Theorem mplsubrgfi 15250

Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mpllss.r	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
mplsubrgfi	|- ( ph -> U e. (SubRing ` S ) )

Proof of Theorem mplsubrgfi

Dummy variables k q x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		mplsubg.p	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
3		mplsubg.u	. . 3 |- U = ( Base ` P )
4		mplsubg.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
5		mpllss.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
6	5	ringgrpd 14416	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
7	1, 2, 3, 4, 6	mplsubgfi 15248	. 2 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )
8	1, 4, 5	psrringfi 15224	. . . 4 |- ( ph -> S e. Ring )
9		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
10		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
11	9, 10	ringidcl 14432	. . . 4 |- ( S e. Ring -> ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) )
12	8, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) )
13		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14	1, 13, 4, 9, 12	psrelbasfi 15199	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` S ) : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
15		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
16	13, 15	grpidcl 13893	. . . . 5 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
17	6, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
18		0nn0 9590	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
19		snfig 7109	. . . . . . 7 |- ( 0 e. NN0 -> { 0 } e. Fin )
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ph -> { 0 } e. Fin )
21	4, 20	xpexd 4892	. . . . 5 |- ( ph -> ( I X. { 0 } ) e. _V )
22		snfig 7109	. . . . 5 |- ( ( I X. { 0 } ) e. _V -> { ( I X. { 0 } ) } e. Fin )
23	21, 22	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { ( I X. { 0 } ) } e. Fin )
24	18	fconst6 5595	. . . . . 6 |- ( I X. { 0 } ) : I --> NN0
25		nn0ex 9581	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> NN0 e. _V )
27	26, 4	elmapd 6941	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( I X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( I X. { 0 } ) : I --> NN0 ) )
28	24, 27	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ph -> ( I X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m I ) )
29	28	snssd 3860	. . . 4 |- ( ph -> { ( I X. { 0 } ) } C_ ( NN0 ^m I ) )
30		eqeq1 2245	. . . . . . 7 |- ( k = q -> ( k = ( I X. { 0 } ) <-> q = ( I X. { 0 } ) ) )
31	30	ifbid 3662	. . . . . 6 |- ( k = q -> if ( k = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( q = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
32		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
33	1, 4, 5, 15, 32, 10	psr1fi 15225	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` S ) = ( k e. ( NN0 ^m I ) |-> if ( k = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( 1r ` S ) = ( k e. ( NN0 ^m I ) |-> if ( k = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
35		eldifi 3351	. . . . . . 7 |- ( q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) -> q e. ( NN0 ^m I ) )
36	35	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> q e. ( NN0 ^m I ) )
37	13, 32	ringidcl 14432	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
38	5, 37	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
40	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
41	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> I e. Fin )
42	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( I X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m I ) )
43		psrbagfidceq 15184	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. Fin /\ q e. ( NN0 ^m I ) /\ ( I X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m I ) ) -> DECID q = ( I X. { 0 } ) )
44	41, 36, 42, 43	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> DECID q = ( I X. { 0 } ) )
45	39, 40, 44	ifcldcd 3678	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> if ( q = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
46	31, 34, 36, 45	fvmptd4 5803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( 1r ` S ) ` q ) = if ( q = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
47		eldifsni 3843	. . . . . . 7 |- ( q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) -> q =/= ( I X. { 0 } ) )
48		ifnefalse 3651	. . . . . . 7 |- ( q =/= ( I X. { 0 } ) -> if ( q = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
49	47, 48	syl 14	. . . . . 6 |- ( q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) -> if ( q = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
50	49	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> if ( q = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
51	46, 50	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. ( ( NN0 ^m I ) \ { ( I X. { 0 } ) } ) ) -> ( ( 1r ` S ) ` q ) = ( 0g ` R ) )
52	14, 12, 17, 23, 29, 51	isfsuppf 7298	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` S ) finSupp ( 0g ` R ) )
53	2, 1, 9, 15, 3	mplelbas 15236	. . 3 |- ( ( 1r ` S ) e. U <-> ( ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) finSupp ( 0g ` R ) ) )
54	12, 52, 53	sylanbrc 421	. 2 |- ( ph -> ( 1r ` S ) e. U )
55	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> I e. Fin )
56	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> R e. Ring )
57		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x e. U )
58		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y e. U )
59	1, 2, 3, 55, 56, 57, 58	mplsubrglemcl 15249	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( x ( .r ` S ) y ) e. U )
60	59	ralrimivva 2632	. 2 |- ( ph -> A. x e. U A. y e. U ( x ( .r ` S ) y ) e. U )
61		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
62	9, 10, 61	issubrg2 14658	. . 3 |- ( S e. Ring -> ( U e. (SubRing ` S ) <-> ( U e. (SubGrp ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. U /\ A. x e. U A. y e. U ( x ( .r ` S ) y ) e. U ) ) )
63	8, 62	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( U e. (SubRing ` S ) <-> ( U e. (SubGrp ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. U /\ A. x e. U A. y e. U ( x ( .r ` S ) y ) e. U ) ) )
64	7, 54, 60, 63	mpbir3and 1211	1 |- ( ph -> U e. (SubRing ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6927   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292   0cc0 8186   NN0cn0 9575   Basecbs 13410   .rcmulr 13491   0gc0g 13669   Grpcgrp 13864  SubGrpcsubg 14029   1rcur 14369   Ringcrg 14407  SubRingcsubrg 14634   mPwSer cmps 15154   mPoly cmpl 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6521  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-hom 13514  df-cco 13515  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-subg 14032  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-prds 14277  df-pws 14310  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-subrg 14636  df-psr 15157  df-mpl 15159

This theorem is used by: (None)