( y ` x ) e. NN0 )
34	33	nn0ge0d 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( y ` x ) )
35	34	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> A. x e. I 0 <_ ( y ` x ) )
36		0nn0 9589	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
37	36	fconst6 5595	. . . . . . . . . . 11 |- ( I X. { 0 } ) : I --> NN0
38		ffn 5536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I X. { 0 } ) : I --> NN0 -> ( I X. { 0 } ) Fn I )
39	37, 38	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) Fn I )
40	32	ffnd 5537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y Fn I )
41		inidm 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( I i^i I ) = I
42	36	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> 0 e. NN0 )
43		fvconst2g 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. NN0 /\ x e. I ) -> ( ( I X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
44	42, 43	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> ( ( I X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
45		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x e. I ) -> ( y ` x ) = ( y ` x ) )
46	39, 40, 22, 22, 41, 44, 45	ofrfval 6315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( I X. { 0 } ) oR <_ y <-> A. x e. I 0 <_ ( y ` x ) ) )
47	35, 46	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) oR <_ y )
48	25, 30, 47	elrabd 2984	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) e. { g e. D | g oR <_ y } )
49	48	snssd 3860	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { ( I X. { 0 } ) } C_ { g e. D | g oR <_ y } )
50	49	resmptd 5117	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { ( I X. { 0 } ) } ) = ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) )
51	50	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { ( I X. { 0 } ) } ) ) = ( R gsumg ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
52	6	ringcmnd 14446	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
53	52	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. CMnd )
54	3	psrbaglefifi 15175	. . . . . 6 |- ( ( y e. D /\ I e. Fin ) -> { g e. D | g oR <_ y } e. Fin )
55	21, 22, 54	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { g e. D | g oR <_ y } e. Fin )
56	6	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> R e. Ring )
57		breq1 4134	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = z -> ( g oR <_ y <-> z oR <_ y ) )
58	57	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { g e. D | g oR <_ y } <-> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
59	58	bilani 387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z e. D )
61	1, 2, 3, 4, 19	psrelbas 15188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> U : D --> ( Base ` R ) )
62	61	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. D ) -> ( U ` z ) e. ( Base ` R ) )
63	60, 62	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( U ` z ) e. ( Base ` R ) )
64	16	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
65	21	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> y e. D )
66	3	psrbagf 15164	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. D -> z : I --> NN0 )
67	60, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z : I --> NN0 )
68	59	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z oR <_ y )
69	3	psrbagcon 15174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. D /\ z : I --> NN0 /\ z oR <_ y ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
70	65, 67, 68, 69	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
71	70	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( y oF - z ) e. D )
72	64, 71	ffvelcdmd 5847	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( X ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) )
73	2, 18, 56, 63, 72	ringcld 14428	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) e. ( Base ` R ) )
74	73	fmpttd 5866	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) : { g e. D | g oR <_ y } --> ( Base ` R ) )
75		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) = ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) )
76		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 |- ( z = p -> ( U ` z ) = ( U ` p ) )
77		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( z = p -> ( y oF - z ) = ( y oF - p ) )
78	77	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( z = p -> ( X ` ( y oF - z ) ) = ( X ` ( y oF - p ) ) )
79	76, 78	oveq12d 6106	. . . . . . . 8 |- ( z = p -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( U ` p ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - p ) ) ) )
80		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) )
81	80	eldifad 3231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> p e. { g e. D | g oR <_ y } )
82	79	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( z = p -> ( ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. <-> ( ( U ` p ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - p ) ) ) = .0. ) )
83		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( x = ( I X. { 0 } ) <-> z = ( I X. { 0 } ) ) )
84	83	ifbid 3662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
85		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) -> z e. { g e. D | g oR <_ y } )
86	85, 59	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
87	86	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> z e. D )
88		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
89	88, 9	1unit 14522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. Ring -> .1. e. (Unit ` R ) )
90	6, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> .1. e. (Unit ` R ) )
91		fn0g 13753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0g Fn _V
92	6	elexd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R e. _V )
93		funfvex 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun 0g /\ R e. dom 0g ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
94	93	funfni 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0g Fn _V /\ R e. _V ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
95	91, 92, 94	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
96	8, 95	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> .0. e. _V )
97	90, 96	ifexd 4632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. _V )
98	97	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. _V )
99	10, 84, 87, 98	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( U ` z ) = if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
100		eldifn 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) -> -. z e. { ( I X. { 0 } ) } )
