Theorem sinltxirr 12475

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 10014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rpgt0 10019	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
6		1red 8305	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 1 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
8	3, 6, 7	ltled 8409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
9		0xr 8336	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		1re 8289	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elioc2 10291	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ (0(,]1))
14		sin01bnd 12471	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
15	14	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
17	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resincld 12437	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
19		1red 8305	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
20		sinbnd 12466	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
21	20	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
22	17, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
23		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8415	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
25		breq2 4118	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 1))
26		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
27		1z 9623	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		zq 9979	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 1 ∈ ℚ)
30	25, 26, 29	rspcdva 2928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 # 1)
31		reaplt 8880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
32	2, 10, 31	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
33	30, 32	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
34	16, 24, 33	mpjaodan 806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8461  -cneg 8462   # cap 8873   / cdiv 8966  3c3 9309  ℤcz 9597  ℚcq 9972  ℝ⁺crp 10007  (,]cioc 10244  ↑cexp 10927  sincsin 12358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-ioc 10248  df-ico 10249  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-fac 11116  df-bc 11138  df-ihash 11167  df-shft 11528  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067  df-ef 12362  df-sin 12364  df-cos 12365

This theorem is referenced by: (None)