Theorem sinltxirr 11926

Description: The sine of a positive irrational number is less than its argument. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinltxirr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Proof of Theorem sinltxirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9735	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rpgt0 9740	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
5	4	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
6		1red 8041	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 1 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
8	3, 6, 7	ltled 8145	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
9		0xr 8073	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		1re 8025	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		elioc2 10011	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
13	3, 5, 8, 12	syl3anbrc 1183	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ (0(,]1))
14		sin01bnd 11922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
15	14	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐴 < 1) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
17	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	resincld 11888	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
19		1red 8041	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
20		sinbnd 11917	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
21	20	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ≤ 1)
22	17, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) ≤ 1)
23		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
24	18, 19, 17, 22, 23	lelttrd 8151	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 1 < 𝐴) → (sin‘𝐴) < 𝐴)
25		breq2 4037	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 1))
26		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
27		1z 9352	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		zq 9700	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
29	27, 28	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 1 ∈ ℚ)
30	25, 26, 29	rspcdva 2873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → 𝐴 # 1)
31		reaplt 8615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
32	2, 10, 31	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
33	30, 32	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
34	16, 24, 33	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (sin‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197  -cneg 8198   # cap 8608   / cdiv 8699  3c3 9042  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ℝ⁺crp 9728  (,]cioc 9964  ↑cexp 10630  sincsin 11809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ioc 9968  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-sin 11815  df-cos 11816

This theorem is referenced by: (None)