ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0fz1 GIF version

Theorem 0fz1 10040
Description: Two ways to say a finite 1-based sequence is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
0fz1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0fz1
StepHypRef Expression
1 fn0 5334 . . . . 5 (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
2 fndmu 5316 . . . . 5 ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 Fn ∅) → (1...𝑁) = ∅)
31, 2sylan2br 288 . . . 4 ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 = ∅) → (1...𝑁) = ∅)
43ex 115 . . 3 (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ → (1...𝑁) = ∅))
5 fneq2 5304 . . . . 5 ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 Fn ∅))
65, 1bitrdi 196 . . . 4 ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 = ∅))
76biimpcd 159 . . 3 (𝐹 Fn (1...𝑁) → ((1...𝑁) = ∅ → 𝐹 = ∅))
84, 7impbid 129 . 2 (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ ↔ (1...𝑁) = ∅))
9 fz1n 10039 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1...𝑁) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
108, 9sylan9bbr 463 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3422   Fn wfn 5210  (class class class)co 5872  0cc0 7808  1c1 7809  0cn0 9172  ...cfz 10004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator