Theorem psrass1fi 15201

Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrringfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t	|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b	|- B = ( Base ` S )
psrass.x	|- ( ph -> X e. B )
psrass.y	|- ( ph -> Y e. B )
psrass.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrass1fi	|- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) = ( X .X. ( Y .X. Z ) ) )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   f, X   f, Z   f, Y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .X. ( f)

Proof of Theorem psrass1fi

Dummy variables x k z g h j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psrass.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4		psrass.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
5		psrass.t	. . . . 5 |- .X. = ( .r ` S )
6		psrring.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
7		psrringfi.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
8		psrass.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
9		psrass.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. B )
10	1, 4, 5, 6, 7, 8, 9	psrmulclfi 15190	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .X. Y ) e. B )
11		psrass.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. B )
12	1, 4, 5, 6, 7, 10, 11	psrmulclfi 15190	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) e. B )
13	1, 2, 3, 4, 12	psrelbas 15179	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) : D --> ( Base ` R ) )
14	13	ffnd 5537	. 2 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) Fn D )
15	1, 4, 5, 6, 7, 9, 11	psrmulclfi 15190	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y .X. Z ) e. B )
16	1, 4, 5, 6, 7, 8, 15	psrmulclfi 15190	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .X. Z ) ) e. B )
17	1, 2, 3, 4, 16	psrelbas 15179	. . 3 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .X. Z ) ) : D --> ( Base ` R ) )
18	17	ffnd 5537	. 2 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .X. Z ) ) Fn D )
19		eqid 2238	. . . . 5 |- { g e. D | g oR <_ x } = { g e. D | g oR <_ x }
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. D )
21	6	ringcmnd 14447	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> R e. CMnd )
23	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> I e. Fin )
24		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
25	6	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> R e. Ring )
26	1, 2, 3, 4, 8	psrelbas 15179	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
27	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
28		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = j -> ( g oR <_ x <-> j oR <_ x ) )
29	28	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { g e. D | g oR <_ x } <-> ( j e. D /\ j oR <_ x ) )
30	29	bilani 387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( j e. D /\ j oR <_ x ) )
31	30	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j e. D )
32	27, 31	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( X ` j ) e. ( Base ` R ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( X ` j ) e. ( Base ` R ) )
34	1, 2, 3, 4, 9	psrelbas 15179	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
35	34	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
36		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = n -> ( h oR <_ ( x oF - j ) <-> n oR <_ ( x oF - j ) ) )
37	36	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } <-> ( n e. D /\ n oR <_ ( x oF - j ) ) )
38	37	bilani 387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( n e. D /\ n oR <_ ( x oF - j ) ) )
39	38	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> n e. D )
40	35, 39	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( Y ` n ) e. ( Base ` R ) )
41	1, 2, 3, 4, 11	psrelbas 15179	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z : D --> ( Base ` R ) )
42	41	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> Z : D --> ( Base ` R ) )
43		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x e. D )
44	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. D -> j : I --> NN0 )
45	31, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j : I --> NN0 )
46	30	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j oR <_ x )
47	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. D /\ j : I --> NN0 /\ j oR <_ x ) -> ( ( x oF - j ) e. D /\ ( x oF - j ) oR <_ x ) )
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( x oF - j ) e. D /\ ( x oF - j ) oR <_ x ) )
49	48	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - j ) e. D )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( x oF - j ) e. D )
51	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. D -> n : I --> NN0 )
52	39, 51	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> n : I --> NN0 )
53	38	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> n oR <_ ( x oF - j ) )
54	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x oF - j ) e. D /\ n : I --> NN0 /\ n oR <_ ( x oF - j ) ) -> ( ( ( x oF - j ) oF - n ) e. D /\ ( ( x oF - j ) oF - n ) oR <_ ( x oF - j ) ) )
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( ( x oF - j ) oF - n ) e. D /\ ( ( x oF - j ) oF - n ) oR <_ ( x oF - j ) ) )
56	55	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( x oF - j ) oF - n ) e. D )
57	42, 56	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) e. ( Base ` R ) )
58	2, 24, 25, 40, 57	ringcld 14429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) e. ( Base ` R ) )
59	2, 24, 25, 33, 58	ringcld 14429	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
60	59	anasss 403	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ ( j e. { g e. D | g oR <_ x } /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
61		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( Y ` n ) = ( Y ` ( k oF - j ) ) )
62		oveq2 6096	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( ( x oF - j ) oF - n ) = ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) )
63	62	fveq2d 5702	. . . . . . 7 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) = ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) )
64	61, 63	oveq12d 6106	. . . . . 6 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) = ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) )
65	64	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) )
66	3, 19, 20, 2, 22, 23, 60, 65	psrass1filem 15177	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) ) ) )
67	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> X e. B )
68	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Y e. B )
69		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = k -> ( g oR <_ x <-> k oR <_ x ) )
70	69	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { g e. D | g oR <_ x } <-> ( k e. D /\ k oR <_ x ) )
71	70	bilani 387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( k e. D /\ k oR <_ x ) )
72	71	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k e. D )
73	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> I e. Fin )
74	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> R e. Ring )
75	1, 4, 24, 5, 3, 67, 68, 72, 73, 74	psrmulvalfi 15188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X .X. Y ) ` k ) = ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
76	75	oveq1d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) )
77		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
78	3	psrbaglefifi 15172	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. D /\ I e. Fin ) -> { h e. D | h oR <_ k } e. Fin )
79	72, 73, 78	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> { h e. D | h oR <_ k } e. Fin )
80	41	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Z : D --> ( Base ` R ) )
81		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x e. D )
82	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. D -> k : I --> NN0 )
83	72, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k : I --> NN0 )
84	71	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k oR <_ x )
85	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. D /\ k : I --> NN0 /\ k oR <_ x ) -> ( ( x oF - k ) e. D /\ ( x oF - k ) oR <_ x ) )
