Theorem sinltxirr 12440

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9989	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rpgt0 9994	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
6		1red 8285	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 1 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
8	3, 6, 7	ltled 8388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
9		0xr 8316	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		1re 8269	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elioc2 10265	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ (0(,]1))
14		sin01bnd 12436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
15	14	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
17	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resincld 12402	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
19		1red 8285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
20		sinbnd 12431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
21	20	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
22	17, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
23		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8394	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
25		breq2 4112	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 1))
26		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
27		1z 9599	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		zq 9954	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 1 ∈ ℚ)
30	25, 26, 29	rspcdva 2925	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 # 1)
31		reaplt 8858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
32	2, 10, 31	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
33	30, 32	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
34	16, 24, 33	mpjaodan 806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℝcr 8122  0cc0 8123  1c1 8124  ℝ^*cxr 8303   < clt 8304   ≤ cle 8305   − cmin 8440  -cneg 8441   # cap 8851   / cdiv 8942  3c3 9285  ℤcz 9573  ℚcq 9947  ℝ⁺crp 9982  (,]cioc 10218  ↑cexp 10896  sincsin 12323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-disj 4085  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-ioc 10222  df-ico 10223  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-fac 11084  df-bc 11106  df-ihash 11134  df-shft 11493  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-sumdc 12032  df-ef 12327  df-sin 12329  df-cos 12330

This theorem is referenced by: (None)