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> -. z e. { ( I X. { 0 } ) } )
102		velsn 3726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. { ( I X. { 0 } ) } <-> z = ( I X. { 0 } ) )
103	101, 102	sylnib 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> -. z = ( I X. { 0 } ) )
104	103	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> if ( z = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .0. )
105	99, 104	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( U ` z ) = .0. )
106	105	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) )
107	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> R e. Ring )
108	85, 72	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( X ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) )
109	2, 18, 8, 107, 108	ringlzd 14456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
110	106, 109	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
111	110	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> A. z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
112	111	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> A. z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
113	82, 112, 80	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( U ` p ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - p ) ) ) = .0. )
114	2, 8	ring0cl 14432	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
115	6, 114	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
116	115	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
117	113, 116	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( U ` p ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - p ) ) ) e. ( Base ` R ) )
118	75, 79, 81, 117	fvmptd3 5802	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ` p ) = ( ( U ` p ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - p ) ) ) )
119	118, 113	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ` p ) = .0. )
120	119	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> A. p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { ( I X. { 0 } ) } ) ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ` p ) = .0. )
121		c0ex 8326	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
122	121	snex 4324	. . . . . . . 8 |- { 0 } e. _V
123		xpexg 4891	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. Fin /\ { 0 } e. _V ) -> ( I X. { 0 } ) e. _V )
124	7, 122, 123	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I X. { 0 } ) e. _V )
125		snfig 7109	. . . . . . 7 |- ( ( I X. { 0 } ) e. _V -> { ( I X. { 0 } ) } e. Fin )
126	124, 125	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( I X. { 0 } ) } e. Fin )
127	126	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { ( I X. { 0 } ) } e. Fin )
128	2, 8, 53, 55, 74, 120, 127, 49	gsumresfi 14262	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { ( I X. { 0 } ) } ) ) = ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
129		iftrue 3645	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( I X. { 0 } ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .1. )
130	90	elexd 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .1. e. _V )
131	130	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> .1. e. _V )
132	10, 129, 30, 131	fvmptd3 5802	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( I X. { 0 } ) ) = .1. )
133		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN0 -> z e. CC )
134	133	subid1d 8633	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN0 -> ( z - 0 ) = z )
135	134	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. NN0 ) -> ( z - 0 ) = z )
136	22, 32, 42, 135	caofid0r 6334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) = y )
137	136	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) = ( X ` y ) )
138	132, 137	oveq12d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) = ( .1. ( .r ` R ) ( X ` y ) ) )
139	16	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
140	2, 18, 9	ringlidm 14434	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( X ` y ) ) = ( X ` y ) )
141	23, 139, 140	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( X ` y ) ) = ( X ` y ) )
142	138, 141	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) = ( X ` y ) )
143	142, 139	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
144		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( U ` z ) = ( U ` ( I X. { 0 } ) ) )
145		oveq2 6096	. . . . . . . 8 |- ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( y oF - z ) = ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) )
146	145	fveq2d 5702	. . . . . . 7 |- ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( X ` ( y oF - z ) ) = ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) )
147	144, 146	oveq12d 6106	. . . . . 6 |- ( z = ( I X. { 0 } ) -> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
148	2, 147	gsumsncmn 14245	. . . . 5 |- ( ( R e. CMnd /\ ( I X. { 0 } ) e. D /\ ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
149	53, 30, 143, 148	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( z e. { ( I X. { 0 } ) } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
150	51, 128, 149	3eqtr3d 2279	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( U ` z ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( U ` ( I X. { 0 } ) ) ( .r ` R ) ( X ` ( y oF - ( I X. { 0 } ) ) ) ) )
151	24, 150, 142	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( U .x. X ) ` y ) = ( X ` y ) )
152	15, 17, 151	eqfnfvd 5812	1 |- ( ph -> ( U .x. X ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   |` cres 4778   "cima 4779   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6927   Fincfn 7028   0cc0 8185   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   Basecbs 13409   .rcmulr 13490   0gc0g 13668  CMndccmn 14176   gsum_g cgsu 14239   1rcur 14368   Ringcrg 14406  Unitcui 14501   mPwSer cmps 15153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6521  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-fzo 10566  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-ihash 11236  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-sca 13505  df-vsca 13506  df-tset 13508  df-rest 13653  df-topn 13654  df-0g 13670  df-gzsum 13671  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867  df-mulg 13981  df-cmn 14178  df-abl 14179  df-gsumfi 14240  df-mgp 14324  df-ur 14369  df-srg 14374  df-ring 14408  df-oppr 14481  df-dvdsr 14503  df-unit 14504  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrringfi  15213