86	81, 83, 84, 85	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( x oF - k ) e. D /\ ( x oF - k ) oR <_ x ) )
87	86	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - k ) e. D )
88	80, 87	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( Z ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) )
89	6	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> R e. Ring )
90	26	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
91		breq1 4134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = j -> ( h oR <_ k <-> j oR <_ k ) )
92	91	elrab 2982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { h e. D | h oR <_ k } <-> ( j e. D /\ j oR <_ k ) )
93	92	bilani 387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( j e. D /\ j oR <_ k ) )
94	93	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j e. D )
95	90, 94	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( X ` j ) e. ( Base ` R ) )
96	34	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
97	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> k e. D )
98	94, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j : I --> NN0 )
99	93	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j oR <_ k )
100	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. D /\ j : I --> NN0 /\ j oR <_ k ) -> ( ( k oF - j ) e. D /\ ( k oF - j ) oR <_ k ) )
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( k oF - j ) e. D /\ ( k oF - j ) oR <_ k ) )
102	101	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. D )
103	96, 102	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
104	2, 24, 89, 95, 103	ringcld 14429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
105	2, 77, 24, 74, 79, 88, 104	gsummulc1fi 14475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) )
106	88	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( Z ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) )
107	2, 24	ringass 14427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( X ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) )
108	89, 95, 103, 106, 107	syl13anc 1280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) )
109	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. D -> x : I --> NN0 )
110	109	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
111	110	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. NN0 )
112	83	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
113	112	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. NN0 )
114	98	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 )
115		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x ` z ) e. NN0 -> ( x ` z ) e. CC )
116		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` z ) e. NN0 -> ( k ` z ) e. CC )
117		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC )
118		nnncan2 8570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` z ) e. CC /\ ( k ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC ) -> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) )
119	115, 116, 117, 118	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ` z ) e. NN0 /\ ( k ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) )
120	111, 113, 114, 119	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) )
121	120	mpteq2dva 4223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( z e. I |-> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) ) )
122	7	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> I e. Fin )
123	111	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. ZZ )
124	114	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. ZZ )
125	123, 124	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) e. ZZ )
126	113	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. ZZ )
127	126, 124	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) e. ZZ )
128	110	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> x = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
129	98	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
130	122, 111, 114, 128, 129	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( x oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
131	112	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> k = ( z e. I |-> ( k ` z ) ) )
132	122, 113, 114, 131, 129	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
133	122, 125, 127, 130, 132	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) = ( z e. I |-> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) ) )
134	122, 111, 113, 128, 131	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( x oF - k ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) ) )
135	121, 133, 134	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) = ( x oF - k ) )
136	135	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) = ( Z ` ( x oF - k ) ) )
137	136	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) = ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) )
138	137	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) )
139	108, 138	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) )
140	139	mpteq2dva 4223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
141	140	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) )
142	76, 105, 141	3eqtr2d 2277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) )
143	142	mpteq2dva 4223	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) ) )
144	143	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
145	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Y e. B )
146	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Z e. B )
147	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> I e. Fin )
148	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> R e. Ring )
149	1, 4, 24, 5, 3, 145, 146, 49, 147, 148	psrmulvalfi 15188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) = ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) )
150	149	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) )
151	3	psrbaglefifi 15172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x oF - j ) e. D /\ I e. Fin ) -> { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } e. Fin )
152	49, 147, 151	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } e. Fin )
153	2, 77, 24, 148, 152, 32, 58	gsummulc2fi 14476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) )
154	150, 153	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) = ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) )
155	154	mpteq2dva 4223	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) = ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) ) )
156	155	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) ) ) )
157	66, 144, 156	3eqtr4d 2281	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) ) )
158	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( X .X. Y ) e. B )
159	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Z e. B )
160	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> R e. Ring )
161	1, 4, 24, 5, 3, 158, 159, 20, 23, 160	psrmulvalfi 15188	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( ( X .X. Y ) .X. Z ) ` x ) = ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) )
162	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> X e. B )
163	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( Y .X. Z ) e. B )
164	1, 4, 24, 5, 3, 162, 163, 20, 23, 160	psrmulvalfi 15188	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( X .X. ( Y .X. Z ) ) ` x ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) ) )
165	157, 161, 164	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( ( X .X. Y ) .X. Z ) ` x ) = ( ( X .X. ( Y .X. Z ) ) ` x ) )
166	14, 18, 165	eqfnfvd 5812	1 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) = ( X .X. ( Y .X. Z ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   `'ccnv 4775   "cima 4779   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   CCcc 8183   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   Basecbs 13410   .rcmulr 13491   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240   Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15156

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