Theorem ridl0 14489

Description: Every ring contains a zero right ideal. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ridl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
ridl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ridl0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ridl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		ridl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	oppr0g 14059	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘(oppr‘𝑅)))
4	3	sneqd 3679	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = {(0g‘(oppr‘𝑅))})
5	1	opprring 14057	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
6		ridl0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
7		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘(oppr‘𝑅)) = (0g‘(oppr‘𝑅))
8	6, 7	lidl0 14468	. . 3 ⊢ ((oppr‘𝑅) ∈ Ring → {(0g‘(oppr‘𝑅))} ∈ 𝑈)
9	5, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘(oppr‘𝑅))} ∈ 𝑈)
10	4, 9	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666  ‘cfv 5318  0_gc0g 13304  Ringcrg 13974  opp_rcoppr 14045  LIdealclidl 14446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-tpos 6397  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-ip 13143  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-subg 13722  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-oppr 14046  df-subrg 14198  df-lmod 14268  df-lssm 14332  df-sra 14414  df-rgmod 14415  df-lidl 14448

This theorem is referenced by:  2idl0  14491