Theorem psrringfi 15204

Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
psrringfi	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem psrringfi

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
3		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆))
4		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		psrringfi.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
6		psrring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 14416	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8	4, 5, 7	psrgrp 15195	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
9		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
11	6	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12	5	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ Fin)
13		simp2 1029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
14		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
15	4, 9, 10, 11, 12, 13, 14	psrmulclfi 15190	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
16	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼 ∈ Fin)
17	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2238	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19		simpr1 1034	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
20		simpr2 1035	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
21		simpr3 1036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
22	4, 16, 17, 18, 10, 9, 19, 20, 21	psrass1fi 15201	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
23		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
24	4, 16, 17, 18, 10, 9, 19, 20, 21, 23	psrdifi 15202	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑆)𝑧)))
25	4, 16, 17, 18, 10, 9, 19, 20, 21, 23	psrdirfi 15203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑆)𝑧)(+g‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
26		eqid 2238	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
27		eqid 2238	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
29	4, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 9	psr1clfi 15198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘𝑆))
30	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ Fin)
31	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
33	4, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 9, 10, 32	psrlidmfi 15199	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥)
34	4, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 9, 10, 32	psrridmfi 15200	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑆)(𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
35	1, 2, 3, 8, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34	isringd 14453	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ifcif 3638  {csn 3709   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026  0cc0 8185  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  ._rcmulr 13491  0_gc0g 13669  1_rcur 14369  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-hom 13514  df-cco 13515  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-prds 14277  df-pws 14310  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-psr 15156

This theorem is used by: (None)