Theorem qdivcl 9846

Description: Closure of division of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9837	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		qcn 9837	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6		0z 9465	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		zq 9829	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
9		qapne 9842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
10	8, 9	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
11	10	3ad2ant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
12	5, 11	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 # 0)
13	2, 4, 12	divrecapd 8948	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
14		qreccl 9845	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℚ)
15		qmulcl 9840	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℚ)
16	14, 15	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℚ)
17	16	3impb 1223	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℚ)
18	13, 17	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   · cmul 8012   # cap 8736   / cdiv 8827  ℤcz 9454  ℚcq 9822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-q 9823

This theorem is referenced by:  irrmul  9850  irrmulap  9851  flqdiv  10551  modqval  10554  modqvalr  10555  modqcl  10556  flqpmodeq  10557  modq0  10559  modqge0  10562  modqlt  10563  modqdiffl  10565  modqdifz  10566  modqmulnn  10572  modqvalp1  10573  modqid  10579  modqcyc  10589  modqadd1  10591  modqmuladd  10596  modqmuladdnn0  10598  modqmul1  10607  modqdi  10622  modqsubdir  10623  fldivndvdslt  12456  pcqdiv  12838  apdiff  16446