Theorem sinltxirr 11943

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	|- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

Distinct variable group:   A, q

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9752	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. RR )
4		rpgt0 9757	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 0 < A )
6		1red 8058	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 1 e. RR )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
8	3, 6, 7	ltled 8162	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A <_ 1 )
9		0xr 8090	. . . . 5 |- 0 e. RR*
10		1re 8042	. . . . 5 |- 1 e. RR
11		elioc2 10028	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. ( 0 (,] 1 ) )
14		sin01bnd 11939	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )
15	14	simprd 114	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
16	13, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
18	17	resincld 11905	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) e. RR )
19		1red 8058	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
20		sinbnd 11934	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) <_ 1 ) )
21	20	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) <_ 1 )
22	17, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) <_ 1 )
23		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8168	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) < A )
25		breq2 4038	. . . 4 |- ( q = 1 -> ( A # q <-> A # 1 ) )
26		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A. q e. QQ A # q )
27		1z 9369	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
28		zq 9717	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> 1 e. QQ )
30	25, 26, 29	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A # 1 )
31		reaplt 8632	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
32	2, 10, 31	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
33	30, 32	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
34	16, 24, 33	mpjaodan 799	1 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   -ucneg 8215   # cap 8625   / cdiv 8716   3c3 9059   ZZcz 9343   QQcq 9710   RR+crp 9745   (,]cioc 9981   ^cexp 10647   sincsin 11826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ioc 9985  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833

This theorem is referenced by: (None)