Theorem sinltxirr 12324

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9895	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rpgt0 9900	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
6		1red 8194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 1 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
8	3, 6, 7	ltled 8298	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
9		0xr 8226	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		1re 8178	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elioc2 10171	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1207	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ (0(,]1))
14		sin01bnd 12320	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
15	14	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
17	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resincld 12286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
19		1red 8194	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
20		sinbnd 12315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
21	20	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
22	17, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
23		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8304	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
25		breq2 4092	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 1))
26		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
27		1z 9505	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		zq 9860	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 1 ∈ ℚ)
30	25, 26, 29	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 # 1)
31		reaplt 8768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
32	2, 10, 31	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
33	30, 32	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
34	16, 24, 33	mpjaodan 805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350  -cneg 8351   # cap 8761   / cdiv 8852  3c3 9195  ℤcz 9479  ℚcq 9853  ℝ⁺crp 9888  (,]cioc 10124  ↑cexp 10801  sincsin 12207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11377  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-ef 12211  df-sin 12213  df-cos 12214

This theorem is referenced by: (None)