Theorem sinltxirr 12554

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	|- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

Distinct variable group:   A, q

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 10079	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. RR )
4		rpgt0 10084	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
5	4	ad2antrr 492	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 0 < A )
6		1red 8348	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> 1 e. RR )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
8	3, 6, 7	ltled 8453	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A <_ 1 )
9		0xr 8379	. . . . 5 |- 0 e. RR*
10		1re 8332	. . . . 5 |- 1 e. RR
11		elioc2 10356	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
12	9, 10, 11	mp2an 430	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1212	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> A e. ( 0 (,] 1 ) )
14		sin01bnd 12550	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )
15	14	simprd 114	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
16	13, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ A < 1 ) -> ( sin ` A ) < A )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
18	17	resincld 12516	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) e. RR )
19		1red 8348	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
20		sinbnd 12545	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) <_ 1 ) )
21	20	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) <_ 1 )
22	17, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) <_ 1 )
23		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8459	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) /\ 1 < A ) -> ( sin ` A ) < A )
25		breq2 4135	. . . 4 |- ( q = 1 -> ( A # q <-> A # 1 ) )
26		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A. q e. QQ A # q )
27		1z 9682	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
28		zq 10043	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> 1 e. QQ )
30	25, 26, 29	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> A # 1 )
31		reaplt 8925	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
32	2, 10, 31	sylancl 417	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
33	30, 32	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
34	16, 24, 33	mpjaodan 810	1 |- ( ( A e. RR+ /\ A. q e. QQ A # q ) -> ( sin ` A ) < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   RR*cxr 8366   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   -ucneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011   3c3 9366   ZZcz 9656   QQcq 10036   RR+crp 10072   (,]cioc 10309   ^cexp 10997   sincsin 12437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-ioc 10313  df-ico 10314  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-sin 12443  df-cos 12444

This theorem is used by: (None)