Theorem psrridmfi 15200

Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrringfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psr1cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr1cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
psr1cl.o	|- .1. = ( 1r ` R )
psr1cl.u	|- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
psr1cl.b	|- B = ( Base ` S )
psrlidm.t	|- .x. = ( .r ` S )
psrlidm.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrridmfi	|- ( ph -> ( X .x. U ) = X )

Distinct variable groups:   x, f, .0.   f, I, x   x, B   R, f, x   x, D   f, X, x   ph, x   x, .x.   x, S   x, .1.

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .x. ( f)   U( x, f)   .1. ( f)

Proof of Theorem psrridmfi

Dummy variables y z g w p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr1cl.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4		psr1cl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
5		psrlidm.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` S )
6		psrring.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
7		psrringfi.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
8		psrlidm.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
9		psr1cl.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
10		psr1cl.o	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` R )
11		psr1cl.u	. . . . . 6 |- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
12	1, 7, 6, 3, 9, 10, 11, 4	psr1clfi 15198	. . . . 5 |- ( ph -> U e. B )
13	1, 4, 5, 6, 7, 8, 12	psrmulclfi 15190	. . . 4 |- ( ph -> ( X .x. U ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 15179	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. U ) : D --> ( Base ` R ) )
15	14	ffnd 5537	. 2 |- ( ph -> ( X .x. U ) Fn D )
16	1, 2, 3, 4, 8	psrelbas 15179	. . 3 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
17	16	ffnd 5537	. 2 |- ( ph -> X Fn D )
18		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
19	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> X e. B )
20	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> U e. B )
21		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y e. D )
22	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> I e. Fin )
23	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. Ring )
24	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21, 22, 23	psrmulvalfi 15188	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X .x. U ) ` y ) = ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
25		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( g = y -> ( g oR <_ y <-> y oR <_ y ) )
26	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. D -> y : I --> NN0 )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y : I --> NN0 )
28		nn0re 9583	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN0 -> z e. RR )
29	28	leidd 8849	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> z <_ z )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. NN0 ) -> z <_ z )
31	22, 27, 30	caofref 6331	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y oR <_ y )
32	25, 21, 31	elrabd 2984	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y e. { g e. D | g oR <_ y } )
33	32	snssd 3860	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { y } C_ { g e. D | g oR <_ y } )
34	33	resmptd 5117	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { y } ) = ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) )
35	34	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { y } ) ) = ( R gsumg ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
36	6	ringcmnd 14447	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
37	36	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. CMnd )
38	3	psrbaglefifi 15172	. . . . . 6 |- ( ( y e. D /\ I e. Fin ) -> { g e. D | g oR <_ y } e. Fin )
39	21, 22, 38	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { g e. D | g oR <_ y } e. Fin )
40	6	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> R e. Ring )
41	16	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
42		breq1 4134	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = z -> ( g oR <_ y <-> z oR <_ y ) )
43	42	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { g e. D | g oR <_ y } <-> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
44	43	bilani 387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
45	44	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z e. D )
46	41, 45	ffvelcdmd 5847	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
47	1, 2, 3, 4, 20	psrelbas 15179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> U : D --> ( Base ` R ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> U : D --> ( Base ` R ) )
49	21	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> y e. D )
50	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. D -> z : I --> NN0 )
51	45, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z : I --> NN0 )
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z oR <_ y )
53	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. D /\ z : I --> NN0 /\ z oR <_ y ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
55	54	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( y oF - z ) e. D )
56	48, 55	ffvelcdmd 5847	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( U ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) )
57	2, 18, 40, 46, 56	ringcld 14429	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) e. ( Base ` R ) )
58	57	fmpttd 5866	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) : { g e. D | g oR <_ y } --> ( Base ` R ) )
59		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) = ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) )
60		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 |- ( z = p -> ( X ` z ) = ( X ` p ) )
61		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( z = p -> ( y oF - z ) = ( y oF - p ) )
62	61	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( z = p -> ( U ` ( y oF - z ) ) = ( U ` ( y oF - p ) ) )
63	60, 62	oveq12d 6106	. . . . . . . 8 |- ( z = p -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( X ` p ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - p ) ) ) )
64		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) )
65	64	eldifad 3231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> p e. { g e. D | g oR <_ y } )
66	63	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( z = p -> ( ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = .0. <-> ( ( X ` p ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - p ) ) ) = .0. ) )
67		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( y oF - z ) -> ( x = ( I X. { 0 } ) <-> ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) ) )
68	67	ifbid 3662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y oF - z ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
69		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) -> z e. { g e. D | g oR <_ y } )
