Theorem 0fz1 10001

Description: Two ways to say a finite 1-based sequence is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
0fz1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fn0 5317	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
2		fndmu 5299	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 Fn ∅) → (1...𝑁) = ∅)
3	1, 2	sylan2br 286	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 = ∅) → (1...𝑁) = ∅)
4	3	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ → (1...𝑁) = ∅))
5		fneq2 5287	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 Fn ∅))
6	5, 1	bitrdi 195	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 = ∅))
7	6	biimpcd 158	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → ((1...𝑁) = ∅ → 𝐹 = ∅))
8	4, 7	impbid 128	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ ↔ (1...𝑁) = ∅))
9		fz1n 10000	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1...𝑁) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
10	8, 9	sylan9bbr 460	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414   Fn wfn 5193  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775  ℕ₀cn0 9135  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by: (None)