ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0fz1 GIF version

Theorem 0fz1 9854
Description: Two ways to say a finite 1-based sequence is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
0fz1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0fz1
StepHypRef Expression
1 fn0 5248 . . . . 5 (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
2 fndmu 5230 . . . . 5 ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 Fn ∅) → (1...𝑁) = ∅)
31, 2sylan2br 286 . . . 4 ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 = ∅) → (1...𝑁) = ∅)
43ex 114 . . 3 (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ → (1...𝑁) = ∅))
5 fneq2 5218 . . . . 5 ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 Fn ∅))
65, 1syl6bb 195 . . . 4 ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 = ∅))
76biimpcd 158 . . 3 (𝐹 Fn (1...𝑁) → ((1...𝑁) = ∅ → 𝐹 = ∅))
84, 7impbid 128 . 2 (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ ↔ (1...𝑁) = ∅))
9 fz1n 9853 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1...𝑁) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
108, 9sylan9bbr 459 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  c0 3366   Fn wfn 5124  (class class class)co 5780  0cc0 7642  1c1 7643  0cn0 8999  ...cfz 9819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-fz 9820
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator