Theorem sinltxirr 12238

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	|- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

Distinct variable group:   A, q

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9824	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. RR )
4		rpgt0 9829	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 0 < A )
6		1red 8129	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 1 e. RR )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
8	3, 6, 7	ltled 8233	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A <_ 1 )
9		0xr 8161	. . . . 5 |- 0 e. RR*
10		1re 8113	. . . . 5 |- 1 e. RR
11		elioc2 10100	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1186	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. ( 0 (,] 1 ) )
14		sin01bnd 12234	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )
15	14	simprd 114	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
16	13, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
18	17	resincld 12200	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) e. RR )
19		1red 8129	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
20		sinbnd 12229	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) <_ 1 ) )
21	20	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) <_ 1 )
22	17, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) <_ 1 )
23		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8239	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) < A )
25		breq2 4066	. . . 4 |- ( q = 1 -> ( A # q <-> A # 1 ) )
26		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A. q e. QQ A # q )
27		1z 9440	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
28		zq 9789	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> 1 e. QQ )
30	25, 26, 29	rspcdva 2892	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A # 1 )
31		reaplt 8703	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
32	2, 10, 31	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
33	30, 32	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
34	16, 24, 33	mpjaodan 802	1 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 712   /\ w3a 983   e. wcel 2180   A.wral 2488   class class class wbr 4062   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   RRcr 7966   0cc0 7967   1c1 7968   RR*cxr 8148   < clt 8149   <_ cle 8150   - cmin 8285   -ucneg 8286   # cap 8696   / cdiv 8787   3c3 9130   ZZcz 9414   QQcq 9782   RR+crp 9817   (,]cioc 10053   ^cexp 10727   sincsin 12121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-disj 4039  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-ioc 10057  df-ico 10058  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-fac 10915  df-bc 10937  df-ihash 10965  df-shft 11292  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831  df-ef 12125  df-sin 12127  df-cos 12128

This theorem is referenced by: (None)