Theorem qdivcl 9602

Description: Closure of division of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		qcn 9593	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1014	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simp3 994	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6		0z 9223	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		zq 9585	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
9		qapne 9598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
10	8, 9	mpan2 423	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
11	10	3ad2ant2 1014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
12	5, 11	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 # 0)
13	2, 4, 12	divrecapd 8710	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
14		qreccl 9601	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℚ)
15		qmulcl 9596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℚ)
16	14, 15	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℚ)
17	16	3impb 1194	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℚ)
18	13, 17	eqeltrd 2247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589  ℤcz 9212  ℚcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by:  irrmul  9606  flqdiv  10277  modqval  10280  modqvalr  10281  modqcl  10282  flqpmodeq  10283  modq0  10285  modqge0  10288  modqlt  10289  modqdiffl  10291  modqdifz  10292  modqmulnn  10298  modqvalp1  10299  modqid  10305  modqcyc  10315  modqadd1  10317  modqmuladd  10322  modqmuladdnn0  10324  modqmul1  10333  modqdi  10348  modqsubdir  10349  fldivndvdslt  11894  pcqdiv  12261  apdiff  14080