70	69, 55	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( y oF - z ) e. D )
71	2, 10	ringidcl 14432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
72	6, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> .1. e. ( Base ` R ) )
73	2, 9	ring0cl 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
74	6, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
75	72, 74	ifexd 4632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. _V )
76	75	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. _V )
77	11, 68, 70, 76	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( U ` ( y oF - z ) ) = if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
78		eldifsni 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) -> z =/= y )
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> z =/= y )
80	79	necomd 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> y =/= z )
81	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> I e. Fin )
82		nn0sscn 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- NN0 C_ CC
83		fss 5549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> y : I --> CC )
84	27, 82, 83	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y : I --> CC )
85	84	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> y : I --> CC )
86		fss 5549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> z : I --> CC )
87	51, 82, 86	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z : I --> CC )
88		ofsubeq0 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. Fin /\ y : I --> CC /\ z : I --> CC ) -> ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = z ) )
89	81, 85, 87, 88	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = z ) )
90	69, 89	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = z ) )
91	90	necon3bbid 2460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( -. ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y =/= z ) )
92	80, 91	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> -. ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) )
93	92	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .0. )
94	77, 93	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( U ` ( y oF - z ) ) = .0. )
95	94	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) )
96	2, 18, 9, 40, 46	ringrzd 14458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
97	69, 96	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
98	95, 97	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
99	98	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> A. z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> A. z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
101	66, 100, 64	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` p ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - p ) ) ) = .0. )
102	74	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
103	101, 102	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` p ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - p ) ) ) e. ( Base ` R ) )
104	59, 63, 65, 103	fvmptd3 5802	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ` p ) = ( ( X ` p ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - p ) ) ) )
105	104, 101	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ` p ) = .0. )
106	105	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> A. p e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ` p ) = .0. )
107		snfig 7107	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
108	107	elv 2825	. . . . . 6 |- { y } e. Fin
109	108	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { y } e. Fin )
110	2, 9, 37, 39, 58, 106, 109, 33	gsumresfi 14263	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { y } ) ) = ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
111		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- y = y
112		ofsubeq0 9300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. Fin /\ y : I --> CC /\ y : I --> CC ) -> ( ( y oF - y ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = y ) )
113	22, 84, 84, 112	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( y oF - y ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = y ) )
114	111, 113	mpbiri 168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( y oF - y ) = ( I X. { 0 } ) )
115	114	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( y oF - y ) ) = ( U ` ( I X. { 0 } ) ) )
116		iftrue 3645	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( I X. { 0 } ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .1. )
117		fconstmpt 4824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I X. { 0 } ) = ( w e. I |-> 0 )
118	3	fczpsrbag 15165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. Fin -> ( w e. I |-> 0 ) e. D )
119	7, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( w e. I |-> 0 ) e. D )
120	117, 119	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I X. { 0 } ) e. D )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) e. D )
122	23, 71	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> .1. e. ( Base ` R ) )
123	11, 116, 121, 122	fvmptd3 5802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( I X. { 0 } ) ) = .1. )
124	115, 123	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( y oF - y ) ) = .1. )
125	124	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) .1. ) )
126	16	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
127	2, 18, 10	ringridm 14436	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` y ) )
128	23, 126, 127	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` y ) )
129	125, 128	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) = ( X ` y ) )
130	129, 126	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) e. ( Base ` R ) )
131		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( X ` z ) = ( X ` y ) )
132		oveq2 6096	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( y oF - z ) = ( y oF - y ) )
133	132	fveq2d 5702	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( U ` ( y oF - z ) ) = ( U ` ( y oF - y ) ) )
134	131, 133	oveq12d 6106	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
135	2, 134	gsumsncmn 14246	. . . . 5 |- ( ( R e. CMnd /\ y e. D /\ ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
136	37, 21, 130, 135	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
137	35, 110, 136	3eqtr3d 2279	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
138	24, 137, 129	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X .x. U ) ` y ) = ( X ` y ) )
139	15, 17, 138	eqfnfvd 5812	1 |- ( ph -> ( X .x. U ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   |` cres 4778   "cima 4779   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   CCcc 8183   0cc0 8185   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   Basecbs 13410   .rcmulr 13491   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240   1rcur 14369   Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrringfi  15204