Theorem sinltxirr 12511

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 10044	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rpgt0 10049	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
5	4	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
6		1red 8335	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 1 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
8	3, 6, 7	ltled 8439	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
9		0xr 8366	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		1re 8319	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elioc2 10321	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
12	9, 10, 11	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ (0(,]1))
14		sin01bnd 12507	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
15	14	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
17	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resincld 12473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
19		1red 8335	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
20		sinbnd 12502	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
21	20	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
22	17, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
23		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8445	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
25		breq2 4132	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 1))
26		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
27		1z 9653	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		zq 10009	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 1 ∈ ℚ)
30	25, 26, 29	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 # 1)
31		reaplt 8910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
32	2, 10, 31	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
33	30, 32	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
34	16, 24, 33	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491  -cneg 8492   # cap 8903   / cdiv 8996  3c3 9339  ℤcz 9627  ℚcq 10002  ℝ⁺crp 10037  (,]cioc 10274  ↑cexp 10958  sincsin 12394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-ioc 10278  df-ico 10279  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-sin 12400  df-cos 12401

This theorem is referenced by: (None)