Theorem sinltxirr 12455

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	|- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

Distinct variable group:   A, q

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9999	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. RR )
4		rpgt0 10004	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 0 < A )
6		1red 8294	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 1 e. RR )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
8	3, 6, 7	ltled 8397	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A <_ 1 )
9		0xr 8325	. . . . 5 |- 0 e. RR*
10		1re 8278	. . . . 5 |- 1 e. RR
11		elioc2 10275	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1208	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. ( 0 (,] 1 ) )
14		sin01bnd 12451	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )
15	14	simprd 114	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
16	13, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
18	17	resincld 12417	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) e. RR )
19		1red 8294	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
20		sinbnd 12446	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) <_ 1 ) )
21	20	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) <_ 1 )
22	17, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) <_ 1 )
23		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8403	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) < A )
25		breq2 4115	. . . 4 |- ( q = 1 -> ( A # q <-> A # 1 ) )
26		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A. q e. QQ A # q )
27		1z 9608	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
28		zq 9964	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> 1 e. QQ )
30	25, 26, 29	rspcdva 2928	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A # 1 )
31		reaplt 8867	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
32	2, 10, 31	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
33	30, 32	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
34	16, 24, 33	mpjaodan 806	1 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   RRcr 8131   0cc0 8132   1c1 8133   RR*cxr 8312   < clt 8313   <_ cle 8314   - cmin 8449   -ucneg 8450   # cap 8860   / cdiv 8951   3c3 9294   ZZcz 9582   QQcq 9957   RR+crp 9992   (,]cioc 10228   ^cexp 10907   sincsin 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-ioc 10232  df-ico 10233  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-fac 11096  df-bc 11118  df-ihash 11147  df-shft 11508  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047  df-ef 12342  df-sin 12344  df-cos 12345

This theorem is referenced by: (None)